【典例分析】
【類型一：購買、分配類問題】
【典例1】（2022?黑龍江）學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元；購進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．
（1）求購進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？
（2）設(shè)購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？
【變式1-1】（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進(jìn)價和售價如下表：
已知：用3000元購進(jìn)甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運動鞋的數(shù)量相同．
（1）求m的值；
（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進(jìn)價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？
（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種運動鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？
【變式1-2】（2021?無錫）為了提高廣大職工對消防知識的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識，某單位工會決定組織消防知識競賽活動，本次活動擬設(shè)一、二等獎若干名，并購買相應(yīng)獎品．現(xiàn)有經(jīng)費1275元用于購買獎品，且經(jīng)費全部用完，已知一等獎獎品單價與二等獎獎品單價之比為4：3．當(dāng)用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件．
（1）求一、二等獎獎品的單價；
（2）若購買一等獎獎品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？
【變式1-3】（2021?連云港）為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．
【類型二：工程、生產(chǎn)類問題】
【典例2】（2022?聊城）為了解決雨季時城市內(nèi)澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造．在改造一段長3600米的街道地下管網(wǎng)時，每天的施工效率比原計劃提高了20%，按這樣的進(jìn)度可以比原計劃提前10天完成任務(wù)．
（1）求實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度；
（2）施工進(jìn)行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度，以確?？偣て诓怀^40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？
【變式2-1】（2022?四會市一模）為全面推進(jìn)“三供一業(yè)”分離移交工作，甲、乙兩個工程隊承攬了某社區(qū)2400米的電路管道鋪設(shè)工程．已知甲隊每天鋪設(shè)管道的長度是乙隊每天鋪設(shè)管道長度的1.5倍，若兩隊各自獨立完成1200米的鋪設(shè)任務(wù)，則甲隊比乙隊少用10天．
（1）求甲、乙兩工程隊每天分別鋪設(shè)電路管道多少米；
（2）若甲隊參與該項工程的施工時間不得超過20天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程？
【變式2-2】（2022?永州）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地A、B、C、D四個位置安裝四個自動噴灑裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計了如下兩個水管鋪設(shè)方案（各圖中實線為鋪設(shè)的水管）．
方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設(shè)水管；
方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對角線鋪設(shè)水管．
（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設(shè)水管的總長度更短；
（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂巢原理”重新設(shè)計了一個方案（如圖4所示）．
滿足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰的方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）
【變式2-3】（2022?呼和浩特）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的2倍．
（1）問去年每噸土豆的平均價格是多少元？
（2）該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設(shè)備原因，兩種產(chǎn)品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元，由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的，為獲得最大利潤，應(yīng)將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？
【變式2-4】（2022?隨州）2022年的冬奧會在北京舉行，其中冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)了“一墩難求”的場面．某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個“冰墩墩”后很快就被搶購一空，該店決定讓當(dāng)天未購買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m個（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量y1（單位：個）和需求量y2（單位：個）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，其中需求量y2與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系．（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會購買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）
（1）直接寫出y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出x的取值范圍）
（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136個）
（3）在第（2）問m取最小值的條件下，若每個“冰墩墩”售價為100元，求第4天與第12天的銷售額．
【類型三：行程問題】
【典例3】（2021?包頭）小剛家到學(xué)校的距離是1800米．某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學(xué)校．已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小剛跑步的平均速度；
（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說明理由．
【變式3-1】（2020?白云區(qū)二模）某校學(xué)生到離學(xué)校15千米的青少年營地舉行活動，先遣隊與大部隊同時出發(fā)，已知先遣隊的平均速度是大部隊平均速度的1.2倍，預(yù)計比大部隊早半小時到達(dá)．求先遣隊的平均速度．
【變式3-2】（2022?武漢）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm處．
小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．
小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關(guān)系，運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫出v關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由．
【變式3-3】（2020?齊齊哈爾）團(tuán)結(jié)奮戰(zhàn)，眾志成城，齊齊哈爾市組織援助醫(yī)療隊，分別乘甲、乙兩車同時出發(fā)，沿同一路線趕往綏芬河．齊齊哈爾距綏芬河的路程為800km，在行駛過程中乙車速度始終保持80km/h，甲車先以一定速度行駛了500km，用時5h，然后再以乙車的速度行駛，直至到達(dá)綏芬河（加油、休息時間忽略不計）．甲、乙兩車離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時間x（h）的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：
（1）甲車改變速度前的速度是 km/h，乙車行駛 h到達(dá)綏芬河；
（2）求甲車改變速度后離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數(shù)解析式，不用寫出自變量x的取值范圍；
（3）甲車到達(dá)綏芬河時，乙車距綏芬河的路程還有 km；出發(fā) h時，甲、乙兩車第一次相距40km．
【變式3-4】如圖1，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上．小明從食堂吃完早餐，接著騎自行車去圖書館讀書，然后以相同的速度原路返回家．如圖2中反映了小明離家的距離y（m）與他所用時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）小明家與圖書館的距離為 m，小明騎自行車速度為 m/min；
（2）求小明從圖書館返回家的過程中，y與x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)小明離家的距離為1000m時，求x的值．
【變式3-5】（2020?寧波）A，B兩地相距200千米．早上8：00貨車甲從A地出發(fā)將一批物資運往B地，行駛一段路程后出現(xiàn)故障，即刻停車與B地聯(lián)系．B地收到消息后立即派貨車乙從B地出發(fā)去接運甲車上的物資．貨車乙遇到甲后，用了18分鐘將物資從貨車甲搬運到貨車乙上，隨后開往B地．兩輛貨車離開各自出發(fā)地的路程y（千米）與時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（通話等其他時間忽略不計）
（1）求貨車乙在遇到貨車甲前，它離開出發(fā)地的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）因?qū)嶋H需要，要求貨車乙到達(dá)B地的時間比貨車甲按原來的速度正常到達(dá)B地的時間最多晚1個小時，問貨車乙返回B地的速度至少為每小時是多少千米？
【類型四：增長率（面積問題）】
【典例4】（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．
（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；
（2）當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？
【變式4-1】（2022?湘潭）為落實國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：
（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；
（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？
【變式4-2】（2021?重慶）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎．某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡稱“堂食”小面），也可購買搭配佐料的袋裝生面（簡稱“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價為33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是多少元？
（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價格保持不變，每份“生食”小面的價格降低a%．統(tǒng)計5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn)：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加a%，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加a%．求a的值．
【變式4-3】（2022?大渡口區(qū)校級模擬）草莓是大家非常喜歡的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市銷售草莓，第一周每千克草莓的銷售單價比第二周銷售單價高10元，該水果超市這兩周共銷售草莓180千克，且第一周草莓的銷量與第二周的銷量之比為4：5，該水果超市這兩周草莓銷售總額為11600元．
（1）第二周草莓銷售單價是每千克多少元？
（2）隨著草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定價與第二周保持一致，且該水果超市推出會員優(yōu)惠活動，所有的會員均可享受每千克直降a元的優(yōu)惠，而非會員需要按照原價購買，第三周草莓的銷量比第二周增加了20%，其中通過會員優(yōu)惠活動購買的銷量占第三周草莓總銷量的，而第三周草莓的銷售總額為（6200+100a）元，求a的值．
【變式4-4】（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．
（1）求四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：
據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．
①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？
【類型五：函數(shù)圖像問題】
【典例5】（2022?遼寧）某超市以每件13元的價格購進(jìn)一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進(jìn)價且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價定為多少時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？
【變式5-1】（2023?瀘縣校級一模）某商場以每件20元的價格購進(jìn)一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．設(shè)該商場銷售這種商品每天獲利w（元）．
（1）求y與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）該商場規(guī)定這種商品每件售價不低于進(jìn)價且不高于38元，商品要想獲得600元的利潤，每件商品的售價應(yīng)定為多少元？
【變式5-2】（2022?濰坊）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進(jìn)展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標(biāo)系中描出表示2017﹣2021年①號田和②號田年產(chǎn)量情況的點（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如圖．
小亮認(rèn)為，可以從y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢．
（1）小瑩認(rèn)為不能選y＝（m＞0）．你認(rèn)同嗎？請說明理由；
（2）請從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢，并求出函數(shù)表達(dá)式；
（3）根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請預(yù)測①號田和②號田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？
【變式5-3】（2021?大慶）如圖①是甲，乙兩個圓柱形水槽的橫截面示意圖，乙槽中有一圓柱形實心鐵塊立放其中（圓柱形實心鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上），現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲，乙兩個水槽中水的深度y（cm）與注水時間x（min）之間的關(guān)系如圖②所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）圖②中折線EDC表示 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系；線段AB表示 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系；鐵塊的高度為 cm．
（2）注水多長時間，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（請寫出必要的計算過程）
【變式5-4】（2022秋?河口區(qū)期末）隨著春節(jié)臨近，某兒童游樂場推出了甲、乙兩種消費卡，設(shè)消費次數(shù)為x時，所需費用為y元，且y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，解答下列問題；
（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求出B點坐標(biāo)．
（3）洋洋爸爸準(zhǔn)備240元錢用于洋洋在該游樂場消費，請問選擇哪種消費卡劃算？
【變式5-5】（2021?陜西）在一次機(jī)器“貓”抓機(jī)器“鼠”的展演測試中，“鼠”先從起點出發(fā)，1min后，“貓”從同一起點出發(fā)去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“貓”抓著“鼠”沿原路返回．“鼠”、“貓”距起點的距離y（m）與時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）在“貓”追“鼠”的過程中，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是 m/min；
（2）求AB的函數(shù)表達(dá)式；
（3）求“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間．
【變式5-6】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）洋洋和妮妮分別從學(xué)校和公園同時出發(fā)，沿同一條路相向而行．洋洋開始跑步中途改為步行，到達(dá)公園恰好用了30min．妮妮騎單車以300m/min的速度直接回學(xué)校．兩人離學(xué)校的路程y（m）與各自離開出發(fā)地的時間x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
（1）學(xué)校與公園之間的路程為 m，洋洋步行的速度為 m/min；
（2）求妮妮離學(xué)校的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）求兩人相遇的時間．
運動鞋
價格
甲
乙
進(jìn)價（元/雙）
m
m﹣20
售價（元/雙）
240
160
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供應(yīng)量y1（個）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（個）
220
229
…
245
…
220
…
164
運動時間t/s
0
1
2
3
4
運動速度v/cm/s
10
9.5
9
8.5
8
運動距離y/cm
0
9.75
19
27.75
36
購票方式
甲
乙
丙
可游玩景點
A
B
A和B
門票價格
100元/人
80元/人
160元/人
沖刺中考數(shù)學(xué)壓軸之滿分集訓(xùn)
專題05 ?？紝嶋H應(yīng)用與方案設(shè)計（五大類）
【典例分析】
【類型一：購買、分配類問題】
【典例1】（2022?黑龍江）學(xué)校開展大課間活動，某班需要購買A、B兩種跳繩．已知購進(jìn)10根A種跳繩和5根B種跳繩共需175元；購進(jìn)15根A種跳繩和10根B種跳繩共需300元．
（1）求購進(jìn)一根A種跳繩和一根B種跳繩各需多少元？
（2）設(shè)購買A種跳繩m根，若班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，所花費用不少于548元且不多于560元，則有哪幾種購買方案？
（3）在（2）的條件下，哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)一根A種跳繩需x元，購進(jìn)一根B種跳繩需y元，
依題意得：，
解得：．
答：購進(jìn)一根A種跳繩需10元，購進(jìn)一根B種跳繩需15元．
（2）∵該班級計劃購買A、B兩種跳繩共45根，且購買A種跳繩m根，
∴購買B種跳繩（45﹣m）根．
依題意得：，
解得：23≤m≤25.4，
又∵m為整數(shù)，
∴m可以取23，24，25，
∴共有3種購買方案，
方案1：購買23根A種跳繩，22根B種跳繩；
方案2：購買24根A種跳繩，21根B種跳繩；
方案3：購買25根A種跳繩，20根B種跳繩．
（3）設(shè)購買跳繩所需總費用為w元，則w＝10m+15（45﹣m）＝﹣5m+675．
∵﹣5＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝25時，w取得最小值，最小值＝﹣5×25+675＝550．
答：在（2）的條件下，購買方案3需要的總費用最少，最少費用是550元．
【變式1-1】（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進(jìn)價和售價如下表：
已知：用3000元購進(jìn)甲種運動鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運動鞋的數(shù)量相同．
（1）求m的值；
（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進(jìn)價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？
（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種運動鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？
【解答】解：（1）依題意得，＝，
整理得，3000（m﹣20）＝2400m，
解得m＝100，
經(jīng)檢驗，m＝100是原分式方程的解，
所以，m＝100；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，
根據(jù)題意得，，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式組的解集是95≤x≤105，
∵x是正整數(shù)，105﹣95+1＝11，
∴共有11種方案；
（3）設(shè)總利潤為W，則W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①當(dāng)50＜a＜60時，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，
所以，當(dāng)x＝105時，W有最大值，
即此時應(yīng)購進(jìn)甲種運動鞋105雙，購進(jìn)乙種運動鞋95雙；
②當(dāng)a＝60時，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案獲利都一樣；
③當(dāng)60＜a＜70時，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，
所以，當(dāng)x＝95時，W有最大值，
即此時應(yīng)購進(jìn)甲種運動鞋95雙，購進(jìn)乙種運動鞋105雙．
【變式1-2】（2021?無錫）為了提高廣大職工對消防知識的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)職工的消防意識，某單位工會決定組織消防知識競賽活動，本次活動擬設(shè)一、二等獎若干名，并購買相應(yīng)獎品．現(xiàn)有經(jīng)費1275元用于購買獎品，且經(jīng)費全部用完，已知一等獎獎品單價與二等獎獎品單價之比為4：3．當(dāng)用600元購買一等獎獎品時，共可購買一、二等獎獎品25件．
（1）求一、二等獎獎品的單價；
（2）若購買一等獎獎品的數(shù)量不少于4件且不超過10件，則共有哪幾種購買方式？
【解答】解：（1）設(shè)一等獎獎品單價為4x元，則二等獎獎品單價為3x元，
依題意得：+＝25，
解得：x＝15，
經(jīng)檢驗，x＝15是原方程的解，且符合題意，
∴4x＝60，3x＝45．
答：一等獎獎品單價為60元，二等獎獎品單價為45元．
（2）設(shè)購買一等獎獎品m件，二等獎獎品n件，
依題意得：60m+45n＝1275，
∴n＝．
∵m，n均為正整數(shù)，且4≤m≤10，
∴或或，
∴共有3種購買方案，
方案1：購買4件一等獎獎品，23件二等獎獎品；
方案2：購買7件一等獎獎品，19件二等獎獎品；
方案3：購買10件一等獎獎品，15件二等獎獎品．
【變式1-3】（2021?連云港）為了做好防疫工作，學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批消毒液．已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元．
（1）這兩種消毒液的單價各是多少元？
（2）學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種消毒液共90瓶，且B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，請設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最少費用．
【解答】解：（1）設(shè)A型消毒液的單價是x元，B型消毒液的單價是y元，
，
解得，
答：A型消毒液的單價是7元，B型消毒液的單價是9元；
（2）設(shè)購進(jìn)A型消毒液a瓶，則購進(jìn)B型消毒液（90﹣a）瓶，費用為w元，
依題意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，
∵k＝﹣2＜0，
∴w隨a的增大而減小，
∵B型消毒液的數(shù)量不少于A型消毒液數(shù)量的，
∴90﹣a≥a，
解得a≤67，
∴當(dāng)a＝67時，w取得最小值，此時w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23，
答：最省錢的購買方案是購進(jìn)A型消毒液67瓶，購進(jìn)B型消毒液23瓶，最低費用為676元．
【類型二：工程、生產(chǎn)類問題】
【典例2】（2022?聊城）為了解決雨季時城市內(nèi)澇的難題，我市決定對部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造．在改造一段長3600米的街道地下管網(wǎng)時，每天的施工效率比原計劃提高了20%，按這樣的進(jìn)度可以比原計劃提前10天完成任務(wù)．
（1）求實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度；
（2）施工進(jìn)行20天后，為了減少對交通的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度，以確?？偣て诓怀^40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？
【解答】解：（1）設(shè)原計劃每天改造管網(wǎng)x米，則實際施工時每天改造管網(wǎng)（1+20%）x米，
由題意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
經(jīng)檢驗，x＝60是原方程的解，且符合題意．
此時，60×（1+20%）＝72（米）．
答：實際施工時，每天改造管網(wǎng)的長度是72米；
（2）設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，
由題意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加36米．
【變式2-1】（2022?四會市一模）為全面推進(jìn)“三供一業(yè)”分離移交工作，甲、乙兩個工程隊承攬了某社區(qū)2400米的電路管道鋪設(shè)工程．已知甲隊每天鋪設(shè)管道的長度是乙隊每天鋪設(shè)管道長度的1.5倍，若兩隊各自獨立完成1200米的鋪設(shè)任務(wù)，則甲隊比乙隊少用10天．
（1）求甲、乙兩工程隊每天分別鋪設(shè)電路管道多少米；
（2）若甲隊參與該項工程的施工時間不得超過20天，則乙隊至少施工多少天才能完成該項工程？
【解答】解：（1）設(shè)乙隊每天鋪設(shè)電路管道x米，則甲隊每天鋪設(shè)電路管道1.5x米，
依題意，得：．
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗，x＝40是原方程的解，且符合題意，
∴1.5x＝1.5×40＝60．
答：甲隊每天鋪設(shè)電路管道60米，乙隊每天鋪設(shè)電路管道40米．
（2）設(shè)乙隊施工m天正好完成該項工程，
依題意，得：≤20，
解得：m≥30．
答：若甲隊參與該項工程的施工時間不得超過20天，則乙隊至少施工30天才能完成該項工程．
【變式2-2】（2022?永州）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準(zhǔn)備在耕地A、B、C、D四個位置安裝四個自動噴灑裝置（如圖1所示），A、B、C、D四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設(shè)計了如下兩個水管鋪設(shè)方案（各圖中實線為鋪設(shè)的水管）．
方案一：如圖2所示，沿正方形ABCD的三邊鋪設(shè)水管；
方案二：如圖3所示，沿正方形ABCD的兩條對角線鋪設(shè)水管．
（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設(shè)水管的總長度更短；
（2）小明看了爸媽的方案后，根據(jù)“蜂巢原理”重新設(shè)計了一個方案（如圖4所示）．
滿足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰的方案中鋪設(shè)水管的總長度更短，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）
【解答】解：（1）方案一：鋪設(shè)水管的總長度為50×3＝150（米），
方案二：鋪設(shè)水管的總長度為2＝100≈140（米），
∵140＜150，
∴方案二鋪設(shè)水管的總長度更短；
（2）小明的方案中鋪設(shè)水管的總長度最短，理由如下：
如圖：
∵AE＝BE，GE⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝25米，∠AEG＝∠BEG＝∠AEB＝60°，
同理DH＝CH＝25米，∠DFH＝∠CFH＝60°，
在Rt△AEG中，
GE＝＝（米），AE＝＝（米），
同理FH＝米，BE＝CF＝DF＝AE＝米
∴EF＝GH﹣GE﹣FH＝（50﹣）米，
∴方案中鋪設(shè)水管的總長度為×4+50﹣＝50+50≈135（米），
∵135＜140＜150，
∴小明的方案中鋪設(shè)水管的總長度最短．
【變式2-3】（2022?呼和浩特）今年我市某公司分兩次采購了一批土豆，第一次花費30萬元，第二次花費50萬元，已知第一次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格上漲了200元，第二次采購時每噸土豆的價格比去年的平均價格下降了200元，第二次的采購數(shù)量是第一次采購數(shù)量的2倍．
（1）問去年每噸土豆的平均價格是多少元？
（2）該公司可將土豆加工成薯片或淀粉，因設(shè)備原因，兩種產(chǎn)品不能同時加工，若單獨加工成薯片，每天可加工5噸土豆，每噸土豆獲利700元；若單獨加工成淀粉，每天可加工8噸土豆，每噸土豆獲利400元，由于出口需要，所有采購的土豆必須全部加工完且用時不超過60天，其中加工成薯片的土豆數(shù)量不少于加工成淀粉的土豆數(shù)量的，為獲得最大利潤，應(yīng)將多少噸土豆加工成薯片？最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設(shè)去年每噸土豆的平均價格是x元，則今年第一次采購每噸土豆的平均價格為（x+200）元，第二次采購每噸土豆的平均價格為（x﹣200）元，
由題意得：×2＝，
解得：x＝2200，
經(jīng)檢驗，x＝2200是原分式方程的解，且符合題意，
答：去年每噸土豆的平均價格是2200元；
（2）由（1）得：今年采購的土豆數(shù)為：×3＝375（噸），
設(shè)應(yīng)將m噸土豆加工成薯片，則應(yīng)將（375﹣m）噸加工成淀粉，
由題意得：，
解得：150≤m≤175，
設(shè)總利潤為y元，
則y＝700m+400（375﹣m）＝300m+150000，
∵300＞0，
∴y隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝175時，y的值最大＝300×175+150000＝202500，
答：為獲得最大利潤，應(yīng)將175噸土豆加工成薯片，最大利潤是202500元．
【變式2-4】（2022?隨州）2022年的冬奧會在北京舉行，其中冬奧會吉祥物“冰墩墩”深受人們喜愛，多地出現(xiàn)了“一墩難求”的場面．某紀(jì)念品商店在開始售賣當(dāng)天提供150個“冰墩墩”后很快就被搶購一空，該店決定讓當(dāng)天未購買到的顧客可通過預(yù)約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m個（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計，得到第x天（1≤x≤15，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量y1（單位：個）和需求量y2（單位：個）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，其中需求量y2與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系．（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會購買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）
（1）直接寫出y1與x和y2與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出x的取值范圍）
（2）已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136個）
（3）在第（2）問m取最小值的條件下，若每個“冰墩墩”售價為100元，求第4天與第12天的銷售額．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：y1＝150+（x﹣1）m＝mx+150﹣m，
設(shè)y2＝ax2+bx+c，將（1，220），（2，229），（6，245）代入得：
，
解得，
∴y2＝﹣x2+12x+209；
（2）前9天的總供應(yīng)量為150+（150+m）+（150+2m）++（150+8m）＝（1350+36m）個，
前10天的供應(yīng)量為1350+36m+（150+9m）＝（1500+45m）個，
在y2＝﹣x2+12x+209中，令x＝10得y＝﹣102+12×10+209＝229，
∵前9天的總需求量為2136個，
∴前10天的總需求量為2136+229＝2365（個），
∵前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量，
∴，
解得19≤m＜21，
∵m為正整數(shù)，
∴m的值為20或21；
（3）由（2）知，m最小值為20，
∴第4天的銷售量即供應(yīng)量為y1＝4×20+150﹣20＝210，
∴第4天的銷售額為210×100＝21000（元），
而第12天的銷售量即需求量為y2＝﹣122+12×12+209＝209，
∴第12天的銷售額為209×100＝20900（元），
答：第4天的銷售額為21000元，第12天的銷售額為20900元．
【類型三：行程問題】
【典例3】（2021?包頭）小剛家到學(xué)校的距離是1800米．某天早上，小剛到學(xué)校后發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘在家中，此時離上課還有20分鐘，于是他立即按原路跑步回家，拿到作業(yè)本后騎自行車按原路返回學(xué)校．已知小剛騎自行車時間比跑步時間少用了4.5分鐘，且騎自行車的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小剛跑步的平均速度；
（2）如果小剛在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分鐘，他能否在上課前趕回學(xué)校？請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)小剛跑步的平均速度為x米/分，則小剛騎自行車的平均速度為1.6x米/分，
根據(jù)題意，得，
解得：x＝150，
經(jīng)檢驗，x＝150是所列方程的根，
答：小剛跑步的平均速度為150米/分．
（2）他不能在上課前趕回學(xué)校，理由如下：
由（1）得小剛跑步的平均速度為150米/分，
則小剛跑步所用時間為1800÷150＝12（分），
騎自行車所用時間為12﹣4.5＝7.5（分），
∵在家取作業(yè)本和取自行車共用了3分，
∴小剛從開始跑步回家到趕回學(xué)校需要12+7.5+3＝22.5（分）．
又∵22.5＞20，
∴小剛不能在上課前趕回學(xué)校．
【變式3-1】（2020?白云區(qū)二模）某校學(xué)生到離學(xué)校15千米的青少年營地舉行活動，先遣隊與大部隊同時出發(fā)，已知先遣隊的平均速度是大部隊平均速度的1.2倍，預(yù)計比大部隊早半小時到達(dá)．求先遣隊的平均速度．
【解答】解：設(shè)大部隊的速度為x千米/時；則先遣隊的速度為1.2x千米/小時．
根據(jù)題意，得﹣＝，
解得 x＝5，
經(jīng)檢驗：x＝5是原方程的根，
∴1.2x＝6．
答：先遣隊的行進(jìn)速度為6千米/小時．
【變式3-2】（2022?武漢）在一條筆直的滑道上有黑、白兩個小球同向運動，黑球在A處開始減速，此時白球在黑球前面70cm處．
小聰測量黑球減速后的運動速度v（單位：cm/s）、運動距離y（單位：cm）隨運動時間t（單位：s）變化的數(shù)據(jù)，整理得下表．
小聰探究發(fā)現(xiàn)，黑球的運動速度v與運動時間t之間成一次函數(shù)關(guān)系，運動距離y與運動時間t之間成二次函數(shù)關(guān)系．
（1）直接寫出v關(guān)于t的函數(shù)解析式和y關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)黑球減速后運動距離為64cm時，求它此時的運動速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度勻速運動，問黑球在運動過程中會不會碰到白球？請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)v＝mt+n，將（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴v＝﹣t+10；
設(shè)y＝at2+bt+c，將（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴y＝﹣t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
當(dāng)t＝8時，v＝6；
當(dāng)t＝32時，v＝﹣6（舍）；
（3）設(shè)黑白兩球的距離為wcm，
根據(jù)題意可知，w＝70+2t﹣y
＝t2﹣8t+70
＝（t﹣16）2+6，
∵＞0，
∴當(dāng)t＝16時，w的最小值為6，
∴黑白兩球的最小距離為6cm，大于0，黑球不會碰到白球．
另解1：當(dāng)w＝0時，t2﹣8t+70＝0，判定方程無解．
另解2：當(dāng)黑球的速度減小到2cm/s時，如果黑球沒有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不會碰到白球．先確定黑球速度為2cm/s時，其運動時間為16s，再判斷黑白兩球的運動距離之差小于70 cm．
【變式3-3】（2020?齊齊哈爾）團(tuán)結(jié)奮戰(zhàn)，眾志成城，齊齊哈爾市組織援助醫(yī)療隊，分別乘甲、乙兩車同時出發(fā)，沿同一路線趕往綏芬河．齊齊哈爾距綏芬河的路程為800km，在行駛過程中乙車速度始終保持80km/h，甲車先以一定速度行駛了500km，用時5h，然后再以乙車的速度行駛，直至到達(dá)綏芬河（加油、休息時間忽略不計）．甲、乙兩車離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時間x（h）的關(guān)系如圖所示，請結(jié)合圖象解答下列問題：
（1）甲車改變速度前的速度是 100 km/h，乙車行駛 10 h到達(dá)綏芬河；
（2）求甲車改變速度后離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數(shù)解析式，不用寫出自變量x的取值范圍；
（3）甲車到達(dá)綏芬河時，乙車距綏芬河的路程還有 100 km；出發(fā) 2 h時，甲、乙兩車第一次相距40km．
【解答】解：（1）甲車改變速度前的速度為：500÷5＝100（km/h），乙車達(dá)綏芬河是時間為：800÷80＝10（h），
故答案為：100；10；
（2）∵乙車速度為80km/h，
∴甲車到達(dá)綏芬河的時間為：，
甲車改變速度后，到達(dá)綏芬河前，設(shè)所求函數(shù)解析式為：y＝kx+b（k≠0），
將（5，500）和（，800）代入得：，
解得，
∴y＝80x+100，
答：甲車改變速度后離齊齊哈爾的路程y（km）與所用時間x（h）之間的函數(shù)解析式為y＝80x+100（）；
（3）甲車到達(dá)綏芬河時，乙車距綏芬河的路程為：800﹣80×＝100（km），
40÷（100﹣80）＝2（h），
即出發(fā)2h時，甲、乙兩車第一次相距40km．
故答案為：100；2．
【變式3-4】如圖1，小明家、食堂、圖書館在同一條直線上．小明從食堂吃完早餐，接著騎自行車去圖書館讀書，然后以相同的速度原路返回家．如圖2中反映了小明離家的距離y（m）與他所用時間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系．
（1）小明家與圖書館的距離為 2000 m，小明騎自行車速度為 200 m/min；
（2）求小明從圖書館返回家的過程中，y與x的函數(shù)解析式；
（3）當(dāng)小明離家的距離為1000m時，求x的值．
【解答】解：（1）由圖象可得，
小明家與圖書館的距離為2000m，小明步行的速度為：（2000﹣800）÷6＝200（m/min），
故答案為：2000，200；
（2）小明從圖書館回到家用的時間為：2000÷200＝10（min），
36+10＝46（min），
小明從圖書館返回家的過程中，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
∵點（36，2000），（46，0）在該函數(shù)圖象上，
∴．
解得．
即小明從圖書館返回家的過程中，y與x的函數(shù)解析式為y＝﹣200x+9200（36≤x≤46）；
（3）小明從圖書館返回家的過程中，當(dāng)y＝1000時，
1000＝﹣200x+9200，
解得x＝41，
即當(dāng)小明離家的距離為1000m時，x的值為41．
小明從食堂出來后，設(shè)y與x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，
將（0，800）（6，2000）代入，得，
解得：
∴y＝200x+800，當(dāng)y＝1000時，x＝1．
【變式3-5】（2020?寧波）A，B兩地相距200千米．早上8：00貨車甲從A地出發(fā)將一批物資運往B地，行駛一段路程后出現(xiàn)故障，即刻停車與B地聯(lián)系．B地收到消息后立即派貨車乙從B地出發(fā)去接運甲車上的物資．貨車乙遇到甲后，用了18分鐘將物資從貨車甲搬運到貨車乙上，隨后開往B地．兩輛貨車離開各自出發(fā)地的路程y（千米）與時間x（小時）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（通話等其他時間忽略不計）
（1）求貨車乙在遇到貨車甲前，它離開出發(fā)地的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）因?qū)嶋H需要，要求貨車乙到達(dá)B地的時間比貨車甲按原來的速度正常到達(dá)B地的時間最多晚1個小時，問貨車乙返回B地的速度至少為每小時是多少千米？
【解答】解：（1）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝80x﹣128；
由圖可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小時），1.6+1.5＝3.1（小時），
∴x的取值范圍是1.6≤x＜3.1．
∴貨車乙在遇到貨車甲前，它離開出發(fā)地的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y＝80x﹣128（1.6≤x＜3.1）；
（2）當(dāng)y＝200﹣80＝120時，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
由圖可知，甲的速度為＝50（千米/小時），
貨車甲正常到達(dá)B地的時間為200÷50＝4（小時），
18÷60＝0.3（小時），4+1＝5（小時），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小時），
設(shè)貨車乙返回B地的車速為v千米/小時，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：貨車乙返回B地的車速至少為75千米/小時．
【類型四：增長率（面積問題）】
【典例4】（2022?無錫）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．
（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36m2，求此時x的值；
（2）當(dāng)x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？
【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
經(jīng)檢驗，x＝6時，3x＝18＞10不符合題意，舍去，
∴x＝2，
答：此時x的值為2；
（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，
∵墻的長度為10m，
∴0＜x≤，
根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝時，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：當(dāng)x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．
【變式4-1】（2022?湘潭）為落實國家《關(guān)于全面加強(qiáng)新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長12m）和21m長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：
（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度AE＝1m的水池，且需保證總種植面積為32m2，試分別確定CG、DG的長；
（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問BC應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？
【解答】解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），
∴Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形的面積為12×3＝36（m2），
設(shè)水池的長為am，則水池的面積為a×1＝a（m2），
∴36﹣a＝32，
解得a＝4，
∴DG＝4m，
∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），
即CG的長為8m、DG的長為4m；
（2）設(shè)BC長為xm，則CD長度為21﹣3x，
∴總種植面積為（21﹣3x）?x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x﹣）2+，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)x＝時，總種植面積有最大值為m2，
即BC應(yīng)設(shè)計為m總種植面積最大，此時最大面積為m2．
【變式4-2】（2021?重慶）重慶小面是重慶美食的名片之一，深受外地游客和本地民眾歡迎．某面館向食客推出經(jīng)典特色重慶小面，顧客可到店食用（簡稱“堂食”小面），也可購買搭配佐料的袋裝生面（簡稱“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的總售價為31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的總售價為33元．
（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的價格分別是多少元？
（2）該面館在4月共賣出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．為回饋廣大食客，該面館從5月1日起每份“堂食”小面的價格保持不變，每份“生食”小面的價格降低a%．統(tǒng)計5月的銷量和銷售額發(fā)現(xiàn)：“堂食”小面的銷量與4月相同，“生食”小面的銷量在4月的基礎(chǔ)上增加a%，這兩種小面的總銷售額在4月的基礎(chǔ)上增加a%．求a的值．
【解答】解：（1）設(shè)每份“堂食”小面的價格為x元，每份“生食”小面的價格為y元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：每份“堂食”小面的價格為7元，每份“生食”小面的價格為5元；
（2）由題意得：4500×7+2500（1+a%）×5（1﹣a%）＝（4500×7+2500×5）（1+a%），
設(shè)a%＝m，則方程可化為：9×7+25（1+m）（1﹣m）＝（9×7+25）（1+m），
375m2﹣30m＝0，
m（25m﹣2）＝0，
解得：m1＝0（舍），m2＝，
∴a＝8．
【變式4-3】（2022?大渡口區(qū)校級模擬）草莓是大家非常喜歡的水果，3月份是草莓上市的旺季．某水果超市銷售草莓，第一周每千克草莓的銷售單價比第二周銷售單價高10元，該水果超市這兩周共銷售草莓180千克，且第一周草莓的銷量與第二周的銷量之比為4：5，該水果超市這兩周草莓銷售總額為11600元．
（1）第二周草莓銷售單價是每千克多少元？
（2）隨著草莓的大量上市，3月份第三周，草莓定價與第二周保持一致，且該水果超市推出會員優(yōu)惠活動，所有的會員均可享受每千克直降a元的優(yōu)惠，而非會員需要按照原價購買，第三周草莓的銷量比第二周增加了20%，其中通過會員優(yōu)惠活動購買的銷量占第三周草莓總銷量的，而第三周草莓的銷售總額為（6200+100a）元，求a的值．
【解答】解：（1）設(shè)第一周草莓銷售單價是每千克x元，第二周草莓銷售單價是每千克y元，
依題意得：，
解得：，
答：第二周草莓銷售單價是每千克60元．
（2）依題意可知，3月份第三周草莓的銷售單價為60元/千克，第三周草莓的銷售量為：180×（1+20%）＝120（千克），
其中會員購買的銷量為：120×＝20a（千克），非會員購買的銷量為：（120﹣20a）千克，
由題意得：20a（60﹣a）+（120﹣20a）×60＝6200+100a，
整理得：a2+5a﹣50＝0，
解得：a1＝5，a2＝﹣10（不符合題意，舍去）．
答：a的值為5．
【變式4-4】（2021?湖州）今年以來，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬人，五月份為5.76萬人．
（1）求四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有A，B兩個景點，售票處出示的三種購票方式如下表所示：
據(jù)預(yù)測，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬，并且當(dāng)甲、乙兩種門票價格不變時，丙種門票價格每下降1元，將有600人原計劃購買甲種門票的游客和400人原計劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．
①若丙種門票價格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；
②問：將丙種門票價格下降多少元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？
【解答】解：（1）設(shè)四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為x，
由題意，得4（1+x）2＝5.76，
解這個方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為20%；
（2）①由題意，得
100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（萬元）．
答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元．
②設(shè)丙種門票價格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，
由題意，得
W＝100（2﹣0.06m）+80（3﹣0.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+0.04m），
化簡，得W＝﹣0.1（m﹣24）2+817.6，
∵﹣0.1＜0，
∴當(dāng)m＝24時，W取最大值，為817.6萬元．
答：當(dāng)丙種門票價格下降24元時，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬元．
【類型五：函數(shù)圖像問題】
【典例5】（2022?遼寧）某超市以每件13元的價格購進(jìn)一種商品，銷售時該商品的銷售單價不低于進(jìn)價且不高于18元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）銷售單價定為多少時，該超市每天銷售這種商品所獲的利潤最大？最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得：，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣20x+500；
（2）設(shè)每天銷售這種商品所獲的利潤為w，
∵y＝﹣20x+500，
∴w＝（x﹣13）y＝（x﹣13）（﹣20x+500）
＝﹣20x2+760x﹣6500
＝﹣20（x﹣19）2+720，
∵﹣20＜0，
∴當(dāng)x＜19時，w隨x的增大而增大，
∵13≤x≤18，
∴當(dāng)x＝18時，w有最大值，最大值為700，
∴售價定為18元/件時，每天最大利潤為700元．
【變式5-1】（2023?瀘縣校級一模）某商場以每件20元的價格購進(jìn)一種商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品每天的銷售量y（件）與每件售價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．設(shè)該商場銷售這種商品每天獲利w（元）．
（1）求y與之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）該商場規(guī)定這種商品每件售價不低于進(jìn)價且不高于38元，商品要想獲得600元的利潤，每件商品的售價應(yīng)定為多少元？
【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由所給函數(shù)圖象可知：，
解得，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）根據(jù)題意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，
∴x1＝30，x2＝50（舍），
∵20≤x≤38，
∴x＝30．
答：每件商品的售價應(yīng)定為30元．
【變式5-2】（2022?濰坊）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進(jìn)展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標(biāo)系中描出表示2017﹣2021年①號田和②號田年產(chǎn)量情況的點（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如圖．
小亮認(rèn)為，可以從y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢．
（1）小瑩認(rèn)為不能選y＝（m＞0）．你認(rèn)同嗎？請說明理由；
（2）請從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢，并求出函數(shù)表達(dá)式；
（3）根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請預(yù)測①號田和②號田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？
【解答】解：（1）認(rèn)同，理由是：當(dāng)m＞0時，y＝中，y隨x的增大而減小，而從圖中描點可知，x增大y隨之增大，故不能選y＝（m＞0）；
（2）觀察①號田和②號田的年產(chǎn)量變化趨勢可知，①號田為y＝kx+b（k＞0），②號田為y＝﹣0.1x2+ax+c，
把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝0.5x+1；
把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1x2+x+1，
答：模擬①號田的函數(shù)表達(dá)式為y＝0.5x+1，模擬②號田的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣0.1x2+x+1；
（3）設(shè)①號田和②號田總年產(chǎn)量為w噸，
由（2）知，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，
∵﹣0.1＜0，拋物線對稱軸為直線x＝7.5，而x為整數(shù)，
∴當(dāng)x＝7或8時，w取最大值，最大值為7.6，
答：①號田和②號田總年產(chǎn)量在2023年或2024年最大，最大是7.6噸．
【變式5-3】（2021?大慶）如圖①是甲，乙兩個圓柱形水槽的橫截面示意圖，乙槽中有一圓柱形實心鐵塊立放其中（圓柱形實心鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上），現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲，乙兩個水槽中水的深度y（cm）與注水時間x（min）之間的關(guān)系如圖②所示，根據(jù)圖象解答下列問題：
（1）圖②中折線EDC表示 乙 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系；線段AB表示 甲 槽中水的深度與注水時間之間的關(guān)系；鐵塊的高度為 16 cm．
（2）注水多長時間，甲、乙兩個水槽中水的深度相同？（請寫出必要的計算過程）
【解答】解：（1）由題意可知，乙槽在注入水的過程中，由于有圓柱鐵塊在內(nèi)，所以水的高度出現(xiàn)變化，
∴EDC表示的是乙槽的水深與注水時間的關(guān)系；
∵甲槽的水是勻速外倒，
∴線段AB表示甲槽水深與注水時間的關(guān)系；
折線EDC中，在D點表示乙槽水深16cm，也就是鐵塊的高度16cm；
故答案為：乙，甲，16；
（2）由圖象可知，兩個水槽深度相同時，線段ED與線段AB相交，
設(shè)AB的解析式為y＝kx+b，
將點（0，14），（7，0）代入，
得解得，，
∴y＝﹣2x+14；
設(shè)ED的解析式為y＝mx+n，
將點（0，4），（4，16）代入，
得，解得，
∴y＝3x+4；
聯(lián)立方程組，
∴，
∴注水2分鐘，甲、乙兩個水槽的水深度相同．
【變式5-4】（2022秋?河口區(qū)期末）隨著春節(jié)臨近，某兒童游樂場推出了甲、乙兩種消費卡，設(shè)消費次數(shù)為x時，所需費用為y元，且y與x的函數(shù)關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖中信息，解答下列問題；
（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求出B點坐標(biāo)．
（3）洋洋爸爸準(zhǔn)備240元錢用于洋洋在該游樂場消費，請問選擇哪種消費卡劃算？
【解答】解：（1）設(shè)y甲＝k1x，
根據(jù)題意得5k1＝100，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
設(shè)y乙＝k2x+100，
根據(jù)題意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，
∴y乙＝10x+100；
（2）解方程組，得，
∴B點坐標(biāo)為（10，200）；
（3）甲：20x＝240，解得x＝12，即甲種消費卡可玩12次；
乙：10x+100＝240，解得x＝14，即乙種消費卡可玩14次；
14＞12，
∴洋洋爸爸準(zhǔn)備240元錢用于洋洋在該游樂場消費，選擇乙種消費卡劃算．
【變式5-5】（2021?陜西）在一次機(jī)器“貓”抓機(jī)器“鼠”的展演測試中，“鼠”先從起點出發(fā)，1min后，“貓”從同一起點出發(fā)去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“貓”抓著“鼠”沿原路返回．“鼠”、“貓”距起點的距離y（m）與時間x（min）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）在“貓”追“鼠”的過程中，“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是 1 m/min；
（2）求AB的函數(shù)表達(dá)式；
（3）求“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間．
【解答】解：（1）由圖象知：“鼠”6min跑了30m，
∴“鼠”的速度為：30÷6＝5（m/min），
“貓”5min跑了30m，
∴“貓”的速度為：30÷5＝6（m/min），
∴“貓”的平均速度與“鼠”的平均速度的差是1（m/min），
故答案為：1；
（2）設(shè)AB的解析式為：y＝kx+b，
∵圖象經(jīng)過A（7，30）和B（10，18），
把點A和點B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得：
，
解得：，
∴AB的解析式為：y＝﹣4x+58；
（3）令y＝0，則﹣4x+58＝0，
∴x＝14.5，
∵“貓”比“鼠”遲一分鐘出發(fā)，
∴“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間為14.5﹣1＝13.5（min）．
答：“貓”從起點出發(fā)到返回至起點所用的時間為13.5min．
【變式5-6】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）洋洋和妮妮分別從學(xué)校和公園同時出發(fā)，沿同一條路相向而行．洋洋開始跑步中途改為步行，到達(dá)公園恰好用了30min．妮妮騎單車以300m/min的速度直接回學(xué)校．兩人離學(xué)校的路程y（m）與各自離開出發(fā)地的時間x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示．
（1）學(xué)校與公園之間的路程為 4000 m，洋洋步行的速度為 100 m/min；
（2）求妮妮離學(xué)校的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）求兩人相遇的時間．
【解答】解：（1）結(jié)合題意和圖象可知，線段CD為妮妮路程與時間函數(shù)圖象，折線O﹣A﹣B為洋洋的路程與時間圖象，
則學(xué)校與公園之間的路程為4000米，洋洋步行的速度＝＝100m/min，
故答案為：4000，100；
（2）妮妮騎自行車從公園回學(xué)校所需時間為4000÷300＝（分鐘），
∴妮妮離學(xué)校的路程y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝4000﹣300x（0≤x≤）；
（3）當(dāng)x＝10時，妮妮離學(xué)校的路程y＝4000﹣300x＝4000﹣300×10＝1000（米），
由圖可知x＝10時，洋洋離學(xué)校的路程是2000米，
∴兩人相遇是在洋洋慢跑途中，
由4000﹣300x＝x得：x＝8，
∴兩人相遇的時間為8min．
運動鞋
價格
甲
乙
進(jìn)價（元/雙）
m
m﹣20
售價（元/雙）
240
160
第x天
1
2
…
6
…
11
…
15
供應(yīng)量y1（個）
150
150+m
…
150+5m
…
150+10m
…
150+14m
需求量y2（個）
220
229
…
245
…
220
…
164
運動時間t/s
0
1
2
3
4
運動速度v/cm/s
10
9.5
9
8.5
8
運動距離y/cm
0
9.75
19
27.75
36
購票方式
甲
乙
丙
可游玩景點
A
B
A和B
門票價格
100元/人
80元/人
160元/人

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