2、精練習題。復習時不要搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，應在老師的指導下，選一些源于課本的變式題，或體現(xiàn)基本概念、基本方法的基本題，通過解題來提高思維能力和解題技巧，加深對所學知識的深入理解。在解題時，要獨立思考，一題多思，一題多解，反復玩味，悟出道理。
3、加強審題的規(guī)范性。每每大考過后，總有同學抱怨沒考好，糾其原因是考試時沒有注意審題。審題決定了成功與否，不解決這個問題勢必影響到高考的成敗。那么怎么審題呢? 應找出題目中的已知條件 ;善于挖掘題目中的隱含條件 ;認真分析條件與目標的聯(lián)系，確定解題思路 。
4、重視錯題。錯誤是最好的老師”，但更重要的是尋找錯因，及時進行總結(jié)，三五個字，一兩句話都行，言簡意賅，切中要害，以利于吸取教訓，力求相同的錯誤不犯第二次。
重難點突破02 函數(shù)的綜合應用
目錄
1、高考中考查函數(shù)的內(nèi)容主要是以綜合題的形式出現(xiàn)，通常是函數(shù)與數(shù)列的綜合、函數(shù)與不等式的綜合、函數(shù)與導數(shù)的綜合及函數(shù)的開放性試題和信息題，求解這些問題時，著重掌握函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列、不等式、導數(shù)等知識點融會貫通，從而找到解題的突破口，要求掌握二次函數(shù)圖像、最值和根的分布等基本解法；掌握函數(shù)圖像的各種變換形式（如對稱變換、平移變換、伸縮變換和翻折變換等）；了解反函數(shù)的概念與性質(zhì)；掌握指數(shù)、對數(shù)式大小比較的常見方法；掌握指數(shù)、對數(shù)方程和不等式的解法；掌握導數(shù)的定義、求導公式與求導法則、復合函數(shù)求導法則及導數(shù)的定義、求導公式與求導法則、復合函數(shù)求導法則及導數(shù)的幾何意義，特別是應用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等．
2、函數(shù)的圖象與性質(zhì)
分奇、偶兩種情況考慮：
比如圖（1）函數(shù)，圖（2）函數(shù)

（1）當為奇數(shù)時，函數(shù)的圖象是一個“”型，且在“最中間的點”取最小值；
（2）當為偶數(shù)時，函數(shù)的圖象是一個平底型，且在“最中間水平線段”取最小值；
若為等差數(shù)列的項時，奇數(shù)的圖象關于直線對稱，偶數(shù)的圖象關于直線對稱．
3、若為上的連續(xù)單峰函數(shù)，且為極值點，則當變化時，的最大值的最小值為，當且僅當時取得．
題型一：函數(shù)與數(shù)列的綜合
例1．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列，滿足，，設數(shù)列的前項和為，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，且滿足，則下列有關數(shù)列的敘述正確的是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，且滿足，，則下列有關數(shù)列的敘述正確的是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足：，且，下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．D．
變式2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列，對于，則下列說法中正確的是（ ）
A．B．
C．數(shù)列是遞增數(shù)列D．
變式3．（2023·上海楊浦·高三復旦附中?？奸_學考試）無窮數(shù)列滿足：，且對任意的正整數(shù)n，均有，則下列說法正確的是（ ）
A．數(shù)列為嚴格減數(shù)列B．存在正整數(shù)n，使得
C．數(shù)列中存在某一項為最大項D．存在正整數(shù)n，使得
題型二：函數(shù)與不等式的綜合
例4．（2023·全國·高三專題練習）關于x的不等式，解集為___________.
例5．（2023·全國·高三專題練習）意大利數(shù)學家斐波那契年~年）以兔子繁殖數(shù)量為例，引人數(shù)列：，該數(shù)列從第三項起，每一項都等于前兩項之和，即，故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項公式為．設是不等式的正整數(shù)解，則的最小值為__________．
例6．（2023·遼寧·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的最小值為______________.
變式4．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)是定義域為R的函數(shù)，，對任意，，均有，已知a，b為關于x的方程的兩個解，則關于t的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
題型三：函數(shù)中的創(chuàng)新題
例7．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）帕德近似是法國數(shù)學家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：
(1)求實數(shù)，的值；
(2)求證：；
(3)求不等式的解集，其中．
例8．（2023·上海黃浦·上海市敬業(yè)中學?？既＃┒x：如果函數(shù)和的圖像上分別存在點M和N關于x軸對稱，則稱函數(shù)和具有C關系．
(1)判斷函數(shù)和是否具有C關系；
(2)若函數(shù)和不具有C關系，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)若函數(shù)和在區(qū)間上具有C關系，求實數(shù)m的取值范圍．
例9．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習）懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為，其中為參數(shù).當時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù).
(1)從下列三個結(jié)論中選擇一個進行證明，并求函數(shù)的最小值；
①；
②；
③.
(2)求證：，.
變式5．（2023·廣東深圳·高三深圳市南山區(qū)華僑城中學?？茧A段練習）布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點． 現(xiàn)新定義： 若滿足，則稱為的次不動點．
(1)判斷函數(shù)是否是“不動點”函數(shù)，若是，求出其不動點； 若不是，請說明理由
(2)已知函數(shù)，若是的次不動點，求實數(shù)的值：
(3)若函數(shù)在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數(shù)的取值范圍．
題型四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）
例10．（2023·浙江紹興·高三浙江省柯橋中學?？奸_學考試）已知函數(shù)，對于任意的實數(shù)a，b，總存在，使得成立，則當m取最大值時，（ ）
A．7B．4C．D．
例11．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）設函數(shù)，若對任意的實數(shù)a，b，總存在使得成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．－1B．0C．D．1
例12．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，若對任意的正實數(shù)，總存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
變式7．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，當時，設的最大值為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．1
變式8．（2023·江西宜春·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)，且，滿足，當時，設函數(shù)的最大值為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
變式9．（2023·上海虹口·高三上海市復興高級中學?？计谥校┤鬭、，且對于時，不等式均成立，則實數(shù)對_________．
題型五：倍值函數(shù)
例13．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，若滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在使得在上的值域為，則稱函數(shù)為“成功函數(shù)”．若函數(shù)（其中，且）是“成功函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例14．（2023·上海金山·高三上海市金山中學?？计谀┰O函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：（1）在上是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，下列結(jié)論錯誤的是
A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”
B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”
C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”
D．函數(shù)（，）不存在“和諧區(qū)間”
例15．（2023·安徽·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域為，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有
①； ②；
③； ④
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①③
變式10．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的定義域為，對給定的正數(shù)，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域為，則稱區(qū)間為的級“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．函數(shù)（）存在1級“理想?yún)^(qū)間”
B．函數(shù)（）不存在2級“理想?yún)^(qū)間”
C．函數(shù)（）存在3級“理想?yún)^(qū)間”
D．函數(shù)，不存在4級“理想?yún)^(qū)間”
變式11．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域為，則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是
A．B．
C．D．
題型六：函數(shù)不動點問題
例16．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預測）設函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點使成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例17．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)，若曲線是自然對數(shù)的底數(shù)）上存在點使得，則的取值范圍是
A．B．C．D．
例18．（2023·江蘇·高二專題練習）若存在一個實數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個不動點.設函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)，定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當時，若存在，且為函數(shù)的一個不動點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
變式12．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點使得，則的取值范圍是
A．B．C．D．
變式13．（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)（），為自然對數(shù)的底數(shù)，若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
題型七：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題
例19．（2023·江蘇蘇州·高三蘇州中學?？茧A段練習）將函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的圖象繞坐標原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ(θ∈(0，α])，得到曲線C，若對于每一個旋轉(zhuǎn)角θ，曲線C都仍然是一個函數(shù)的圖象，則α的最大值為（ ）
A．πB．C．D．
例20．（2023·上海長寧·高三上海市延安中學?？计谥校┰O是含數(shù)的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（ ）
A．B．C．D．
例21．（2023·全國·高三專題練習）雙曲線繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)適當角度可以成為函數(shù)f（x）的圖象，關于此函數(shù)f（x）有如下四個命題，其中真命題的個數(shù)為（ ）
①f（x）是奇函數(shù)；
②f（x）的圖象過點或；
③f（x）的值域是；
④函數(shù)y＝f（x）－x有兩個零點．
A．4個B．3個C．2個D．1個
變式14．（2023·全國·高三專題練習）將函數(shù)的圖像繞著原點逆時針旋轉(zhuǎn)角得到曲線，當時都能使成為某個函數(shù)的圖像，則的最大值是（ ）
A．B．C．D．
題型八：函數(shù)的伸縮變換問題
例22．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學?？计谀┒x域為的函數(shù)滿足，當時，.若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例23．（2023·全國·高三專題練習）定義域為的函數(shù)滿足，當時，，若當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
例24．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為R的函數(shù)滿足，當時，，設在上的最大值為則數(shù)列的前n項和的值為（ ）
A．B．C．D．
變式15．（2023·甘肅·高三西北師大附中階段練習）定義域為R的函數(shù)滿足，當時， ，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )
A．B．C．D．
題型九：V型函數(shù)和平底函數(shù)
例25．（2023·全國·高三專題練習）已知a1，a2，a3與b1，b2，b3是6個不同的實數(shù)，若關于x的方程|x﹣a1|+|x﹣a2|+|x﹣a3|＝|x﹣b1|+|x﹣b2|+|x﹣b3|解集A是有限集，則集合A中，最多有__個元素．
例26．（浙江省衢州市2022-2023學年高三數(shù)學試題）已知等差數(shù)列滿足：，則的最大值為（ ）
A．18B．16C．12D．8
例27．（上海市川沙中學2022-2023學年高三第二學期數(shù)學試題）等差數(shù)列，滿足，則（ ）
A．的最大值為50B．的最小值為50
C．的最大值為51D．的最小值為51
變式16．（上海市青浦區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題）等差數(shù)列，滿足，則（ ）
A．的最大值是50B．的最小值是50
C．的最大值是51D．的最小值是51
變式17．（浙江省金麗衢十二校2022-2023學年高三第一次聯(lián)考數(shù)學試題）設等差數(shù)列，，…，（，)的公差為，滿足，則下列說法正確的是
A．B．的值可能為奇數(shù)
C．存在，滿足D．的可能取值為

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