知識導航
方法技巧
1．二次函數(shù)與線段的和差
在x軸上是否存在點P，使PB+PA最短？若存在求出點P的坐標，并求出最小值。若不存在，請說明理由。
【方法技巧】（將軍飲馬模型）在兩定點中任選一個點(為了簡單起見，常常取軸上的點)，求出該點關于題中的動點運動所經(jīng)過的那條直線的對稱點的坐標，再把此對稱點與余下定點相連，那么此直線與在x軸上的交點既是點P。
2．二次函數(shù)與周長
在y軸上是否存在點P，使△PAD的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由。
注意到AD是定線段，其長度是個定值，因此只需PA+PD最小。
3．二次函數(shù)與距離
在直線BD下方的拋物線上，是否存在點P，使點P到直線BD的距離最大？若存在，求出點P的坐標，并求出最大距離；若不存在，請說明理由.
因為BD是定線段，點P到直線BD的距離最大，意味著△BDP的面積最大
4．二次函數(shù)與面積
① 三角形面積最值：找公共邊、平移、表示面積
② 四邊形面積最值：設出P點坐標，采用公式法或割補法表示四邊形面積
（1）在直線BD下方的拋物線上是否存在點P，使的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
過點P作y軸的平行線，將△PBD分割成2個同底的三角形，則：(y上動-y下動)(x右定-x左定)
（2）在直線BD下方的拋物線上是否存在點P，使四邊形DOBP的面積最大？若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由。
四邊形DOBP是不規(guī)則圖形，通常用割補法求解，則：或
（3）在拋物線上是否存在點P，使S△PBC=2S△ABD？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。
設出動點P的坐標為(t,t2-2t-3)后，把到圖形△ABD的面積算出，借助于動點坐標把動三角形PBC的面積表示出來，再代入已知中的面積等式求解即可。
題型精講
題型一：函數(shù)與最值問題
【例1】在平面直角坐標系中，拋物線 SKIPIF 1 < 0 的頂點為A．
（1）求頂點A的坐標（用含有字母m的代數(shù)式表示）；
（2）若點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在拋物線上，且 SKIPIF 1 < 0 ，則m的取值范圍是 ；（直接寫出結(jié)果即可）
（3）當 SKIPIF 1 < 0 時，函數(shù)y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)頂點A的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】(1)將拋物線解析式化成 SKIPIF 1 < 0 的形式，即可求得頂點A的坐標；
(2)將 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入拋物線中求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分類討論，分對稱軸在1的左側(cè)、對稱軸在3的右側(cè)、對稱軸在1,3之間共三種情況分別求出函數(shù)的最小值，進而求出m的值．
【詳解】解：(1)由題意可知：拋物線 SKIPIF 1 < 0 ，
∴頂點A的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，得到 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知條件知： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，故m的取值范圍是： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)二次函數(shù)的開口向上，故自變量離對稱軸越遠，其對應的函數(shù)值越大，二次函數(shù)的對稱軸為 SKIPIF 1 < 0 ，
分類討論：
①當 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 時二次函數(shù)取得最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
又已知二次函數(shù)最小值為6，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 符合題意；
②當 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 時二次函數(shù)取得最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，
又已知二次函數(shù)最小值為6，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又，故或都不符合題意；
③當，即時， 時二次函數(shù)取得最小值為，
又已知二次函數(shù)最小值為6，∴，解得或，
又，故符合題意；綜上所述，或．
題型二：函數(shù)與線段、周長問題
【例2】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，6），拋物線的頂點坐標為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．
（1）求拋物線的表達式；
（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；
（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點P，使得BP＋EP的值最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，見解析；（3）存在，
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運用勾股定理逆定理即可證明；
（3）在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點P，連接EP，則BF的長即為所求．
【詳解】解：（1）∵拋物線的頂點坐標為E（2，8），
∴設該拋物線的表達式為y=a（x-2）2+8，
∵與y軸交于點C（0，6），∴把點C（0，6）代入得：a=，
∴該拋物線的表達式為y=x2+2x+6；
（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點，
∴當y=0時，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6，∴A（-2，0），B（6，0），
∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80，
∴BE2=BC2+CE2，∴∠BCE=90°，∴△BCE是直角三角形；
（3）如圖，在CE上截取CF=（即CF等于半徑的一半），連接BF交⊙C于點P，連接EP，
則BF的長即為所求．
連接CP，∵CP為半徑，∴ ，
又∵∠FCP=∠PCE，∴△FCP∽△PCE，
∴ ，F(xiàn)P=EP，∴BF=BP+EP，
由“兩點之間，線段最短”可得：BF的長即BP+EP為最小值．
∵CF=CE，E（2，8），∴F（，），∴BF=
【例3】如圖，拋物線與軸交于除原點和點，且其頂點關于軸的對稱點坐標為．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）拋物線的對稱軸上存在定點，使得拋物線上的任意一點到定點的距離與點到直線的距離總相等．
①證明上述結(jié)論并求出點的坐標；
②過點的直線與拋物線交于兩點．證明：當直線繞點旋轉(zhuǎn)時，是定值，并求出該定值；
（3）點是該拋物線上的一點，在軸，軸上分別找點，使四邊形周長最小，直接寫出的坐標．
【答案】（1）；（2）；，證明見解析（3），
【分析】（1）先求出頂點的坐標為，在設拋物線的解析式為，根據(jù)拋物線過原點，即可求出其解析式；
（2）設點坐標為，點坐標為，利用兩點間距離公式，結(jié)合題目已知列出等量關系；設直線的解析式為，直線與拋物線交于點，直線方程與拋物線聯(lián)立得出，在結(jié)合的結(jié)論，分別表示出的值，即可求解；
（3）先求出點的坐標，分別作點關于軸的對稱點，點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，交軸于點，則點即為所求
【詳解】解：（1）點B關于軸對稱點的坐標為點的坐標為
設拋物線的解析式為
拋物點過原點解得
拋物線解析式為：即
（2）設點坐標為，點坐標為
由題意可得：
整理得：點的坐標為
設直線的解析式為，直線與拋物線交于點
整理得：
由得
整理得：
（3）點在拋物線上，
如圖：作點關于軸的對稱點，點關于軸的對稱點
則點，點，連接，交軸于點，交軸于點，則此時四邊形PQBC周長最小
設直線的解析式為
解得直線的解析式為
點坐標為，點坐標為
題型三：函數(shù)與三角形面積
【例4】如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形的邊與y軸交于E點，F(xiàn)是的中點，B、C、D的坐標分別為．
（1）求過B、E、C三點的拋物線的解析式；
（2）試判斷拋物線的頂點是否在直線上；
（3）設過F與平行的直線交y軸于Q，M是線段之間的動點，射線與拋物線交于另一點P，當?shù)拿娣e最大時，求P的坐標．
【答案】（1）；（2）頂點是在直線上，理由見解析；（3）P點坐標為（9，）．
【分析】（1）先求出A點坐標，再求出直線AB的解析式，進而求得E的坐標，然后用待定系數(shù)法解答即可；
（2）先求出點F的坐標，再求出直線EF的解析式，然后根據(jù)拋物線的解析式確定頂點坐標，然后進行判定即可；
（3）設P點坐標為（p，），求出直線BP的解析式，進而求得M的坐標；再求FQ的解析式，確定Q的坐標，可得|MQ|=+6，最后根據(jù)S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ列出關于p的二次函數(shù)并根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【詳解】解：（1）∵平行四邊形，B、C、D的坐標分別為∴A（3，10），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則 ，解得，∴直線AB的解析式為y=2x+4，
當x=0時，y=4，則E的坐標為（0,4），設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，
，解得，
∴過B、E、C三點的拋物線的解析式為；
（2）頂點是在直線上，理由如下：∵F是的中點，∴F（8,10），
設直線EF的解析式為y=mx+n，
則，解得，∴直線EF的解析式為y=x+4，
∵，∴拋物線的頂點坐標為（3，），
∵=×3+4，∴拋物線的頂點是否在直線上；
（3）∵，則設P點坐標為（p，），直線BP的解析式為y=dx+e，則 ，解得，
∴直線EF的解析式為y=x+，
當x=0時，y=，則M點坐標為（0，），
∵AB//FQ ，∴設FQ的解析式為y=2x+f，則10=2×8+f，解得f=-6，
∴FQ的解析式為y=2x-6 ，∴Q的坐標為（0，-6），
∴|MQ|=+6，
∴S△PBQ= S△MBQ+ S△PMQ= ===
∴當p=9時，的面積最大時，∴P點坐標為（9，）．
題型四：函數(shù)與四邊形面積
【例5】如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點P的坐標
（3）在（2）的結(jié)論下，點M為x軸上一動點，拋物線上是否存在一點Q．使點P、B、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在．請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】
（1）；（2）（，）；（3）（，）或（，）或（，）
【分析】（1）根據(jù)OB=OC=3OA，AC=，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C的坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）判斷出四邊形BACP的面積最大時，△BPC的最大面積，過點P作y軸的平行線交BC于點H，求出直線BC的表達式，設點P（x，-x2-2x+3），利用三角形面積公式S△BPC=，即可求出S△BPC面積最小時點P的坐標；
（3）分類討論，一是當BP為平行四邊形對角線時，二是當BP為平行四邊形一邊時，利用平移規(guī)律即可求出點Q的坐標．
【詳解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=，
∴，即，解得：OA=1，OC=OB=3，
∴A（1，0），B（-3，0），C（0，3），代入中，
則，解得：，∴拋物線的解析式為；
（2）如圖，四邊形PBAC的面積=△BCA的面積+△PBC的面積，
而△ABC的面積是定值，故四邊形PBAC的面積最大，只需要△BPC的最大面積即可，
過點P作y軸的平行線交BC于點H，
∵B（-3，0），C（0，3），設直線BC的表達式為y=mx+n，
則，解得：，∴直線BC的表達式為y=x+3，
設點P（x，-x2-2x+3），則點H（x，x+3），
S△BPC===，
∵，故S有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，
此時x=，代入得，∴P（，）；
（3）若BP為平行四邊形的對角線，則PQ∥BM，PQ=BM，則P、Q關于直線x=-1對稱，
∴Q（，）；
若BP為平行四邊形的邊，如圖，QP∥BM，QP=BM，同上可得：Q（，）；
如圖，BQ∥PM，BQ=PM，∵點Q的縱坐標為，代入中，
解得：或（舍），∴點Q的坐標為（，）；
如圖，BP∥QM，BP=QM，∵點Q的縱坐標為，代入中，
解得：（舍）或，∴點Q的坐標為（，）；
綜上：點Q的坐標為（，）或（，）或（，）．
提分訓練
1．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與坐標軸交于兩點，直線交軸于點．點為直線下方拋物線上一動點，過點作軸的垂線，垂足為分別交直線于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當，連接，求的面積；
（3）①是軸上一點，當四邊形是矩形時，求點的坐標；
②在①的條件下，第一象限有一動點，滿足，求周長的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）①；②
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法即可求出答案．
（2）由題意可求出，．利用三角函數(shù)可知在和中，，由此即可求出，從而可求出．即可求出D點坐標，繼而求出．再根據(jù)，即可求出FD的長，最后利用三角形面積公式即可求出最后答案．
（3）①連接，交于點．根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，．由可推出．由，可推出．再根據(jù)直線BC的解析式可求出C點坐標，即可得出OC的長，由此可求出AC的長，即可求出CH的長，最后即得出OH的長，即可得出H點坐標．
②在中，利用勾股定理可求出的長，再根據(jù)結(jié)合可推出，即要使最小，就要最小，由題意可知當點在上時，為最?。辞蟪鯞C長即可．在中，利用勾股定理求出的長，即得出周長的最小值為．
【詳解】解：（1）∵拋物線過兩點，
，解得，，．
（2）．同理，．
又軸，軸，∴在和中，，即，
．當時，，
，即． ，．
（3）①如圖，連接，交于點．
∵四邊形是矩形，．
又，∴，．
∵四邊形是矩形，．
，∵當x=0時，，
∴，，，，．
②在中，，
．
∴要使最小，就要最?。?
，∴當點在上時，為最?。?br>在中，．周長的最小值是．
2．已知拋物線與x軸只有一個公共點．
（1）若拋物線過點，求的最小值；
（2）已知點中恰有兩點在拋物線上．
①求拋物線的解析式；
②設直線l：與拋物線交于M，N兩點，點A在直線上，且，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和于點B，C．求證：與的面積相等．
【答案】（1）-1；（2）①；②見解析
【分析】（1）先求得c=1，根據(jù)拋物線與x軸只有一個公共點，轉(zhuǎn)化為判別式△=0，從而構(gòu)造二次函數(shù)求解即可；
（2）①根據(jù)拋物線與x軸只有一個公共點，得拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè)，據(jù)此判斷即可；②證明AB=BC即可
【詳解】解：因為拋物線與x軸只有一個公共點，
以方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，即．
（1）因為拋物線過點，所以，
所以，即．所以，當時，取到最小值．
（2）①因為拋物線與x軸只有一個公共點，
所以拋物線上的點只能落在x軸的同側(cè)．
又點中恰有兩點在拋物線的圖象上，
所以只能是在拋物線的圖象上，
由對稱性可得拋物線的對稱軸為，所以，即，因為，所以．
又點在拋物線的圖象上，所以，故拋物線的解析式為．
②由題意設，則．
記直線為m，分別過M，N作，垂足分別為E，F(xiàn)，即，
因為，所以．
又，所以，所以．
所以，所以，即．
所以，
即．①
把代入，得，解得，
所以．②
將②代入①，得，即，解得，即．
所以過點A且與x軸垂直的直線為，將代入，得，即，
將代入，得，即，
所以，因此，所以與的面積相等．
3．在平面直角坐標系xOy中，關于x的二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象過點（﹣1，0），（2，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）求當﹣2≤x≤1時，y的最大值與最小值的差；
（3）一次函數(shù)y＝（2﹣m）x+2﹣m的圖象與二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象交點的橫坐標分別是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范圍．
【分析】（1）由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣1，0）和（2，0）兩點，組成方程組再解即可求得二次函數(shù)的表達式；
（2）求得拋物線的對稱軸，根據(jù)圖象即可得出當x＝﹣2，函數(shù)有最大值4；當x是函數(shù)有最小值，進而求得它們的差；
（3）由題意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因為a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m．
【解析】（1）由二次函數(shù)y＝x2+px+q的圖象經(jīng)過（﹣1，0）和（2，0）兩點，
∴，解得，∴此二次函數(shù)的表達式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2；
（2）∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x，
∴在﹣2≤x≤1范圍內(nèi)，當x＝﹣2，函數(shù)有最大值為：y＝4+2﹣2＝4；當x是函數(shù)有最小值：y2，∴的最大值與最小值的差為：4﹣（）；
（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m與二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣2圖象交點的橫坐標為a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0∴m≠5
∵a＜3＜b當x＝3時，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m∴m的取值范圍為m．
4．已知拋物線（a，c為常數(shù)，）經(jīng)過點，頂點為D．
（Ⅰ）當時，求該拋物線的頂點坐標；
（Ⅱ）當時，點，若，求該拋物線的解析式；
（Ⅲ）當時，點，過點C作直線l平行于x軸，是x軸上的動點，是直線l上的動點．當a為何值時，的最小值為，并求此時點M，N的坐標．
【答案】（Ⅰ）拋物線的頂點坐標為；（Ⅱ）或；（Ⅲ）點M的坐標為，點N的坐標為
【分析】（Ⅰ）結(jié)合題意，通過列一元一次方程并求解，即可得到拋物線的解析式，將解析式化為頂點式，即可得到答案
（Ⅱ）根據(jù)題意，得拋物線的解析式為；根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，計算得點D的坐標為；過點D作軸于點G，根據(jù)勾股定理和一元二次方程的性質(zhì)，得，，從而得到答案；
（Ⅲ）當時，將點向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得；作點F關于x軸的對稱點，當滿足條件的點M落在線段上時，根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)，得最小，結(jié)合題意，根據(jù)勾股定理和一元二次方程性質(zhì)，得，從而得直線的解析式，通過計算即可得到答案．
【詳解】（Ⅰ）當時，拋物線的解析式為．
∵拋物線經(jīng)過點∴解得：∴拋物線的解析式為
∵∴拋物線的頂點坐標為；
（Ⅱ）當時，由拋物線經(jīng)過點，可知
∴拋物線的解析式為∴拋物線的對稱軸為：
當時，∴拋物線的頂點D的坐標為；過點D作軸于點G
在中，，，∴
在中，，，∴．
∵，即，∴解得：，
∴拋物線的解析式為或．
（Ⅲ）當時，將點向左平移3個單位長度，向上平移1個單位長度得．
作點F關于x軸的對稱點，得點的坐標為
當滿足條件的點M落在線段上時，最小，此時，．
過點作軸于點H
在中，，，∴．
又，即．解得：，（舍）
∴點的坐標為，點的坐標為．∴直線的解析式為．
當時，．∴，∴點M的坐標為，點N的坐標為．
5．如圖，二次函數(shù)（是實數(shù)，且）的圖像與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），其對稱軸與軸交于點，已知點位于第一象限，且在對稱軸上，，點在軸的正半軸上，．連接并延長交軸于點，連接．
（1）求、、三點的坐標（用數(shù)字或含的式子表示）；
（2）已知點在拋物線的對稱軸上，當?shù)闹荛L的最小值等于，求的值．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐標，再求解函數(shù)的對稱軸，可得的坐標；
（2）先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解，利用三角形的中位線定理再求解．再利用勾股定理求解，如圖，當點、、三點共線時，的長最小，此時的周長最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．
【詳解】解：（1）令 則，
∴，，∴對稱軸為直線，∴．
（2）在中，，
，
，． ．
∵軸，軸，∴．∵，∴．∴．
在中，，∴，即．（負根舍去）
∵點與點關于對稱軸對稱，∴．
∴如圖，當點、、三點共線時，的長最小，此時的周長最?。?br>∴的周長的最小值為，
∴的長最小值為，即．
∵，∴．∴．∵，∴．
6．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+x的圖象過O（0，0）、A（1，0）、B（，）三點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若線段OB的垂直平分線與y軸交于點C，與二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分相交于點D，求直線CD的解析式；
（3）在直線CD下方的二次函數(shù)的圖象上有一動點P，過點P作PQ⊥x軸，交直線CD于Q，當線段PQ的長最大時，求點P的坐標．
【分析】（1）將點O、A、B的坐標代入拋物線表達式，即可求解；
（2）由點B的坐標知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負半軸的夾角為60°，故設CD的表達式為：yx+b，而OB中點的坐標為（，），將該點坐標代入CD表達式，即可求解；
（3）過點P作y軸額平行線交CD于點H，PHx（x2x）x2x，即可求解．
【解析】（1）將點O、A、B的坐標代入拋物線表達式得
，解得，故拋物線的表達式為：yx2x；
（2）由點B的坐標知，直線BO的傾斜角為30°，則OB中垂線（CD）與x負半軸的夾角為60°，
故設CD的表達式為：yx+b，而OB中點的坐標為（，），
將該點坐標代入CD表達式并解得：b，故直線CD的表達式為：yx；
（3）設點P（x，x2x），則點Q（x，x），
則PQx（x2x）x2x，
∵0，故PQ有最大值，此時點P的坐標為（，）．
7．在平面直角坐標系中，設二次函數(shù)y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是實數(shù)，a≠0）．
（1）若函數(shù)y1的對稱軸為直線x＝3，且函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（a，b），求函數(shù)y1的表達式．
（2）若函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（r，0），其中r≠0，求證：函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點（，0）．
（3）設函數(shù)y1和函數(shù)y2的最小值分別為m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．
（2）函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出10，即a（）2+b?1＝0，推出是方程ax2+bx+1的根，可得結(jié)論．
（3）由題意a＞0，∴m，n，根據(jù)m+n＝0，構(gòu)建方程可得結(jié)論．
【解析】（1）由題意，得到3，解得b＝﹣6，
∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過（a，﹣6），∴a2﹣6a+a＝﹣6，解得a＝2或3，
∴函數(shù)y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．
（2）∵函數(shù)y1的圖象經(jīng)過點（r，0），其中r≠0，∴r2+br+a＝0，
∴10，即a（）2+b?1＝0，∴是方程ax2+bx+1的根，
即函數(shù)y2的圖象經(jīng)過點（，0）．
（3）由題意a＞0，∴m，n，
∵m+n＝0，∴0，∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，∴4a﹣b2＝0，∴m＝n＝0．
8．在平面直角坐標系中，已知點A（1，2），B（2，3），C（2，1），直線y＝x+m經(jīng)過點A，拋物線y＝ax2+bx+1恰好經(jīng)過A，B，C三點中的兩點．
（1）判斷點B是否在直線y＝x+m上，并說明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移拋物線y＝ax2+bx+1，使其頂點仍在直線y＝x+m上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最大值．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后即可判斷點B（2，3）在直線y＝x+m上；
（2）因為直線經(jīng)過A、B和點（0，1），所以經(jīng)過點（0，1）的拋物線不同時經(jīng)過A、B點，即可判斷拋物線只能經(jīng)過A、C兩點，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得a、b；
（3）設平移后的拋物線為y＝﹣x+px+q，其頂點坐標為（，q），根據(jù)題意得出q1，由拋物線y＝﹣x+px+q與y軸交點的縱坐標為q，即可得出q1（p﹣1）2，從而得出q的最大值．
【解析】（1）點B是在直線y＝x+m上，理由如下：
∵直線y＝x+m經(jīng)過點A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直線為y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴點B（2，3）在直線y＝x+m上；
（2）∵直線y＝x+1與拋物線y＝ax2+bx+1都經(jīng)過點（0，1），且B、C兩點的橫坐標相同，
∴拋物線只能經(jīng)過A、C兩點，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，拋物線為y＝﹣x2+2x+1，
設平移后的拋物線為y＝﹣x+px+q，其頂點坐標為（，q），
∵頂點仍在直線y＝x+1上，∴q1，∴q1，
∵拋物線y＝﹣x+px+q與y軸的交點的縱坐標為q，
∴q1（p﹣1）2，
∴當p＝1時，平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標的最大值為．
9．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形為正方形，點，在軸上，拋物線經(jīng)過點，兩點，且與直線交于另一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）為拋物線對稱軸上一點，為平面直角坐標系中的一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）為軸上一點，過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請求出這個最小值及點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）；（2）存在以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時點M的坐標為．
【分析】（1）由題意易得，進而可得，則有，然后把點B、D代入求解即可；
（2）設點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當時，②當時，然后根據(jù)兩點距離公式可進行分類求解即可；
（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當點D、M、O三點共線時，的值為最小，然后問題可求解．
【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，
∴，，∴，∴OB=1，∴，
把點B、D坐標代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；
（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對稱軸為直線，
∵點D與點E關于拋物線的對稱軸對稱，∴，
∴由兩點距離公式可得，
設點，當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形時，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：
①當時，如圖所示：
∴由兩點距離公式可得，即，解得：，
∴點F的坐標為或；
②當時，如圖所示：
∴由兩點距離公式可得，即，解得：，
∴點F的坐標為或；
綜上所述：當以點，，，為頂點的四邊形是以為邊的菱形，點的坐標為或或或；
（3）由題意可得如圖所示：
連接OM、DM，由（2）可知點D與點E關于拋物線的對稱軸對稱，，∴，DM=EM，
∵過點作拋物線對稱軸的垂線，垂足為，∴，
∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，
若使的值為最小，即為最小，
∴當點D、M、O三點共線時，的值為最小，此時OD與拋物線對稱軸的交點為M，如圖所示：
∵，∴，
∴的最小值為，即的最小值為，
設線段OD的解析式為，代入點D的坐標得：，
∴線段OD的解析式為，∴．
10．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，且OA＝2OC＝8OB．點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一動點．
（1）求此拋物線的表達式；
（2）若PC∥AB，求點P的坐標；
（3）連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點P的坐標．
【分析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB，確定點A、B、C的坐標；即可求解；
（2）拋物線的對稱軸為x，當PC∥AB時，點P、C的縱坐標相同，即可求解；
（3）△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHCPH×OA，即可求解．
【解析】（1）拋物線y＝ax2+bx﹣2，則c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，則OA＝﹣4，OB，故點A、B、C的坐標分別為（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；則y＝a（x+4）（x）＝a（x2x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故拋物線的表達式為：y＝x2x﹣2；
（2）拋物線的對稱軸為x，
當PC∥AB時，點P、C的縱坐標相同，根據(jù)函數(shù)的對稱性得點P（，﹣2）；
（3）過點P作PH∥y軸交AC于點H，
由點A、C的坐標得，直線AC的表達式為：yx﹣2，
則△PAC的面積S＝S△PHA+S△PHCPH×OA4×（x﹣2﹣x2x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，∴S有最大值，當x＝﹣2時，S的最大值為8，此時點P（﹣2，﹣5）．
11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），且A點坐標為（，0），直線BC的解析式為yx+2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點A作AD∥BC，交拋物線于點D，點E為直線BC上方拋物線上一動點，連接CE，EB，BD，DC．求四邊形BECD面積的最大值及相應點E的坐標；
（3）將拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移個單位，已知點M為拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）的對稱軸上一動點，點N為平移后的拋物線上一動點．在（2）中，當四邊形BECD的面積最大時，是否存在以A，E，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）利用直線BC的解析式求出點B、C的坐標，則y＝ax2+bx+2＝a（x）（x﹣3）＝ax2﹣2a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a，即可求解；
（2）四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCDEF×OB（xD﹣xC）×BH，即可求解；
（3）分AE是平行四邊形的邊、AE是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可．
【解析】（1）直線BC的解析式為yx+2，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝2，
故點B、C的坐標分別為（3，0）、（0，2）；
則y＝ax2+bx+2＝a（x）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣6）＝ax2﹣2a﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a，故拋物線的表達式為：yx2x+2①；
（2）如圖，過點B、E分別作y軸的平行線分別交CD于點H，交BC于點F，
∵AD∥BC，則設直線AD的表達式為：y（x）②，
聯(lián)立①②并解得：x＝4，故點D（4，），
由點C、D的坐標得，直線CD的表達式為：yx+2，
當x＝3時，yBCx+2＝﹣2，即點H（3，﹣2），故BH＝2，
設點E（x，x2x+2），則點F（x，x+2），
則四邊形BECD的面積S＝S△BCE+S△BCDEF×OB（xD﹣xC）×BH（x2x+2x﹣2）×342x2+3x+4，
∵0，故S有最大值，當x時，S的最大值為，此時點E（，）；
（3）存在，理由：
yx2x+2（x）2，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移個單位，
則新拋物線的表達式為：yx2，
點A、E的坐標分別為（，0）、（，）；設點M（，m），點N（n，s），sn2；
①當AE是平行四邊形的邊時，
點A向右平移個單位向上平移個單位得到E，同樣點M（N）向右平移個單位向上平移個單位得到N（M），即±n，則sn2或，
故點N的坐標為（，）或（，）；
②當AE是平行四邊形的對角線時，
由中點公式得：n，解得：n，sn2，
故點N的坐標（，）；
綜上點N的坐標為：（，）或（，）或（，）．

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