考試時(shí)間120分鐘，滿分150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號(hào)和考籍號(hào)用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無(wú)效；在草稿紙上、試卷上答題無(wú)效。
3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
A．（－1，1] B．[－1，3] C．（1，3] D．[3，＋∞）
2．某圓錐的軸截面是斜邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為
A．π B． C． D．2π
3．若復(fù)數(shù)z滿足，則z＝
A． B． C． D．
4．若角α的終邊位于第二象限，且，則
A． B． C． D．
5．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為
A．－2 B．1 C．2 D．3
6．同位素測(cè)年法最早由美國(guó)學(xué)者Willard Frank Libby在1940年提出并試驗(yàn)成功，它是利用宇宙射線在大氣中產(chǎn)生的放射性和衰變?cè)韥?lái)檢測(cè)埋在地下的動(dòng)植物的死亡年代，當(dāng)動(dòng)植物被埋地下后，體內(nèi)的碳循環(huán)就會(huì)停止，只進(jìn)行放射性衰變．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，動(dòng)植物死亡后的時(shí)間n（單位：年）與死亡n年后的含量滿足關(guān)系式（其中動(dòng)植物體內(nèi)初始的含量為）．現(xiàn)在某古代祭祀坑中檢測(cè)出一樣本中的含量為原來(lái)的70％，可以推測(cè)該樣本距今約（參考數(shù)據(jù)：，）
A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年
7．在△ABC中，“”是“∠ACB是鈍角”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．若函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝
A．－1 B． C．1 D．
9．函數(shù)在區(qū)間[0，m]上的最小值為，則m的最大值為
A． B． C． D．π
10．已知一樣本數(shù)據(jù)（如莖葉圖所示）的中位數(shù)為12，若x，y均小于4，則該樣本的方差最小時(shí)，x，y的值分別為
A．1，3 B．11，13 C．2，2 D．12，12
11．已知，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線E上的點(diǎn)，點(diǎn)C是內(nèi)切圓的圓心，若，則雙曲線E的漸近線為
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為
A． B． C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若拋物線過點(diǎn)（－1，2），則該拋物線的焦點(diǎn)為________．
14．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為________．
15．在△ABC中，，，，則BC邊上的高為________．
16．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，且EF交AC于點(diǎn)G，現(xiàn)沿折痕AC將△ADC折起，直至滿足條件，此時(shí)EF的長(zhǎng)度為________．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）2023世界科幻大會(huì)在成都舉辦，為了讓同學(xué)們更好地了解科幻，某學(xué)校舉行了以“科幻成都，遇見未來(lái)”為主題的科幻知識(shí)通關(guān)賽，并隨機(jī)抽取了該校50名同學(xué)的通關(guān)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現(xiàn)這些同學(xué)的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間[40，100]，然后把樣本數(shù)據(jù)分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組，經(jīng)過整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）計(jì)算a的值，并估算該校同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的概率；
（2）擬在通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的樣本數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的同學(xué)中隨機(jī)選取2位同學(xué)贈(zèng)送科幻大會(huì)入場(chǎng)券，求此2人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間[50，60）的概率．
18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，且的最大值為．
（1）確定常數(shù)k，并求；
（2）求數(shù)列的前15項(xiàng)和．
19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）若底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且，求點(diǎn)到平面的距離．
20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A，B是橢圓的左，右頂點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過點(diǎn)A的直線分別交橢圓E與直線于P，Q兩點(diǎn)，線段QB的中點(diǎn)為M，若點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（1，0），證明：點(diǎn)B關(guān)于直線FM的對(duì)稱點(diǎn)在PF上．
21．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）當(dāng)時(shí)，求f′（x）的最小值；
（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．
（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)M是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）若直線l過點(diǎn)A（2，0），求直線l的斜率；
（2）設(shè)直線l恒過定點(diǎn)N，若，求點(diǎn)M的極徑．
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為m，且，求m的最小值．
2024屆高三第二次聯(lián)考
文科數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．C
解：由解得，由，解得，所以，選C．
2．B
解：由題可知該圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為，所以側(cè)面積為，選B．
3．B
解：設(shè)，選B．
4．D
解：因?yàn)榻铅恋慕K邊位于第二象限，則，所以，選D．
5．D
解：滿足線性約束條件的可行域如圖陰影部分所示，取最大值即直線截距最大，所以在A處取得，解，得，此時(shí)，選D．
6．B
解：經(jīng)過n年后含量為，所以有，代入關(guān)系式得，
所以，所以，選B．
7．C
解：“”等價(jià)于“”，平方可化為，顯然A，B，C不共線，原條件等價(jià)于∠ACB是鈍角，選C．
8．D
解：因?yàn)?，所以?br>又，所以，，選D．
9．C
解：當(dāng)，，，解，得或，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象可知：m的最大值為，選C．
10．C
解：因?yàn)閤，y均小于4，由莖葉圖可知，中位數(shù)為，所以，樣本的平均值為，要使樣本的方差最小，即使最小，又，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)，等號(hào)成立，所以x，y均為2，選C．
11．A
解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則有，所以，由雙曲線的定義可知，繼而，E的漸近線為，化簡(jiǎn)為，選A．
12．B
解：由冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（－∞，t），[t，＋∞）上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需即可，解得或，所以t的取值范圍為，選B．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（－1，0）
解：將（－1，2）代入拋物線方程得，所以拋物線的焦點(diǎn)為（－1，0）．
14．
解：因?yàn)?，又，有，所以在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)為．
15．
解：因?yàn)?，由正弦定理得，設(shè)BC邊上的高為h，則．
16．
解：由題意可知，所以，折起后如圖所示，因?yàn)?，易得，繼而得到，分別過點(diǎn)E，F(xiàn)作AC的垂線EM，F(xiàn)N，垂足分別為點(diǎn)M，N，又，即有，，同時(shí)易證得，，，所以．
三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（12分）解：（1）因?yàn)?，所以?br>由所給頻率分布直方圖可知，50名同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的頻率為，
據(jù)此估計(jì)該校同學(xué)通關(guān)時(shí)間低于60分鐘的概率為0.1；
（2）入樣同學(xué)通關(guān)時(shí)間位于區(qū)間[50，60）的有：（位），即為，
入樣同學(xué)通關(guān)時(shí)間位于區(qū)間[40，50）的有：（位），即為，
從這5名入樣同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是，，，，，，，，，，
又因?yàn)樗槿?人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間[50，60）的結(jié)果有3種，即，，，
故此2人的通關(guān)時(shí)間均位于區(qū)間[50，60）的概率為．
18．（12分）解：（1）當(dāng)時(shí)，取得最大值，
即，，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，（符合上式），
所以；
（2）
．
19．（12分）解：（1）作的中點(diǎn)D，連接DF，DB，
因?yàn)辄c(diǎn)D，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以，且，
又由三棱柱的定義，結(jié)合點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)可知：，且，
所以四邊形DFEB是平行四邊形，所以，
又，，所以；
（2）作AC的中點(diǎn)G，連接，，，GB，
因?yàn)?，，所以是正三角形?br>又點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)，所以，
由，有，
因?yàn)?，所以?br>又，所以，
所以是三棱錐的高，
所以，
又因?yàn)?，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)C到平面的距離，
又，，
設(shè)點(diǎn)C到平面得距離為d，則，解得．
20．（12分）解：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－a，0），因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)A連線的斜率為，
由，解得，
將代入，解得，
所以橢圓E的方程為；
（2）“點(diǎn)B關(guān)于直線FM的對(duì)稱點(diǎn)在PF上”等價(jià)于“FM平分∠PFB”．
設(shè)直線AP的方程為，則Q（2，4k），M（2，2k），
設(shè)點(diǎn)，由，
得，
得且，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以，Q（2，±2），M（2，±1），
此時(shí)，點(diǎn)M在∠PFB的角平分線所在的直線或上，
FM平分∠PFB，
②當(dāng)時(shí)，PF的斜率為，
所以PF的方程為，
所以點(diǎn)M到直線PF的距離
，
點(diǎn)B關(guān)于直線FM的對(duì)稱點(diǎn)在PF上．
21．（12分）解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，
令函數(shù)，，則有，
當(dāng)時(shí)，，h（x）為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，h（x）為增函數(shù)，
所以，即f′（x）的最小值為2；
（2）因?yàn)?，有，令?br>有，
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即f′（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，
所以至多存在一個(gè)，使得，
故f（x）不存在兩個(gè)極值點(diǎn)，
②當(dāng)時(shí)，解，得，
故當(dāng)時(shí)，，f′（x）為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
f′（x）為增函數(shù)，所以，
?。?dāng)，即時(shí)，，f（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，
故f（x）不存在極值點(diǎn)，
ⅱ．當(dāng)，即時(shí)，
又因?yàn)?，所以?br>又由第（1）問知：，，
又因?yàn)?，?br>所以存在，使得，
且f（x）在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以，分別是的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，
綜上所述，a的取值范圍為．
22．（10分）解：（1）將A（2，0）帶入直線l的參數(shù)方程，即，
解得，所以直線l的斜率為；
（2）由直線l的參數(shù)方程可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1），又點(diǎn)M是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，在△OMN中，
由余弦定理得：，
即，
即，解得或．
23．（10分）解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于；
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，
當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得，
綜上所述：不等式的解集為；
（2）因?yàn)椋?br>即，
又由柯西不等式，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“，”時(shí)，等號(hào)成立．

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