專題04 數(shù)學(xué)文化題（三大類）【典例分析】【類型一：數(shù)與式】【典例1】（2021?廣東）我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（　?。?/span>A． B．4 C．2 D．5【答案】C【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，當(dāng)b＝3時，S有最大值為＝2．故選：C．【變式1】（2022?長沙）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成2個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2的理解如下：YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數(shù)；DDDD（懂的都懂）：2等于200；JXND（覺醒年代）：2的個位數(shù)字是6；QGYW（強國有我）：我知道2＝1024，10＝1000，所以我估計2比10大．其中對2的理解錯誤的網(wǎng)友是 　  　（填寫網(wǎng)名字母代號）．【答案】DDDD【解答】解：（1）∵2就是200個2相乘，∴YYDS（永遠(yuǎn)的神）的說法正確；∵2就是200個2相乘，200是2個200相乘，∴2不等于200，∴DDDD（懂的都懂）說法不正確；∵2＝2，2＝4，2＝8，2＝16，2＝32，…，∴2的尾數(shù)2，4，8，6循環(huán)，∵200÷4＝50，∴2的個位數(shù)字是6，∴JXND（覺醒年代）說法正確；∵2＝1024，10＝1000，∴2＝（2）＝（1024），10＝（10）＝1000，∵1024＞1000，∴2＞10，∴QGYW（強國有我）說法正確；故答案為：DDDD． 【類型二：方程（組）】【典例2】（2022?岳陽）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道題，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不盡，又三家共一鹿，適盡，問：城中家?guī)缀?？大意為：今?00頭鹿進(jìn)城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，問：城中有多少戶人家？在這個問題中，城中人家的戶數(shù)為（　?。?/span>A．25 B．75 C．81 D．90【答案】B【解答】解：設(shè)城中有x戶人家，依題意得：x+x＝100，解得：x＝75，∴城中有75戶人家．故選：B．【變式2-1】（2022?遼寧）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，木長多少尺？若設(shè)繩子長x尺，木長y尺，所列方程組正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵用繩子去量長木，繩子還剩余4.5尺，∴x﹣y＝4.5；∵將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，∴x+1＝y．∴所列方程組為．故選：C．【變式2-2】（2022?畢節(jié)市）中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵馬四匹、牛六頭，共價四十八兩，∴4x+6y＝48；∵馬三匹、牛五頭，共價三十八兩，∴3x+5y＝38．∴可列方程組為．故選：C．【變式2-3】（2022?十堰）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（　?。?/span>A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30 C．+＝5 D．+＝5【答案】A【解答】解：設(shè)清酒x斗，則醑酒（5﹣x）斗，由題意可得：10x+3（5﹣x）＝30，故選：A．【變式2-4】（2022?貴陽）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程”．如：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，即可表示方程x+4y＝23，則表示的方程是 　   　．【答案】x+2y＝32【解答】解：根據(jù)題知：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項，一個豎線表示一個，一條橫線表示一十，所以該圖表示的方程是：x+2y＝32．【變式2-5】（2022?吉林）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛．1個大桶、1個小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛．根據(jù)題意，可列方程組為 　    　．【答案】【解答】解：設(shè)1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛，由題意得：，故答案為：【類型三：幾何圖形】【典例3】（2020?廣西）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長是（　?。?/span>A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸【答案】C【解答】解：取AB的中點O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE+DE＝AD，即（r﹣1）+10＝r，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：C．【變式3-1】（2021?鄂州）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點C為運行軌道的最低點，則點C到弦AB所在直線的距離是（　?。?/span>A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米【答案】B【解答】解：連接OC交AB于D，連接OA，∵點C為運行軌道的最低點，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴點C到弦AB所在直線的距離CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故選：B．【變式3-2】（2021?張家界）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，設(shè)正方形ABCD的面積為S，黑色部分面積為S，則S：S的比值為（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【解答】解：不妨設(shè)正方形面積S＝1，則正方形邊長為1，∴內(nèi)切圓直徑d＝1，r＝，∴S＝πr＝π，根據(jù)圓的對稱性得：黑色部分面積S＝S＝π，∴S：S＝＝，故選：A．【變式3-3】（2022?西寧）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）＝（2﹣3b）（a﹣2）解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）＝（a﹣2）（2﹣3b）【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進(jìn)行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）【類比】（1）請用分組分解法將x﹣a+x+a因式分解；【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將ax+a﹣2ab﹣bx+b因式分解；【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．根據(jù)以上信息，先將a﹣2ab+2ab﹣2ab+b因式分解，再求值．【解答】解：（1）原式＝（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）＝（x+a）（x﹣a+1）；（2）原式＝（ax﹣bx）+（a﹣2ab+b＝x（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（x+a﹣b）；（3）原式＝（a+2ab+b）﹣（2ab+2ab）＝（a+b）﹣2ab（a+b）＝（a+b）（a+b﹣2ab）＝（a+b）（a﹣b），∵直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1，∴a+b＝3＝9，（a﹣b）＝1，∴原式＝9．【變式3-4】（2021?貴陽）（1）閱讀理解我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖①所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理和推理過程；（2）問題解決勾股定理的證明方法有很多，如圖②是古代的一種證明方法：過正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，將它分成4份，所分成的四部分和以BC為邊的正方形恰好能拼成以AB為邊的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值；（3）拓展探究如圖③，以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到“勾股樹”的部分圖形．設(shè)大正方形N的邊長為定值n，小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d．已知∠1＝∠2＝∠3＝α，當(dāng)角α（0°＜α＜90°）變化時，探究b與c的關(guān)系式，并寫出該關(guān)系式及解答過程（b與c的關(guān)系式用含n的式子表示）．【解答】解：（1）a+b＝c（直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方），證明如下：∵如圖①是由直角邊長分別為a，b的四個全等的直角三角形與中間一個邊長為（b﹣a）的小正方形拼成的一個邊長為c的大正方形，∴4△ADE的面積+正方形EFGH的面積＝正方形ABCD的面積，即4×ab+（b﹣a）＝c，整理得：a+b＝c；（2）由題意得：正方形ACDE被分成4個全等的四邊形，設(shè)EF＝a，FD＝b，分兩種情況：①a＞b時，∴a+b＝12，∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4個全等的四邊形和正方形CBLM拼成，∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，∵E'F'﹣KF'＝E'K，∴a﹣b＝5，∴，解得：a＝，∴EF＝；②a＜b時，同①得：，解得：a＝，∴EF＝；綜上所述，EF為或；（3）c+b＝n，理由如下：如圖③所示：設(shè)正方形E的邊長為e，正方形F的邊長為f，∵∠1＝∠2＝∠3＝α，∠PMQ＝∠D'OE'＝∠B'C'A'＝90°，∴△PMQ∽△D'OE'∽△B'C'A'，∴＝，＝，即＝，＝，∴e＝cn，f＝bn，在Rt△A'B'C'中，由勾股定理得：e+f＝n，∴cn+bn＝n，∴c+b＝n． 

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