中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題1.7 三角形中的最值問題十大考點(diǎn)（北師大版）（原卷版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc26211" 【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】 PAGEREF _Tc26211 \h 1
\l "_Tc27960" 【題型2 垂線段最短】 PAGEREF _Tc27960 \h 2
\l "_Tc30887" 【題型3 平行線之間的距離最短】 PAGEREF _Tc30887 \h 3
\l "_Tc5892" 【題型4 將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】 PAGEREF _Tc5892 \h 4
\l "_Tc22693" 【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】 PAGEREF _Tc22693 \h 5
\l "_Tc24968" 【題型6 雙對(duì)稱周長(zhǎng)最小】 PAGEREF _Tc24968 \h 6
\l "_Tc12728" 【題型7 兩定兩動(dòng)】 PAGEREF _Tc12728 \h 8
\l "_Tc17418" 【題型8 兩定一定長(zhǎng)】 PAGEREF _Tc17418 \h 9
\l "_Tc31265" 【題型9 兩動(dòng)一定】 PAGEREF _Tc31265 \h 10
\l "_Tc28588" 【題型10 費(fèi)馬點(diǎn)】 PAGEREF _Tc28588 \h 11
【題型1 兩點(diǎn)之間線段最短】
【例1】（2023春·福建寧德·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平地上A，B兩點(diǎn)位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第號(hào)鋼梁上通過到達(dá)B處，才能使得全程路程最短．

【變式1-1】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)校考期末）在同一平面內(nèi)，線段AB=5cm，C為任意一點(diǎn)，則AC+BC的最小值為．
【變式1-2】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）．
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）[應(yīng)用意識(shí)]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直．設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【題型2 垂線段最短】
【例2】（2023春·四川成都·八年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在線段BC上，CD=3.3，點(diǎn)E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接BF，當(dāng)BF有最小值時(shí)，寫出AE的值為 .

【變式2-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是．

【變式2-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點(diǎn)，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BC∥OM,C是DA的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)，求線段CD的最小值．

【變式2-3】（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD，BD為鄰邊作?ADBE，連接DE，則DE長(zhǎng)的最小值為．

【題型3 平行線之間的距離最短】
【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的最小值是．

【變式3-1】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（）
A．2B．3C．4D．5
【變式3-2】（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_學(xué)考試）直線，對(duì)平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點(diǎn)，若到，的距離分別為，，則記．
(1)若，則線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為______；
(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．
【變式3-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．
（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，求m的值；
（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，探究、與的關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫出、與的關(guān)系．
【題型4 將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】
【例4】（2023春·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2， P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，D為BC邊的中點(diǎn)，則PC+PD的最小值為．
【變式4-1】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【變式4-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是．
【變式4-3】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，若AE=3，
(1)求BC的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PA+PC的最小值為_________．
【題型5 三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】
【例5】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB=12cm，△BMC的周長(zhǎng)是20cm，若點(diǎn)P在直線MN上，則PA?PB的最大值為 .
【變式5-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．
（1）畫出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1．
（2）在直線MN上找點(diǎn)P，使|PB﹣PA|最大，在圖形上畫出點(diǎn)P的位置，并直接寫出|PB﹣PA|的最大值．
【變式5-2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP?PE的最大值是．
【變式5-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且∠BAD=25°，P為AD上一動(dòng)點(diǎn)，則PB?PC的最大值是．
【題型6 雙對(duì)稱周長(zhǎng)最小】
【例6】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一個(gè)點(diǎn)M，N，使△AMN的周長(zhǎng)最小，則∠AMN+∠ANM= °

【變式6-1】（2023春·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A?2,3，B?3,1，C1,?2．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1的坐標(biāo)；
(2)△ABC的面積是________；
(3)在y軸上有一點(diǎn)P，使得△ABP的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△ABP的周長(zhǎng)最小值．
【變式6-3】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8．如圖1在OC邊上取一點(diǎn)D，將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA邊上，記作E點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長(zhǎng)；
(2)如圖2，在OC、CB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)F、G，將△FCG沿FG折疊，使點(diǎn)C落在OA上，記為H點(diǎn)，設(shè)OH=x，GC=y，寫出y關(guān)于x的關(guān)系式以及x的取值范圍；
(3)在x軸上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=5，取線段BA段的中點(diǎn)為F，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到哪里時(shí)，四邊形BMNF的周長(zhǎng)最??？請(qǐng)畫出示意圖并求出周長(zhǎng)最小值．
【題型7 兩定兩動(dòng)】
【例7】（2023春·福建泉州·八年級(jí)校考期末）幾何模型：條件：如圖1，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．
問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最?。?br>解法：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點(diǎn)即為P，且PA+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)．

(1)根據(jù)上面的描述，在備用圖中畫出解決問題的圖形；
(2)應(yīng)用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），使△PCD的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)畫出草圖，并求出△PCD周長(zhǎng)的最小值；
②如圖3，∠AOB=20°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=ON=2，點(diǎn)P，Q分別在OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是________．
【變式7-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點(diǎn)，M是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AM＋MN＋EN的最小值是．
【變式7-2】（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)A在y軸上，G、B兩點(diǎn)在x軸上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC與GB關(guān)于y軸對(duì)稱，∠GAH＝60°，P、Q分別是AG、AH上的動(dòng)點(diǎn)，則BP＋PQ＋CQ的最小值是（）
A．6B．7C．8D．9
【變式7-3】（2023春·陜西西安·八年級(jí)高新一中?？计谀┤鐖D，在等邊△ABC中，AC=12，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)P是AD上一點(diǎn)，且AP=5．如果點(diǎn)M、N分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，那么PM+MN+NB的最小值為．

【題型8 兩定一定長(zhǎng)】
【例8】（2023春·陜西西安·八年級(jí)西安市曲江第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,4，B8,0，C8,2，M，N是線段OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2，則△AOM與△NCB周長(zhǎng)和的最小值是．
【變式8-1】（2023春·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，線段CD長(zhǎng)為8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF為線段CD上兩動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)在E右側(cè)且EF=1，則由A到B的路徑：AE+EF+FB的最小值為．
【變式8-2】（2023春·遼寧朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，則GE+CF的最小值為（）

A．23B．22C．32D．33
【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C，D是y軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C下方）且CD=2，連接AC，BD，則AC+BD的最小值為
【題型9 兩動(dòng)一定】
【例9】（2023春·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面積為18，BD平分∠ABC，若E、F分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+EF的最小值為．

【變式9-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB，AC上，則線段DE+DF的最小值是（）
A．BC邊上高的長(zhǎng)B．線段EF的長(zhǎng)度
C．BC邊的長(zhǎng)度D．以上都不對(duì)
【變式9-2】（2023春·江蘇淮安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=8，AC=10，點(diǎn)P、Q分別是邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，則AP+PQ的最小值等于（）

A．4B．245C．5D．485
【變式9-3】（2023春·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，點(diǎn)M、N分別是線段AB、AD上的動(dòng)點(diǎn)，則MN+BN的最小值是．

【題型10 費(fèi)馬點(diǎn)】
【例10】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題提出】
（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM，CM．若連接MN，則△BMN的形狀是________．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB+AC=10，求BC的最小值．
【問題解決】
（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園ABCD，AB+BC=6千米，∠ABC=60°，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂場(chǎng)E修三條AE,BE,CE，求三條路的長(zhǎng)度和（即AE+BE+CE）最小時(shí)，平行四邊形公園ABCD的面積．
【變式10-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值．
【變式10-2】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上任意一點(diǎn)，則MA＋MD＋ME的最小值為．
【變式10-3】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．
如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△AP′C′，則可以構(gòu)造出等邊△APP′，得AP=PP′，CP=CP′，所以PA+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP′+PB+P′C′的值，當(dāng)B，P，P′，C四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”．
(1)【拓展應(yīng)用】
如圖1，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′C′．
①若PA=3，則點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離是______；
②當(dāng)PA=3，PB=5，PC=4時(shí)，求∠AP′C的大??；
(2)如圖2，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且∠BAC=90°，AB=6，AC=23，求PA+PB+PC的最小值．

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