TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23975" 【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【題型2 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 2
\l "_Tc10364" 【題型3 用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】 PAGEREF _Tc10364 \h 4
\l "_Tc32201" 【題型4 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求周長】 PAGEREF _Tc32201 \h 5
\l "_Tc22928" 【題型5 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求面積】 PAGEREF _Tc22928 \h 6
\l "_Tc14052" 【題型6 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求弧的度數(shù)】 PAGEREF _Tc14052 \h 7
\l "_Tc478" 【題型7 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系比較大小】 PAGEREF _Tc478 \h 8
\l "_Tc6462" 【題型8 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】 PAGEREF _Tc6462 \h 9
\l "_Tc18089" 【題型9 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】 PAGEREF _Tc18089 \h 10
\l "_Tc3701" 【題型10 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 11
【知識點 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．
（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．
說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?br>（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系
三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
【題型1 圓心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖所示，在⊙O中，AB=CD，則在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【變式1-1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．相等的圓心角所對的弧相等B．在同圓中，等弧所對的圓心角相等
C．弦相等，圓心到弦的距離相等D．圓心到弦的距離相等，則弦相等
【變式1-2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）判斷下列命題是真命題還是假命題（寫在橫線上）：
（1）在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對的弧也相等．
（2）在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等．
（3）在同圓或等圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦的弦心距也相等．
（4）在等圓中，如果弧不相等，那么它們所對的弦也不相等．
【變式1-3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC的頂點A、B、C均在⊙O上，點A是CB中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【題型2 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求角度】
【例2】（2023秋·九年級課時練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，則∠BCO的度數(shù)是（ ）

A．30°B．35°C．40°D．55°
【變式2-1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，A、B、C、D是⊙O上的點，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．

【變式2-2】（2023秋·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖半徑OA，OB，OC將一個圓分成三個大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分線，∠AOE=13∠AOC，則∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【變式2-3】（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級?？计谥校┤鐖D，EF、CD是⊙O的兩條直徑，A是劣弧DF的中點，若∠EOD=32°，則∠CDA的度數(shù)是（ ）

A．37°B．74°C．53°D．63°
【題型3 用圓心角、弧、弦的關(guān)系求線段長度】
【例3】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（ ）

A．3B．4C．6D．8
【變式3-1】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）將半徑為5的⊙O如圖折疊，折痕AB長為8，C為折疊后AB的中點，則OC長為（ ）

A．2B．3C．1D．2
【變式3-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點C是直徑AB的三等分點ACdx2B．當(dāng)dx1>dx2時，x1>x2
C．當(dāng)x1+x2=1時，dx1=dx2D．當(dāng)x1=2x2時，dx1=2dx2
【題型8 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行證明】
【例8】（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點，DE⊥AB于E，求證：BD2?AD2=AB?AC．

【變式8-1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點E，且AB=CD．求證：CE=BE．

【變式8-2】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在⊙O上依次取點B，A，C使BA=AC，連接AC，AB，BC，取AB的中點D，連接CD，在弦BC右側(cè)取點E，使2CE=AC，且CE∥AB，連接BE．

(1)求證：△DBC?△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的長．
【變式8-3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A、B、C、D是⊙O上的點，AD為直徑，AB∥OC．

(1)求證：點C平分BD．
(2)利用無刻度的直尺和圓規(guī)做出AB的中點P（保留作圖痕跡）．
【題型9 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系確定線段間的倍數(shù)關(guān)系】
【例9】（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB為半圓的直徑．求作矩形MNPQ，使得點M，N在AB上，點P，Q在半圓上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圓規(guī)作圖；（2）保留作圖的痕跡，寫出必要的文字說明．
【變式9-1】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于點D，比較大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【變式9-2】（2023?鐵嶺模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓O上，把半圓沿弦AC折疊，AC恰好經(jīng)過點O，則BC與AC的關(guān)系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能確定
【變式9-3】（2023?長安區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，且AC=3BC，則弦AC與弦BC的關(guān)系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【題型10 利用圓心角、弧、弦的關(guān)系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點M，N在⊙O上，且點N是弧BM的中點，P是直徑AB上的一個動點，連接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度數(shù)為40°，則PM+PN的最小值為（ ）

A．10B．53C．52D．5
【變式10-1】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，AB是半圓O的直徑，半圓的半徑為4，點C，D在半圓上，OC⊥AB,BD=2CD，點P是OC上的一個動點，則BP+DP的最小值為 ．
【變式10-2】（2023·山東棗莊·九年級學(xué)業(yè)考試）如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10cm，M是半圓AB的一個三等分點，N是半圓AB的一個六等分點，P是直徑AB上一動點，連接MP，NP，則MP+NP的最小值是 cm．
【變式10-3】（2023春·九年級課時練習(xí)）如圖，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于點D．點E為半徑OB上一動點，若OB=2，則CE+DE長的最小值為 ．

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