第07講一元二次方程（講義）2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（講義+練習(xí)）（全國(guó)通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、考情分析
二、知識(shí)建構(gòu) TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc152160052"
\l "_Tc152160053" 考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念
\l "_Tc152160054" 題型01 識(shí)別一元二次方程
\l "_Tc152160055" 題型02 由一元二次方程的概念求參數(shù)的值
\l "_Tc152160056" 題型03 一元二次方程的一般式
\l "_Tc152160057" 題型04 由一元二次方程的解求參數(shù)的值
\l "_Tc152160058" 題型05 由一元二次方程的解求代數(shù)式的值
\l "_Tc152160059" 題型06 已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根
\l "_Tc152160060" 考點(diǎn)二解一元二次方程
\l "_Tc152160061" 題型01 用直接開平方法解一元二次方程
\l "_Tc152160062" 題型02 利用配方法解一元二次方程
\l "_Tc152160063" 題型03 利用因式分解法解一元二次方程
\l "_Tc152160064" 題型04 利用公式法解一元二次方程
\l "_Tc152160065" 題型05 利用換元法解一元二次方程
\l "_Tc152160066" 題型06 選用合適的方法解一元二次方程
\l "_Tc152160067" 題型07 錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問題
\l "_Tc152160068" 題型08 配方法的應(yīng)用
\l "_Tc152160069" 題型09 判斷不含字母的一元二次方程的根的情況
\l "_Tc152160070" 題型10 判斷含字母的一元二次方程根的情況
\l "_Tc152160071" 題型11 由方程根的情況確定字母的值或取值范圍
\l "_Tc152160072" 題型12 應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況
\l "_Tc152160073" 題型13 應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍
\l "_Tc152160074" 題型14 與根的判別式有關(guān)的新定義問題
\l "_Tc152160075" 考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
\l "_Tc152160076" 題型01 由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值
\l "_Tc152160077" 題型02 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值
\l "_Tc152160078" 題型03 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值
\l "_Tc152160079" 題型04 由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值
\l "_Tc152160080" 題型05 不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)
\l "_Tc152160081" 題型06 由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍
\l "_Tc152160082" 題型07 與根與系數(shù)有關(guān)的新定義問題
\l "_Tc152160083" 題型08 構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值
\l "_Tc152160084" 題型09 根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的綜合應(yīng)用
\l "_Tc152160085" 考點(diǎn)四一元二次方程的應(yīng)用
\l "_Tc152160086" 題型01 分裂（傳播）問題
\l "_Tc152160087" 題型02 碰面（循環(huán)）問題
\l "_Tc152160088" 題型03 增長(zhǎng)率問題
\l "_Tc152160089" 題型04 營(yíng)銷問題
\l "_Tc152160090" 題型05 工程問題
\l "_Tc152160091" 題型06 行程問題
\l "_Tc152160092" 題型07 與圖形有有關(guān)的問題
考點(diǎn)一一元二次方程的相關(guān)概念
1. 如果明確了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隱含了a≠0這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程）.
2. 一元二次方程必須具備三個(gè)條件：
①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
3. 在判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程時(shí),要先化成一般形式，再判斷.
4. 二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都是在一般形式下定義的.所以在確定一元二次方程各項(xiàng)的系數(shù)時(shí),應(yīng)先將方程化為一般形式.
5. 一元二次方程的解，要么無解，有解必有兩個(gè)，所以最后方程的解一定要寫明x1，x2．
題型01 識(shí)別一元二次方程
【例1】（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2-1=0B．2x+y=1C．x+1x=3D．4x+5=6x
【變式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（）
A．x2+x-y=0B．a(chǎn)x2+2x-3=0
C．x2+2x+5=x(x-1)D．x2-1=0
題型02 由一元二次方程的概念求參數(shù)的值
【例2】（2023 南陽市一模）關(guān)于x的方程m+1xm+1-mx+6=0是一元二次方程，則m的值是（）
A．-1B．3C．1D．1或-1
【變式2-1】（2022上·遼寧沈陽·九年級(jí)期中）方程(m-2)xm2-2+(5+m)x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m= ．
題型03 一元二次方程的一般式
【例3】（2022上·河南鄭州·九年級(jí)鄭州外國(guó)語中學(xué)校考期中）將一元二次方程3x2=5x-1寫成一般形式，下列等式正確的是（）
A．3x2-5x-1=0B．3x2+5x-1=0
C．3x2-5x+1=0D．3x2+5x+1=0
【變式3-1】（2023·廣東東莞·東莞市東華初級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將方程4x2+8x=25化成ax2+bx+c=0的形式，則a，b，c的值分別為（）
A．4，8，25B．4，2，-25C．4，8，-25 D．1，2，25
【變式3-2】．（2021上·山西晉中·九年級(jí)階段練習(xí)）若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，它的一個(gè)根為2，則該方程為．
【變式3-3】（2023集賢縣·九年級(jí)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程a-1x2+x+a2-1=0的常數(shù)項(xiàng)是0，則a的值為（）
A．1B．-1C．1或-1D．12
題型04 由一元二次方程的解求參數(shù)的值
【例4】（2022·廣東·中考真題）若x=1是方程x2-2x+a=0的根，則a= ．
【變式4-1】（2021·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）若關(guān)于x的方程x2-kx-12=0的一個(gè)根為3，則k的值為．

利用方程根的概念將方程的根代入原方程再解方程就可以求出參數(shù)的值，同時(shí)還要注意限制參數(shù)取值的其他隱含條件.
題型05 由一元二次方程的解求代數(shù)式的值
【例5】（2023·甘肅隴南·一模）關(guān)于x的一元二次方程2xa-2+m=4的解為x=1，則a+m的值為（）
A．9B．8C．6D．4
【變式5-1】（2023·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）如果x=-1是方程x2+mx+n=0的一個(gè)根，那么m、n的大小關(guān)系是（）
A．m>nB．m=nC．m0;
2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí), Δ=0;
3）沒有實(shí)數(shù)根時(shí), Δb，則2a+b的值為．
【變式1-2】（2023·齊齊哈爾市模擬）解關(guān)于x的方程： 42x-52=93x-12．
題型02 利用配方法解一元二次方程
【例2】（2022·甘肅武威·中考真題）用配方法解方程x2-2x=2時(shí)，配方后正確的是（）
A．x+12=3B．x+12=6C．x-12=3D．x-12=6
【變式2-1】（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程3x2+6x-1=0時(shí)，將它化為x+a2=b的形式，則a+b的值為（）
A．103B．73C．2D．43
【變式2-2】（2023·山西大同·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）將方程2x2-12x+1=0配方成x-m2=n的形式，下列配方結(jié)果正確的是（）
A．x+32=17B．x+32=172C．x-32=17D．x-32=172
【變式2-3】（2022松原市三模）用配方法解方程x2-4x-3=0，配方得(x+m)2=7，常數(shù)m的值是．
題型03 利用因式分解法解一元二次方程
【例3】（2022·廣西梧州·中考真題）一元二次方程x-2x+7=0的根是．
【變式3-1】（2023惠陽區(qū)模擬預(yù)測(cè)）三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和6，第三邊的長(zhǎng)是方程x2﹣13x+36=0的根，則該三角形的周長(zhǎng)為．
【變式3-2】（2023·江蘇南京·二模）解方程：xx-6=-4x-6．
題型04 利用公式法解一元二次方程
【例4】（2023·甘肅隴南·一模）用公式法解方程x2-4x-11=0時(shí)，Δ＝（）
A．-43B．-28C．45D．60
【變式4-1】（2023·江蘇無錫·一模）方程x2-3x=1的解是．
【變式4-2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·?？家荒＃┓匠蘹2+2x-2=0的解是 .
【變式4-3】（2023長(zhǎng)嶺縣模擬）一元二次方程x2-3x+2=0根的判別式的值為．
題型05 利用換元法解一元二次方程
【例5】（2023·浙江寧波·校考一模）已知a2+b22-a2-b2-6=0，求a2+b2的值為．
【變式5-1】（2023羅湖區(qū)模擬預(yù)測(cè)）若x2+y2+3x2+y2-3=16，則x2+y2= ．
【變式5-2】我們知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，現(xiàn)給出另一個(gè)方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是（）
A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=-3
C．x1=-1，x2=3 D．x1=-1，x2=-3
【變式5-3】（2023·四川綿陽·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分對(duì)應(yīng)值如列表所示：則一元二次方程a(2x-1)2+b2x-1+c=7的解為．
題型06 選用合適的方法解一元二次方程
【例6】（2023西安高新一中一模）解方程：x2-4x-5=0．
【變式6-1】（2023·廣東廣州·一模）解方程(x-2)2=4．
【變式6-2】（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）解下列方程
(1)9x2-x-12=0
(2)x2-4x-1=0
(3)2x2-x-3=0
題型07 錯(cuò)看或錯(cuò)解一元二次方程問題
【例7】（2022·浙江溫州·一模）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）
A．AB．BC．CD．D
【變式7-1】下面是小明同學(xué)的錯(cuò)題本的一部分，請(qǐng)你仔細(xì)閱讀，幫助他補(bǔ)充完整．
解方程： x-32=4x2
解： x-3=2x …第一步
x-2x=3? 第二步
x=-3? 第三步
(1)提示：第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
(2)改正：
【變式7-2】（2021·浙江嘉興·中考真題）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3x-3=x-32的過程如下框：
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請(qǐng)?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
【變式7-3】（2023·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）（1）計(jì)算：sin45°+tan45°-2cs60°．
（2）下面是小明同學(xué)解方程的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．
任務(wù)一：
①填空：上述材料中小明同學(xué)解一元二次方程的數(shù)學(xué)方法是，依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)公式是；第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；
任務(wù)二：
②請(qǐng)你直接寫出該方程的正確解．
【變式7-4】（2023上·北京東城·九年級(jí)期末）下面是小聰同學(xué)用配方法解方程：2x2-4x-p=0 p>0的過程，請(qǐng)仔細(xì)閱讀后，解答下面的問題．
2x2-4x-p=0
解：移項(xiàng)，得：2x2-4x=p．①
二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得：x2-2x=p2．②
配方，得x2-2x+1=p2．③
即(x-1)2=p2.
∵p>0，
∴x-1=±p2．④
∴x1=1+2p2，x1=1-2p2．⑤
(1)第②步二次項(xiàng)系數(shù)化為1的依據(jù)是什么？
(2)整個(gè)解答過程是否正確？若不正確，說出從第幾步開始出現(xiàn)的錯(cuò)誤，并直接寫出此方程的解．
題型08 配方法的應(yīng)用
【例8】（2023上·江西九江·九年級(jí)階段練習(xí)）【課本再現(xiàn)】
【嘗試運(yùn)用】
（1）解一元二次方程x2-4x-2=0，配方后可變形為（）
A．x-42=8 B．x-42=6 C．x-22=2 D．x-22=6
（2）利用配方法求-x2-6x+5的最值．
【拓展應(yīng)用】
（3）已知方程x2+y2+2x-4y+5=0，求x-2y的值．
【變式8-1】（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）配方法在代數(shù)式求值、解方程、求最值問題……中都有著廣泛的應(yīng)用．
例如：若代數(shù)式M=a2-2ab+2b2-2b+2，
利用配方法求M的最小值：M=a2-2ab+2b2-2b+2
=a2-2ab+b2+b2-2b+1
=(a-b)2+(b-1)2+1
∵(a-b)2≥0，(b-1)2≥0，
∴當(dāng)a=b=1時(shí)，代數(shù)式M有最小值為1．
請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題：
(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+6a+_________；
(2)若代數(shù)式M=a2+4a+6，求M的最小值；
(3)已知a2+2b2+c2-2ab-2b-4c+5=0，求代數(shù)式a+b+c的值．
題型09 判斷不含字母的一元二次方程的根的情況
【例9】（2022·山東濱州·中考真題）一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情況為（）
A．無實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．不能判定
【變式9-1】（2022·遼寧撫順·中考真題）下列一元二次方程無實(shí)數(shù)根的是（）
A．x2+x-2=0B．x2-2x=0
C．x2+x+5=0D．x2-2x+1=0
【變式9-2】（2020·安徽·中考真題）下列方程中，有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）
A．x2+1=2xB．x2+1=0
C．x2-2x=3D．x2-2x=0
【變式9-3】（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）請(qǐng)?zhí)顚懸粋€(gè)常數(shù)，使得關(guān)于x的方程x2-2x+ =0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ac-1且a≠0C．a(chǎn)≥-1且a≠0D．a(chǎn)>-1
【變式11-2】（2022·江蘇淮安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-k=0沒有實(shí)數(shù)根，則k的值可以是（）
A．-2B．-1C．0D．1
【變式11-3】（2023綿陽市模擬）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．
題型12 應(yīng)用根的判別式證明方程根的情況
【例12】（2022上·福建福州·九年級(jí)福建省福州銅盤中學(xué)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0．
(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)如果方程有一個(gè)根為正數(shù)，求m的取值范圍．
【變式12-1】（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-3m2=0．
(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β=5，求m的值．
【變式12-2】（2022·北京朝陽·一模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-ax+a-1=0．
(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
(2)若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，且其中一個(gè)根是另一個(gè)根的2倍，求a的值．
【變式12-3】（2023·廣東江門·二模）已知關(guān)于x的方程x2+3k-2x-6k=0．
(1)求證：無論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
(2)若等腰三角形△ABC的一邊a=6，另兩邊長(zhǎng)b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．
題型13 應(yīng)用根的判別式求代數(shù)式的取值范圍
【例13】（2023·河南信陽·?？既＃╆P(guān)于x的一元二次方程m-3x2-2x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）
A．m4 C． m≥4D．m≤4且m≠3
【變式13-1】（2022株洲市二中二模）若關(guān)于x的方程kx2-3x-94=0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）
A．k=0 B．k≥-1且k≠0C．k≥-1 D．k>-1
【變式13-2】（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1，x2兩實(shí)數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)是否存在實(shí)數(shù)m，滿足x1-1x2-1=-6m-7？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【變式13-3】（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+2k-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2
(1)求k的取值范圍；
(2)若x12-x22=35，求k的值．
【變式13-4】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知三個(gè)關(guān)于x的方程x2-x+m=0,(m-1)x2+2x+1=0和(m-2)x2+2x-1=0．若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
題型14 與根的判別式有關(guān)的新定義問題
【例14】（2020·湖北荊州·中考真題）定義新運(yùn)算a*b，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足a*b=a+ba-b-1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6，若x*k=x（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）
A．有一個(gè)實(shí)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根
【變式14-1】（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義運(yùn)算“?”為a?b=b2-ab，例如3?2=22-3×2=-2，則關(guān)于x的方程(k-3) ?x=k-1的根的情況，下列說法正確的是（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．無法確定
【變式14-2】（2020·河南·中考真題）定義運(yùn)算：m☆n=mn2-mn-1．例如:4☆2=4×22-4×2-1=7．則方程1☆x=0的根的情況為（）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
考點(diǎn)三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0 QUOTE ≠0，Δ≥0 ）的兩個(gè)根是x1和x2，則x1，x2與方程的系數(shù)a，b，c之間有如下關(guān)系：x1+x2＝-ba； x1?x2＝ca
【擴(kuò)展】用根與系數(shù)的關(guān)系求值時(shí)的常見轉(zhuǎn)化：
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根x1,x2
1）平方和 x12+x22= (x1+x2)2-2x1x2
2）倒數(shù)和 1x1 + 1x2 =x1+x2x1x2
3）差的絕對(duì)值 | x1 - x2 |=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
4) x1x2+x2x1 = x12+x22x1x2=(x1+x2)2-2x1x2x1x2
5） (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1
1. 如果方程x2+px+q＝0的兩個(gè)根為x1,x2，那么x1+x2＝-p， x1?x2＝q.
2. 以兩個(gè)數(shù)x1,x2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2 -（x1+x2）x+x1?x2＝0.
3. 運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和運(yùn)用根的判別式一樣,都必須先把方程化為一般形式，以便正確確定 a、b、c的值.
4. 一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△≥0.
題型01 由根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值
【例1】（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x-a=0的兩根分別記為x1，x2，若x1=-1，則a-x12-x22的值為（）
A．7B．-7C．6D．-6
【變式1-1】（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知m，n是一元二次方程x2+3x-2=0的兩根，則2m-n-m+3nm2-n2的值是（）
A．-3B．-2C．-13D．-12
【變式1-2】（2023漢壽縣一模）已知a、b是一元二次方程x2+5x+3=0的兩個(gè)根，則aba+bab的值是（）
A．-23B．-32C．32D．23
【變式1-3】（2022·湖南婁底·中考真題）已知實(shí)數(shù)x1,x2是方程x2+x-1=0的兩根，則x1x2= ．
【變式1-4】（2021·湖北黃岡·一模）已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1＋x2﹣x1x2的值等于．
【變式1-5】（2021·湖北孝感·一模）已知方程x2-4x-1=0的兩根為x1,x2，則1-x11-x2= ．

求含有兩根的代數(shù)式的值：將所求代數(shù)式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果.
題型02 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過代換求代數(shù)式的值
【例2】（2023潛江市模擬）若α、β為方程2x2-5x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2α2+3αβ+5β的值為（）
A．-13B．12C．14D．15
【變式2-1】（2021·江蘇南通·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+3x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m3+m2n3m-1的值為．
【變式2-2】（2021·四川成都·中考真題）若m，n是一元二次方程x2+2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m2+4m+2n的值是．
題型03 由根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解通過降次求代數(shù)式的值
【例3】（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）已知x1，x2是方程x2-x-2022=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x13-2022x1+x22的值是（）
A．4045B．4044C．2022D．1
【變式3-1】（2023連云港市檢測(cè)）已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α3+8β+6的值為（）
A．﹣1B．2C．22D．30
【變式3-2】（2021上·湖北武漢·九年級(jí)武漢市武珞路中學(xué)校考期中）已知a，b是方程x2-x-1=0的兩根，則代數(shù)式2a3+5a+3b3+3b+1的值是（）
A．19B．20C．14D．15
【變式3-3】（2021·湖北武漢·中考真題）已知a，b是方程x2-3x-5=0的兩根，則代數(shù)式2a3-6a2+b2+7b+1的值是（）
A．-25B．-24C．35D．36
【變式3-4】已知α、β是方程x2+x-1=0的兩根，則α4β-β3+5的值是（）
A．7B．8C．9D．10
【變式3-5】（2020·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）已知α，β是方程x2+2x-1=0的兩根，則α3+5β+10的值為．
題型04 由方程兩根滿足關(guān)系求字母或代數(shù)式的值
【例4】（2022·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的方程x2-2m-1x+m2=0的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2，若x1+1x2+1=3，則m的值為（）
A．-3B．-1C．-3或3D．-1或3
【變式4-1】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m=0的兩實(shí)數(shù)根為x1,x2，且滿足x1x2=2，則x1+x2的值為（）
A．4B．-4C．4或-2D．-4或2
【變式4-2】（2022·廣東佛山·二模）若a、b是關(guān)于x的一元二次方程x2-2kx＋4k=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a2＋b2＝12，則k的值是（）
A．-1B．3C．-1或3D．-3或1
【變式4-3】（2019·廣東廣州·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2，x1-x2+2(x1-x2-2)+2x1x2 =-3，則k的值（）
A．0或2B．-2或2C．-2D．2
【變式4-4】（2022·四川內(nèi)江·中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且x2x1+x1x2＝x12+2x2﹣1，則k的值為．
【變式4-5】（2022·四川巴中·中考真題）α、β是關(guān)于x的方程x2-x+k-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且α2-2α-β=4，則k的值為．
題型05 不解方程由根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負(fù)
【例5】（2020·江蘇南京·中考真題）關(guān)于x的方程(x-1)(x+2)=ρ2（ρ為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）
A．兩個(gè)正根B．兩個(gè)負(fù)根
C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D．無實(shí)數(shù)根
【變式5-1】（2023秦淮區(qū)9年紀(jì)月考）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣ax﹣2=0的兩根，下列結(jié)論一定正確的是（）
A．x1≠x2B．x1+x2＞0C．x1?x2＞0D．x1＜0，x2＜0
【變式5-2】（2021·江蘇南京·一模）關(guān)于x的方程3x2-7x+4=0的根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）
A．兩個(gè)正根B．兩個(gè)負(fù)根
C．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根D．無實(shí)數(shù)根
【變式5-3】關(guān)于x的方程x-2x+1=p2（p為常數(shù)）根的情況，下列結(jié)論中正確的是（）
A．有兩個(gè)相異正根B．有兩個(gè)相異負(fù)根C．有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根D．無實(shí)數(shù)根
題型06 由方程兩根的不等關(guān)系確定字母系數(shù)的取值范圍
【例6】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+(2m+1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1、x2，且2x1x2+x1+x2≥20，則m的取值范圍是（）
A．m≥3B．m≤-4C．3≤m≤4D．-3≤m≤4
【變式6-1】（2023·四川綿陽·三模）已知關(guān)于x的方程4x2-k+5x-k-9=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1=-1，0

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