考試時間120分鐘，滿分150分
注意事項：
1．答題前，考生務(wù)必在答題卡上將自己的姓名、座位號和考籍號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫清楚，考生考試條形碼由監(jiān)考老師粘貼在答題卡上的“貼條形碼區(qū)”。
2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米的黑色簽字筆在答題卡的對應(yīng)區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效。
3．考試結(jié)束后由監(jiān)考老師將答題卡收回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，，則
A．（－1，1] B．[－1，3] C．（1，3] D．[3，＋∞）
2．某圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為
A．π B． C． D．2π
3．若復(fù)數(shù)z滿足，則z＝
A． B． C． D．
4．若角α的終邊位于第二象限，且，則
A． B． C． D．
5．若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為
A．－2 B．1 C．2 D．3
6．同位素測年法最早由美國學(xué)者Willard Frank Libby在1940年提出并試驗成功，它是利用宇宙射線在大氣中產(chǎn)生的放射性和衰變原理來檢測埋在地下的動植物的死亡年代，當(dāng)動植物被埋地下后，體內(nèi)的碳循環(huán)就會停止，只進行放射性衰變．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，動植物死亡后的時間n（單位：年）與死亡n年后的含量滿足關(guān)系式（其中動植物體內(nèi)初始的含量為）．現(xiàn)在某古代祭祀坑中檢測出一樣本中的含量為原來的70％，可以推測該樣本距今約（參考數(shù)據(jù)：，）
A．2750年 B．2865年 C．3050年 D．3125年
7．在△ABC中，“”是“∠ACB是鈍角”的
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
8．若函數(shù)是偶函數(shù)，則a＝
A．－1 B． C．1 D．
9．函數(shù)在區(qū)間[0，m]上的最小值為，則m的最大值為
A． B． C． D．π
10．已知一樣本數(shù)據(jù)（如莖葉圖所示）的中位數(shù)為12，若x，y均小于4，則該樣本的方差最小時，x，y的值分別為
A．1，3 B．11，13 C．2，2 D．12，12
11．已知，是雙曲線的左，右焦點，點是雙曲線E上的點，點C是內(nèi)切圓的圓心，若，則雙曲線E的漸近線為
A． B． C． D．
12．已知函數(shù)若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，則t的取值范圍為
A． B． C． D．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．若拋物線過點（－1，2），則該拋物線的焦點為________．
14．函數(shù)在點處的切線方程為________．
15．在△ABC中，，，，則BC邊上的高為________．
16．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，且EF交AC于點G，現(xiàn)沿折痕AC將△ADC折起，直至滿足條件，此時EF的長度為________．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）2023世界科幻大會在成都舉辦，為了讓同學(xué)們更好地了解科幻，某學(xué)校舉行了以“科幻成都，遇見未來”為主題的科幻知識通關(guān)賽，并隨機抽取了該校50名同學(xué)的通關(guān)時間（單位：分鐘）作為樣本，發(fā)現(xiàn)這些同學(xué)的通關(guān)時間均位于區(qū)間[40，100]，然后把樣本數(shù)據(jù)分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]六組，經(jīng)過整理繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）．
（1）計算a的值，并估算該校同學(xué)通關(guān)時間低于60分鐘的概率；
（2）擬在通關(guān)時間低于60分鐘的樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的同學(xué)中隨機選取2位同學(xué)贈送科幻大會入場券，求此2人的通關(guān)時間均位于區(qū)間[50，60）的概率．
18．（12分）已知數(shù)列的前n項和，且的最大值為．
（1）確定常數(shù)k，并求；
（2）求數(shù)列的前15項和．
19．（12分）如圖，在三棱柱中，，，，點E，F(xiàn)分別為BC，的中點．
（1）求證：；
（2）若底面ABC是邊長為2的正三角形，且，求點到平面的距離．
20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點A，B是橢圓的左，右頂點，橢圓上一點與點A連線的斜率為．
（1）求橢圓E的方程；
（2）經(jīng)過點A的直線分別交橢圓E與直線于P，Q兩點，線段QB的中點為M，若點F的坐標(biāo)為F（1，0），證明：點B關(guān)于直線FM的對稱點在PF上．
21．（12分）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．
（1）當(dāng)時，求f′（x）的最小值；
（2）若f（x）存在兩個極值點，求a的取值范圍．
（二）選考題：共10分。請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點M是曲線上的一動點．
（1）若直線l過點A（2，0），求直線l的斜率；
（2）設(shè)直線l恒過定點N，若，求點M的極徑．
23．[選修4—5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，解不等式；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為m，且，求m的最小值．
2024屆高三第二次聯(lián)考
文科數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．C
解：由解得，由，解得，所以，選C．
2．B
解：由題可知該圓錐的底面半徑為1，母線長為，所以側(cè)面積為，選B．
3．B
解：設(shè)，選B．
4．D
解：因為角α的終邊位于第二象限，則，所以，選D．
5．D
解：滿足線性約束條件的可行域如圖陰影部分所示，取最大值即直線截距最大，所以在A處取得，解，得，此時，選D．
6．B
解：經(jīng)過n年后含量為，所以有，代入關(guān)系式得，
所以，所以，選B．
7．C
解：“”等價于“”，平方可化為，顯然A，B，C不共線，原條件等價于∠ACB是鈍角，選C．
8．D
解：因為，所以，
又，所以，，選D．
9．C
解：當(dāng)，，，解，得或，根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象可知：m的最大值為，選C．
10．C
解：因為x，y均小于4，由莖葉圖可知，中位數(shù)為，所以，樣本的平均值為，要使樣本的方差最小，即使最小，又，當(dāng)且僅當(dāng)“”時，等號成立，所以x，y均為2，選C．
11．A
解：設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則有，所以，由雙曲線的定義可知，繼而，E的漸近線為，化簡為，選A．
12．B
解：由冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（－∞，t），[t，＋∞）上為增函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，若存在m使得關(guān)于x的方程有兩不同的根，只需即可，解得或，所以t的取值范圍為，選B．
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（－1，0）
解：將（－1，2）代入拋物線方程得，所以拋物線的焦點為（－1，0）．
14．
解：因為，又，有，所以在點處的切線方程為，化簡為．
15．
解：因為，由正弦定理得，設(shè)BC邊上的高為h，則．
16．
解：由題意可知，所以，折起后如圖所示，因為，易得，繼而得到，分別過點E，F(xiàn)作AC的垂線EM，F(xiàn)N，垂足分別為點M，N，又，即有，，同時易證得，，，所以．
三、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（12分）解：（1）因為，所以，
由所給頻率分布直方圖可知，50名同學(xué)通關(guān)時間低于60分鐘的頻率為，
據(jù)此估計該校同學(xué)通關(guān)時間低于60分鐘的概率為0.1；
（2）入樣同學(xué)通關(guān)時間位于區(qū)間[50，60）的有：（位），即為，
入樣同學(xué)通關(guān)時間位于區(qū)間[40，50）的有：（位），即為，
從這5名入樣同學(xué)中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是，，，，，，，，，，
又因為所抽取2人的通關(guān)時間均位于區(qū)間[50，60）的結(jié)果有3種，即，，，
故此2人的通關(guān)時間均位于區(qū)間[50，60）的概率為．
18．（12分）解：（1）當(dāng)時，取得最大值，
即，，
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，（符合上式），
所以；
（2）
．
19．（12分）解：（1）作的中點D，連接DF，DB，
因為點D，F(xiàn)分別為，的中點，所以，且，
又由三棱柱的定義，結(jié)合點E為BC的中點可知：，且，
所以四邊形DFEB是平行四邊形，所以，
又，，所以；
（2）作AC的中點G，連接，，，GB，
因為，，所以是正三角形，
又點G為AC的中點，所以，
由，有，
因為，所以，
又，所以，
所以是三棱錐的高，
所以，
又因為，點到平面的距離即為點C到平面的距離，
又，，
設(shè)點C到平面得距離為d，則，解得．
20．（12分）解：（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為（－a，0），因為點與點A連線的斜率為，
由，解得，
將代入，解得，
所以橢圓E的方程為；
（2）“點B關(guān)于直線FM的對稱點在PF上”等價于“FM平分∠PFB”．
設(shè)直線AP的方程為，則Q（2，4k），M（2，2k），
設(shè)點，由，
得，
得且，
①當(dāng)時，，此時，所以，Q（2，±2），M（2，±1），
此時，點M在∠PFB的角平分線所在的直線或上，
FM平分∠PFB，
②當(dāng)時，PF的斜率為，
所以PF的方程為，
所以點M到直線PF的距離
，
點B關(guān)于直線FM的對稱點在PF上．
21．（12分）解：（1）當(dāng)時，，，，
令函數(shù)，，則有，
當(dāng)時，，h（x）為減函數(shù)；當(dāng)時，，h（x）為增函數(shù)，
所以，即f′（x）的最小值為2；
（2）因為，有，令，
有，
①當(dāng)時，因為，所以，即f′（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，
所以至多存在一個，使得，
故f（x）不存在兩個極值點，
②當(dāng)時，解，得，
故當(dāng)時，，f′（x）為減函數(shù)，當(dāng)時，，
f′（x）為增函數(shù)，所以，
?。?dāng)，即時，，f（x）在（0，＋∞）上為增函數(shù)，
故f（x）不存在極值點，
ⅱ．當(dāng)，即時，
又因為，所以，
又由第（1）問知：，，
又因為，，
所以存在，使得，
且f（x）在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
所以，分別是的極大值點和極小值點，
綜上所述，a的取值范圍為．
22．（10分）解：（1）將A（2，0）帶入直線l的參數(shù)方程，即，
解得，所以直線l的斜率為；
（2）由直線l的參數(shù)方程可知點N的坐標(biāo)為（0，1），又點M是曲線上的一動點，
設(shè)點M的極坐標(biāo)為，在△OMN中，
由余弦定理得：，
即，
即，解得或．
23．（10分）解：（1）當(dāng)時，等價于；
當(dāng)時，原不等式等價于，解得，
當(dāng)時，原不等式等價于，解得，
當(dāng)時，原不等式等價于，解得，
綜上所述：不等式的解集為；
（2）因為，
即，
又由柯西不等式，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)“”，即“，”時，等號成立．

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