2024八下第22章四邊形階段方法技巧訓(xùn)練二專訓(xùn)2菱形性質(zhì)與判定的靈活運用（冀教版）

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專訓(xùn)2　菱形性質(zhì)與判定的靈活運用 名師點金： 菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)，同時又具有一些特性，可以歸納為三個方面： (1)從邊看：對邊平行，四邊相等；(2)從角看：對角相等，鄰角互補；(3)從對角線看：對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角． 判定一個四邊形是菱形，可先判定這個四邊形是平行四邊形，再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四邊相等． 利用菱形的性質(zhì)與判定判斷圖形的形狀 1．【 中考·北京】如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E為AD的中點，連接BE. (1)求證：四邊形BCDE為菱形； (2)連接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的長． (第1題) 利用菱形的性質(zhì)與判定證明線段的關(guān)系 2．【 中考·濱州】如圖，在?ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于eq \f(1,2)BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則所得四邊形ABEF是菱形． (1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形； (2)若菱形ABEF的周長為16，AE＝4eq \r(3)，求∠C的大小． (第2題) 利用菱形的性質(zhì)與判定求線段長 3．【 中考·包頭】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，已知CD＝3. (1)求AD的長； (2)求四邊形AEDF的周長．(注意：本題中的計算過程和結(jié)果均保留根號) (第3題) 利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題 4．【 中考·云南】如圖，△ABC是以BC為底的等腰三角形，AD是邊BC上的高，點E、F分別是AB、AC的中點． (1)求證：四邊形AEDF是菱形； (2)如果四邊形AEDF的周長為12，兩條對角線的和等于7，求四邊形AEDF的面積S. (第4題) 答案 1．(1)證明：∵AD＝2BC，E為AD的中點， ∴DE＝BC. ∵AD∥BC， ∴四邊形BCDE是平行四邊形． ∵∠ABD＝90°，AE＝DE， ∴BE＝DE. ∴四邊形BCDE是菱形． (2)解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA. ∴AB＝BC＝1. ∵∠ABD＝90°，E為AD的中點， ∴BE＝AE＝eq \f(1,2)AD. ∵AD＝2BC＝2， ∴BE＝AE＝AB＝1. ∴△ABE為等邊三角形， ∴∠BAE＝60°. ∴∠DAC＝30°，∠ADB＝30°. ∴∠ADC＝60°.∴∠ACD＝90°. 在Rt△ACD中， ∵AD＝2，∠DAC＝30°， ∴CD＝1.∴AC＝eq \r(3). 2．(1)證明：由作圖過程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD. ∴∠BAE＝∠EAF. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC∥AD. ∴∠AEB＝∠EAF. ∴∠BAE＝∠AEB. ∴BE＝AB. ∴BE＝AF. ∵AF∥BE， ∴四邊形ABEF是平行四邊形． ∵AB＝BE， ∴四邊形ABEF是菱形． (2)解： 如圖，連接BF，交AE于G， (第2題) ∵菱形ABEF的周長為16，AE＝4eq \r(3)， ∴AB＝BE＝EF＝AF＝4， AG＝eq \f(1,2)AE＝2eq \r(3)，AE⊥BF. 在Rt△ABG中，AB2＝AG2＋BG2， ∴42＝(2eq \r(3))2＋BG2. ∴BG＝2. ∴BF＝2BG＝4. ∴AB＝AF＝BF＝4. ∴△ABF為等邊三角形． ∴∠BAF＝60°. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠C＝∠BAF＝60°. 3．解：(1)∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°. ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠CAB＝30°. 在Rt△ACD中， ∵∠ACD＝90°，∠CAD＝30°， ∴AD＝2CD＝6. (2)∵DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F， ∴四邊形AEDF是平行四邊形， ∠EAD＝∠ADF. 又∵∠EAD＝∠FAD， ∴∠ADF＝∠FAD. ∴AF＝DF. ∴四邊形AEDF是菱形． ∴AE＝DE＝DF＝AF. 在Rt△CED中， ∵∠CDE＝∠B＝30°， ∴CE＝eq \f(1,2)DE. 又∵CE2＋CD2＝DE2， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)DE))eq \s\up12(2)＋9＝DE2. ∴DE＝2eq \r(3)(負值舍去)． ∴四邊形AEDF的周長為8eq \r(3). 4．(1)證明：∵AD⊥BC，點E、F分別是AB、AC的中點， ∴在Rt△ABD中，DE＝eq \f(1,2)AB＝AE， 在Rt△ACD中，DF＝eq \f(1,2)AC＝AF. 又∵AB＝AC， ∴AE＝AF＝DE＝DF. ∴四邊形AEDF是菱形． (2)解：如圖，設(shè)EF與AD相交于點O. (第4題) ∵菱形AEDF的周長為12， ∴AE＝3， 設(shè)EF＝x，AD＝y(tǒng)，則x＋y＝7， ∴x2＋2xy＋y2＝49，① 易知AD⊥EF， ∴在Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq \s\up12(2)＝32. 即x2＋y2＝36，② 把②代入①，可得2xy＝13， ∴xy＝eq \f(13,2). ∴菱形AEDF的面積S＝eq \f(1,2)xy＝eq \f(13,4).