TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc272" 【題型1 利用等邊三角形的性質(zhì)求值】 PAGEREF _Tc272 \h 1
\l "_Tc6055" 【題型2 利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段或角度相等】 PAGEREF _Tc6055 \h 2
\l "_Tc1660" 【題型3 等邊三角形的證明】 PAGEREF _Tc1660 \h 4
\l "_Tc20643" 【題型4 等邊三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc20643 \h 5
\l "_Tc25325" 【題型5 等邊三角形中的折疊問題】 PAGEREF _Tc25325 \h 7
\l "_Tc31680" 【題型6 與等邊三角形有關(guān)的規(guī)律問題】 PAGEREF _Tc31680 \h 8
\l "_Tc7267" 【題型7 等邊三角形中的動態(tài)問題】 PAGEREF _Tc7267 \h 10
\l "_Tc10898" 【題型8 等邊三角形中求最值】 PAGEREF _Tc10898 \h 11
\l "_Tc23409" 【題型9 等邊三角形中的多結(jié)論問題】 PAGEREF _Tc23409 \h 13
\l "_Tc29572" 【題型10 確定等邊三角形中的線段之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc29572 \h 14
【知識點(diǎn) 等邊三角形】
（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.
（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°.
（3）等邊三角形的判定：
①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；
③有一個(gè)角為 60°的等腰三角形是等邊三角形.
【題型1 利用等邊三角形的性質(zhì)求值】
【例1】（2023春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形ABC中，BD=CE，AD與BE交于點(diǎn)P，則∠APE= °．
【變式1-1】（2023春·四川成都·八年級成都實(shí)外校考期末）已知：如圖，點(diǎn)E是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且EA=EB，△ABC外一點(diǎn)D滿足BD=AC，BE平分∠DBC．

(1)求證：△DBE≌△CBE；
(2)求∠BDE的度數(shù)．
(3)若∠ABE=45°，試判斷BD與AC的位置關(guān)系，并說明理由．
【變式1-2】（2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上異于B，C的任意一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若BC邊上的高線AM=2，則DE+DF= ．

【變式1-3】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級烏魯木齊市第70中?？计谀┤鐖D，已知等邊三角形ABC的邊長為m，過AB邊上一點(diǎn)P作PE⊥AC于點(diǎn)E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，取PA=CQ，連接PQ，交AC于M，則EM的長為 ．

【題型2 利用等邊三角形的性質(zhì)證明線段或角度相等】
【例2】（2023春·河南周口·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC是等邊三角形，延長BC到E，使CE=12BC，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，連接ED并延長交AB于點(diǎn)F．

(1)求證：EF⊥AB；
(2)連接BD，求證：BD=DE．
【變式2-1】（2023春·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是高線，延長BC到E，使CE=AD．證明：BD=DE．
【變式2-2】（2023春·四川巴中·八年級統(tǒng)考期末）已知，將等邊△ABC和一塊含有30°角的直角三角板DEF (∠F=30°)如圖1放置，點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，點(diǎn)A恰好落在三角板的斜邊DF上．
（1）利用圖證明： EF=2AC；
（2）△ABC在EF所在的直線上向右平移，當(dāng)AB、AC與三角板斜邊的交點(diǎn)為G、H時(shí)，如圖2．判斷線段EB=AH是否成立．如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
【變式2-3】（2023春·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)．
(1)以AD為邊構(gòu)造等邊△ADE（其中點(diǎn)D、E在直線AC兩側(cè)），連接CE，猜想CE與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)若過點(diǎn)C作CM∥AB，在CM上取一點(diǎn)F，連接AF、DF，使得∠ADF=60°，試猜想△ADF的形狀，直接寫出你的結(jié)論．
【題型3 等邊三角形的證明】
【例3】（2023春·河南周口·八年級?？计谀┰凇鰽BC中，AB=BC，∠ABC=60°，BD是AC邊上的高，點(diǎn)E為直線BC上點(diǎn)，且CE=AD．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí)，求證：△CDE為等邊三角形；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，求證：△BDE為等腰三角形．
【變式3-1】（2023春·貴州銅仁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，E是CD的中點(diǎn)，EC=EB，∠CDA=120°，DF∥BE，且DF平分∠CDA．求證：△BEC是等邊三角形．補(bǔ)全下面的證明過程及理由．
證明：∵DF平分∠CDA（已知），
∴∠FDC=12∠___________（___________）．
∵∠CDA=120°（已知），
∴∠FDC=__________°．
∵DF∥BE（已知），
∴∠FDC=∠__________（___________），
∴∠BEC=60°．
又∵EC=EB（已知），
∴△BCE是等邊三角形（____________）．
【變式3-2】（2023春·甘肅天水·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E、F為垂足．求證：

(1)DE=DF；
(2)△DEF是等邊三角形．
【變式3-3】（2023春·山東菏澤·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC邊上的中線，且BD=BE，CD的垂直平分線MF交AC于F，交BC于M．

(1)求∠ADE的度數(shù)．
(2)證明：△ADF是等邊三角形．
【題型4 等邊三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】
【例4】（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動點(diǎn)（OC>1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，連接DA并延長，交y軸于點(diǎn)E．
(1)求證：OC=AD；
(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，∠CAD的度數(shù)是否會變化？如果不變，請求出∠CAD的度數(shù)；如果改變，請說明理由；
(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到什么位置時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【變式4-1】（2023春·遼寧鐵嶺·八年級校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上一動點(diǎn)(OC>1)，連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形CBD，連接DA并延長，交y軸于點(diǎn)E．
(1)求證：OC=AD；
(2)在點(diǎn)C的運(yùn)動過程中，∠CAD的度數(shù)是否會變化？如果不變，請求出∠CAD的度數(shù)；如果改變，請說明理由；
(3)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動到什么位置時(shí)，以A、E、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？
【變式4-2】（2023春·北京·八年級北京市廣渠門中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A0 ， 2，點(diǎn)B為y軸上一動點(diǎn)，以BP為邊作等邊△PBC，延長CA交x軸于點(diǎn)E．

（1）求證：OB=AC；
（2）∠CAP的度數(shù)是 ；（直接寫出答案，不需要說明理由．）
（3）當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，猜想AE的長度是否發(fā)生變化？如不變，請求出AE的長度；若改變，請說明理由．
【變式4-3】（2023春·湖北黃石·八年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中．A點(diǎn)在y軸上，B（b，0），C（c，0）在x軸上，∠BAC=60°，且b、c滿足等式b2+2bc+c2＝0．
(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)如圖1，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，連FC，若∠GFC+∠ACG=60°．求證：FG平分∠AFC；
(3)如圖2，△BDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M為AE中點(diǎn)，試確定DM與CM的位置關(guān)系．
【題型5 等邊三角形中的折疊問題】
【例5】（2023春·四川成都·八年級?？计谀┤鐖D，已知等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DB′，EB′分別交邊AC于點(diǎn)F，G.若∠ADF=80°，則∠GEC的度數(shù)為 度．

【變式5-1】（2023春·湖北省直轄縣級單位·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊△ABC的邊長為1cm，D、E分別AB、AC是上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，且點(diǎn)A′在△ABC外部，則陰影部分的周長為（ ）cm
A．1B．2C．3D．4
【變式5-2】（2023春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊三角形ABC紙片折疊，使得點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，其中折痕分別交邊AB,AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE,DF．若DF⊥BC，則∠AEF的度數(shù)是（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
【變式5-3】（2023春·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠B=60°，D是邊AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F．
(1)如圖1，若點(diǎn)F恰好落在邊BC上，判斷△BDF的形狀，并證明；
(2)如圖2，若點(diǎn)F落在△ABC內(nèi)，且DF的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)C，CF=EF，求∠A的度數(shù)；
(3)若AB=9，當(dāng)△BDF是直角三角形時(shí)，直接寫出AD的長．
【題型6 與等邊三角形有關(guān)的規(guī)律問題】
【例6】（2023春·安徽蕪湖·八年級蕪湖市第二十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，等邊△A1C1C2的周長為1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延長線上取點(diǎn)C3，使D1C3=D1C1，連接D1C3，以C2C3為邊作等邊△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延長線上取點(diǎn)C4，使D2C4=D2C2，連接D2C4，以C3C4為邊作等邊△A3C3C4；…且點(diǎn)A1，A2，A3，…都在直線C1C2同側(cè)，如此下去，則△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn+1的周長和為 ．

【變式6-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是0，4，以為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點(diǎn)A2作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O2，以O(shè)2A2為邊在右側(cè)作等邊三角形O2A2A3，……，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形O2022A2022A2023，則點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為（ ）
A．122021B．122022C．122023D．122024
【變式6-2】（2023·四川·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形A1B1C1D1（記為第1個(gè)正方形）的頂點(diǎn)A1與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B1在y軸上，點(diǎn)D1在x軸上，點(diǎn)C1在第一象限內(nèi)，以C1為頂點(diǎn)作等邊△C1A2B2，使得點(diǎn)A2落在x軸上，A2B2⊥x軸，再以A2B2為邊向右側(cè)作正方形A2B2C2D2（記為第2個(gè)正方形），點(diǎn)D2在x軸上，以C2為頂點(diǎn)作等邊△C2A3B3，使得點(diǎn)A3落在x軸上，A3B3⊥x軸，若按照上述的規(guī)律繼續(xù)作正方形，則第2021個(gè)正方形的邊長為 ．
【變式6-3】（2023春·廣西柳州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與x軸交于點(diǎn)B1，與y軸交點(diǎn)于D，且OB1=1,∠ODB1=60°，以O(shè)B1為邊長作等邊三角形A1OB1，過點(diǎn)A1作A1B2平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B2，以A1B2為邊長作等邊三角形A2A1B2，過點(diǎn)A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B3，以A2B3為邊長作等邊三角形A3A2B3，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A6的橫坐標(biāo)是 ．
【題型7 等邊三角形中的動態(tài)問題】
【例7】（2023春·河南濮陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm，動點(diǎn)P，Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為vP=2cm/s，vQ=1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為ts．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？
【變式7-1】（2023春·甘肅張掖·八年級?？计谀┤鐖D1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同．連接AQ、CP交于點(diǎn)M．

(1)求證：△ABQ≌△CAP；
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．
(3)如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交于點(diǎn)M，則△ABQ和△CAP還全等嗎？說明理由；
【變式7-2】（2023春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P，Q是等邊△ABC邊AB，BC上的動點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)B，C方向運(yùn)動（不與點(diǎn)B，C重合）．連接AQ,CP,PQ，其中AQ與CP交于點(diǎn)M．針對點(diǎn)P，Q的運(yùn)動過程，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．BQ=AP B．△ABQ≌△CAP
C．△BPQ的形狀可能是等邊三角形D．∠CMQ的度數(shù)隨點(diǎn)P，Q的運(yùn)動而變化
【變式7-3】（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在AD的右側(cè)作△ADE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

(1)當(dāng)D在線段BC上時(shí)，求證：△BAD≌△CAE；
(2)當(dāng)CE∥AB時(shí)．
①若D在線段BC上，判斷△ABC的形狀，并說明理由；
②若△ABD中的最小角為20°，直接寫出∠ADB的度數(shù)．
【題型8 等邊三角形中求最值】
【例8】（2023春·廣東深圳·八年級校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接PD，以PD為邊在PD的下方做等邊三角形PDQ，連接CQ，則CQ的最小值是（ ）

A．32B．1C．2D．2
【變式8-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)B為線段AQ上的動點(diǎn)，AQ=8，以AB為邊作等邊△ABC，以BC為底邊作等腰△PCB，則PQ的最小值為（ ）

A．3B．4C．5D．6
【變式8-2】（2023春·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=20，BC=32，△ABD是等邊三角形，P是∠BAC平分線上一動點(diǎn)連接PC、PD，則PC＋PD的最小值為 ．

【變式8-3】（2023春·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將等邊△ABC折疊，使得點(diǎn)B恰好落在邊AC上的點(diǎn)D處，折痕為EF，O為折痕EF上一動點(diǎn)，若AD＝2，AC＝6，△OCD周長的最小值是（ ）
A．8B．10C．12D．14
【題型9 等邊三角形中的多結(jié)論問題】
【例9】（2023春·湖南長沙·八年級長沙市北雅中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，則①DB=AE；②∠AMC=∠DNC；③∠AOB=60°；④DN=AM．其中，正確的有 ．
【變式9-1】（2023春·湖北鄂州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形ABD與等邊三角形 ACE，連接 BE、CD，BE的延長線與CD交于點(diǎn) F，連接AF，有以下四個(gè)結(jié)論：①BE=CD；②FA平分∠EFC；③∠BFD=60°；④FE+FC=FA．其中一定正確的結(jié)論有（ ）
A．1個(gè)B．2 個(gè)C．3 個(gè)D．4 個(gè)
【變式9-3】（2023春·全國·八年級期末）如圖，等邊△ABC中，D、E分別為AC、BC邊上的點(diǎn)，AD=CE，連接AE、BD交于點(diǎn)F，∠CBD、∠AEC的平分線交于AC邊上的點(diǎn)G，BG與AE交于點(diǎn)H，連接FG．下列說法：①△ABD?△CAE；②∠BGE=30°；③∠ABG=∠BGF﹔④AB=AH+FG﹔⑤ S△AGE︰S△BGC=DG∶GC，其中正確的說法有 ．
【題型10 確定等邊三角形中的線段之間的關(guān)系】
【例10】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┮阎€段AB⊥l于點(diǎn)B，點(diǎn)D在直線l上，分別以AB、AD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE，直線CE交直線l于點(diǎn)F．
(1)當(dāng)點(diǎn)F在線段BD上時(shí)，如圖①，直接寫出DF，CE，CF之間的關(guān)系 ．
(2)當(dāng)點(diǎn)F在線段BD的延長線上時(shí)，如圖②，當(dāng)點(diǎn)F在線段DB的延長線上時(shí)，如圖③，請分別寫出線段DF、CE、CF之間的數(shù)量關(guān)系，在圖②、圖③中選一個(gè)進(jìn)行證明．
(3)在（1）、（2）的條件下，若BD=2BF，EF=6，請直接寫出CF的值．

【變式10-1】（2023春·山東青島·八年級?？计谥校┮阎喝鐖D，等邊△ABC中，D，E分別在BC，AC邊上運(yùn)動，且始終保持BD=CE，點(diǎn)D、E始終不與等邊△ABC的頂點(diǎn)重合，連接AD、BE，AD，BE交于點(diǎn)F．

(1)試說明△BEC≌△ADB；
(2)直接寫出運(yùn)動過程中，AE、AB、BD三條線段長度之間的等量關(guān)系；
(3)運(yùn)動過程中，∠BFD的度數(shù)是否會改變？如果改變，請說明理由；如果不變，求出∠BFD的度數(shù)，再說明理由．
【變式10-2】（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，過等邊△ABC的頂點(diǎn)A作直線l∥BC，點(diǎn)D在直線l上，（不與點(diǎn)A重合），作射線BD，把射線BD繞著點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后交直線AC于點(diǎn)E．
(1)如圖1，點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)，點(diǎn)E在AC上，請寫出線段AB、AD、AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(2)（2）如圖2，點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)E在AC的延長線上，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，證明你的結(jié)論，若不成立，寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，并證明．

【變式10-3】（2023春·福建福州·八年級?？计谀┒x：若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

(1)如圖1，若點(diǎn)O是高為3的等邊△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則OA+OB+OC= ；
(2)如圖2，已知P是等邊△ABD外一點(diǎn)，且∠APB=120°，請?zhí)骄烤€段PA，PB，PD之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(3)如圖3，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點(diǎn)P，連接AP，求證：
①點(diǎn)P是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)；
②PA+PB+PC=CD．

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