考試時間120分鐘，滿分150分
注意事項：
1．答題前，考生務必在答題卡上將自己的姓名、座位號和考籍號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0．5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。
3．考試結束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（ ）
A．B．C．D．
3．若復數z滿足，則（ ）
A．B．C．D．
4．若角的終邊位于第二象限，且，則（ ）
A．B．C．D．
5．若實數x，y滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．B．1C．2D．3
6．同位素測年法最早由美國學者Willard Frank Libby在1940年提出并試驗成功，它是利用宇宙射線在大氣中產生的C的放射性和衰變原理來檢測埋在地下的動植物的死亡年代，當動植物被埋地下后，體內的碳循環(huán)就會停止，只進行放射性衰變．經研究發(fā)現，動植物死亡后的時間n（單位：年）與死亡n年后的含量滿足關系式（其中動植物體內初始的含量為）．現在某古代祭祀坑中檢測出一樣本中的含量為原來的70%，可以推測該樣本距今約（參考數據：，）（ ）
A．2750年B．2865年C．3050年D．3125年
7．在中，“”是“是鈍角”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
8．若函數是偶函數，則（ ）
A．B．C．1D．
9．函數在區(qū)間上的最小值為，則m的最大值為（ ）
A．B．C．D．
10．已知一樣本數據（如莖葉圖所示）的中位數為12，若x，y均小于4，則該樣本的方差最小時，x，y的值分別為（ ）
A．1，3B．11，13C．2，2D．12，12
11．已知，是雙曲線（，）的左，右焦點，點（）是雙曲線E上的點，點C是內切圓的圓心，若，則雙曲線E的漸近線為（ ）
A．B．C．D．
12．已知函數若存在m使得關于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若拋物線過點，則該拋物線的焦點為________．
14．函數在點處的切線方程為________．
15．在中，，，，則BC邊上的高為________．
16．如圖，在平行四邊形中，，，且EF交AC于點G，現沿折痕AC將折起，直至滿足條件，此時EF的長度為________．
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）
2023世界科幻大會在成都舉辦，為了讓同學們更好地了解科幻，某學校舉行了以“科幻成都，遇見未來”為主題的科幻知識通關賽，并隨機抽取了該校50名同學的通關時間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現這些同學的通關時間均位于區(qū)間，然后把樣本數據分成，，，，，六組，經過整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）計算a的值，并估算該校同學通關時間低于60分鐘的概率；
（2）擬在通關時間低于60分鐘的樣本數據對應的同學中隨機選取2位同學贈送科幻大會入場券，求此2人的通關時間均位于區(qū)間的概率．
18．（12分）
已知數列的前n項和，且的最大值為．
（1）確定常數k，并求；
（2）求數列的前15項和．
19．（12分）
如圖，在三棱柱中，，，，點E，F分別為BC，的中點．
（1）求證：平面；
（2）若底面是邊長為2的正三角形，且平面平面，求點C到平面的距離．
20．（12分）
在平面直角坐標系中，若點A，B是橢圓的左，右頂點，橢圓上一點與點A連線的斜率為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經過點A的直線分別交橢圓E與直線于P，Q兩點，線段QB的中點為M，若點F的坐標為，證明：點B關于直線FM的對稱點在PF上．
21．（12分）
已知函數的導函數為．
（1）當時，求的最小值；
（2）若存在兩個極值點，求a的取值范圍．
（二）選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4—4：坐標系與參數方程]（10分）
在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（t為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點M是曲線上的一動點．
（1）若直線過點，求直線的斜率；
（2）設直線恒過定點N，若，求點M的極徑．
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）
已知函數．
（1）當時，解不等式；
（2）若函數的最小值為m，且，求m的最小值．
2024屆高三第二次聯考
文科數學參考答案及評分標準
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．14．15．16．
三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（12分）
解：（1）因為，所以，………………3分
由所給頻率分布直方圖可知，50名同學通關時間低于60分鐘的頻率為，據此估計該校同學通關時間低于60分鐘的概率為0.1：………………6分
（2）入樣同學通關時間位于區(qū)間的有：（位），即為，，
入樣同學通關時間位于區(qū)間的有：（位），即為，，
從這5名入樣同學中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，它們是
，，，，，
，，，，，………………9分
又因為所抽取2人的通關時間均位于區(qū)間的結果有3種，即，，，故此2人的通關時間均位于區(qū)間的概率為．……………12分
18．（12分）
解：（1）當時，取得最大值，
即，，
所以，………………3分
當時，，
當時，（符合上式），
所以；………………7分
（2）………………10分
．………………12分
19．（12分）
解：（1）作的中點D，連接DF，DB，
因為點D，F分別為，的中點，所以，且，
又由三棱柱的定義，結合點E為BC的中點可知：，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面；………………6分
（2）作AC的中點G，連接，，，，
因為，，所以是正三角形，
又點G為AC的中點，所以，
由平面平面，有平面平面，
因為平面，所以平面，
又平面，所以，
所以是三棱錐的高，
所以，………………9分
又因為平面，點到平面的距離即為點C到平面的距離，
又，，………………11分
設點C到平面的距離為d，則，解得．………………12分
20．（12分）
解：（1）設點A的坐標為，因為點與點A連線的斜率為，
由，解得，
將代入，解得，
所以橢圓E的方程為；………………5分
（2）“點B關于直線FM的對稱點在PF上”等價于“FM平分”．
設直線AP的方程為，則，，
設點，由，
得，
得且，………………7分
①當軸時，，此時，所以，，，此時，點M在的角平分線所在的直線或上，FM平分，………………9分
②當時，PF的斜率為，
所以PF的方程為，
所以點M到直線PF的距離
，
點B關于直線FM的對稱點在PF上．……………12分
21．（12分）
解：（1）當時，，，，
令函數，，則有，
當時，，為減函數；當時，，為增函數，
所以，即的最小值為2；………………5分
（2）因為，有，令，
有，
①當時，因為，所以，即在上為增函數，
所以至多存在一個，使得，
故不存在兩個極值點，………………7分
②當時，解，得，
故當時，，為減函數，當時，，
為增函數，所以，
?。?，即時，，在上為增函數，
故不存在極值點，
ⅱ．當，即時，………………9分
又因為，所以，
又由第（1）問知：，所以，
又因為，又，
所在，使得，………………11分
且在，上為增函數，在上為減函數，
所以，分別是的極大值點和極小值點，
綜上所述，的取值范圍為．………………12分
22．（10分）
解：（1）將代入直線的參數方程，即，
解得，所以直線的斜率為；………………5分
（2）由直線的參數方程可知點N的坐標為，又點M是曲線上的一動點，
設點M的極坐標為，在中，
由余弦定理得：，
即，………………8分
即，解得或．………………10分
23．（10分）
解：（1）當時，等價于；
當時，原不等式等價于，解得，
當時，原不等式等價于，解得，
當時，原不等式等價于，解得，
綜上所述：不等式的解集為；………………5分
（2）因為，
即，
又由柯西不等式，所以，………………9分
當且僅當“”，即“，”時，等號成立．………………10分
解析：
1．解：由解得，由，解得，所以，選C．
2．解：由題可知該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以側面積為，選B．
3．解：設，選B．
4．解：因為角的終邊位于第二象限，則，所以，選D．
5．解：滿足線性約束條件的可行域如圖陰影部分所示，取最大值即直線截距最大，所以在A處取得，解，得，此時，選D．
6．解：經過n年后含量為，所以有，代入關系式得，
所以，所以，選B．
7．解：“”等價于“”，平方可化為，顯然A，B，C不共線，原條件等價于是鈍角，選C．
8．解：因為，所以，又，所以，，選D．
9．解：當，，，解，得或，根據正弦型函數的圖象可知：m的最大值為，選C．
10．解：因為x，y均小于4，由莖葉圖可知，中位數為，所以，樣本的平均值為，要使樣本的方差最小，即使最小，又，當且僅當“”時，等號成立，所以x，y均為2，選C．
11．解：設內切圓的半徑為r，則有，所以，由雙曲線的定義可知，繼而，E的漸近線為，化簡為，選A．
12．解：由冪函數的性質可知函數在，上為增函數，當時，，當時，，若存在m使得關于x的方程有兩不同的根，只需即可，解得或，所以t的取值范圍為，選B．
13．解：將代入拋物線方程得，所以拋物線的焦點為．
14．解：因為，又，有，所以在點處的切線方程為，化簡為．
15．解：因為，由正弦定理得，設BC邊上的高為h，則．
16．解：由題意可知，所以，折起后如圖所示，因為，易得平面，繼而得到平面平面，分別過點E，F作AC的垂線EM，FN，垂足分別為點M，N，又平面平面，即有，，同時易證得，，，所以．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
B
D
D
B
C
D
C
C
A
B

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