【典例分析】
【類型一：與動點有關的計算】
1．（2021?即墨區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD的邊長為3，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是（ ）
A．3B．1.5C．3D．
2．（2020?潮南區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（ ）
A．10B．9C．8D．6
3．（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，AC＝6，BD＝6，點P是AC上一動點，點E是AB的中點，則PD+PE的最小值為（ ）
A．3B．6C．3D．6
4．（2022?赤峰）如圖，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標軸上．∠ABC＝120°，點A（﹣3，0），點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．2D．
5．（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
6．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（ ）
A．B．C．﹣D．﹣2
7．（鄂爾多斯）如圖，直線y＝﹣x+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P為線段OA上的動點，連接BP，過點A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當點P從點O運動到點A時，則點M運動路徑的長為 ．
8．（2022?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∠ADC的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則△PEF的周長最小值為 ．
9．（2020?廣西）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠C＝60°，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的動點，且AE＝DF，DE與BF交于點P．當點E從點A運動到點B時，則點P的運動路徑長為 ．
10．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為 ．
【類型二：與折疊有關的計算】
11．（2020?青島）如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF，EF與AC交于點O．若AE＝5，BF＝3，則AO的長為（ ）
A．B．C．2D．4
12．如圖，在△ABC紙片中，∠B＝30°，AB＝AC＝，點D在AB上運動，將紙片沿CD折疊，得到點B的對應點B′（D在A點時，點D的對應點是本身），則折疊過程對應點B′的路徑長是（ ）
A．3B．6C．πD．2π
13．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點F，則cs∠ADF的值為（ ）
A．B．C．D．
14．（2022?畢節(jié)市）矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB＝4，BC＝6，則CF的長是（ ）
A．3B．C．D．
15．（2022?湖州）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FHD．GF⊥BC
16．（2021?天津）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，點A，B的對應點分別為D，E，連接AD．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結論一定正確的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CDC．DE+DC＝BCD．AB∥CD
17．（2022?濱州）正方形ABCD的對角線相交于點O（如圖1），如果∠BOC繞點O按順時針方向旋轉，其兩邊分別與邊AB、BC相交于點E、F（如圖2），連接EF，那么在點E由B到A的過程中，線段EF的中點G經(jīng)過的路線是（ ）
A．線段B．圓弧C．折線D．波浪線
18．（2022?眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點C逆時針旋轉90°至△HBC，點D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點G，延長HE與CD的延長線交于點F，HB＝2，HG＝3．以下結論：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD?CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
19．（2022?單縣一模）如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G，則△EBG的周長是 cm．
20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點P在CD邊上，聯(lián)結AP．如果將△ADP沿直線AP翻折，點D恰好落在線段BC上，那么的值為 ．
21．（2022?銅仁市）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP∥EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為 ．
【類型三：與旋轉有關的計算】
22．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，將繞點A逆時針旋轉90°后得到，則在該旋轉過程中，點P的運動路徑長是（ ）
A．πB．πC．2πD．2π
23．（2022?遼寧）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為 ．
24．（2022?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為 ．
【類型一：與圖形構造有關的計算】
25．（2022?安順模擬）如圖，點A為等邊三角形BCD外一點，連接AB、AD且AB＝AD，過點A作AE∥CD分別交BC、BD于點E、F，若3BD＝4AE，EF＝5，則線段AE的長 ．
26．（2021?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，點E是對角線AC上一點，過點E作AC的垂線，交邊AD于點P，交邊BC于點Q，連接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，則PC+AQ的最小值為 ．
27．（2022?碑林區(qū)校級四模）如圖，在四邊形ABCD中，CD＝1，AB＝2BC＝，且∠ABC+∠BCD＝225°，則四邊形ABCD周長的最大值為 ．
28．如圖，a＝45°，BE＝CD，BD＝4，CE＝4，∠BFD＝60°，CD
沖刺中考數(shù)學壓軸之滿分集訓
專題03 幾何圖形中的有關計算（四大類）
【典例分析】
【類型一：與動點有關的計算】
1．（2021?即墨區(qū)校級二模）如圖，正方形ABCD的邊長為3，∠DAC的平分線交DC于點E，若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ+PQ的最小值是（ ）
A．3B．1.5C．3D．
【答案】D
【解答】解：如圖，在AC上取AD'＝AD＝3，作D'P⊥AD于P，交AE于Q．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAQ＝∠D'AQ，
∴△DAQ≌△D'AQ（SAS），
∴DQ＝D'Q，
∴DQ+PQ＝D'Q+PQ≥D'P，
∴D'P＝AP＝AD'＝，
故選：D．
2．（2020?潮南區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（ ）
A．10B．9C．8D．6
【答案】B
【解答】解：連接AD，AM，
∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴AM＝CM，
當點M在AD上時，DM+CM最小，最小值為AD，
∴△CDM的周長最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．
故選：B．
3．（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，AC＝6，BD＝6，點P是AC上一動點，點E是AB的中點，則PD+PE的最小值為（ ）
A．3B．6C．3D．6
【答案】A
【解答】解：如圖，連接DE，
在△DPE中，DP+PE＞DE，
∴當點P在DE上時，PD+PE的最小值為DE的長，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，
∴tan∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∵點E是AB的中點，
∴DE⊥AB，
∵sin∠ABD＝，
∴＝，
∴DE＝3，
故選：A．
4．（2022?赤峰）如圖，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標軸上．∠ABC＝120°，點A（﹣3，0），點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（ ）
A．3B．5C．2D．
【答案】A
【解答】解：根據(jù)題意得，E點關于x軸的對稱點是BC的中點E'，連接DE'交AC與點P，此時PD+PE有最小值為DE'，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴DE'＝OC＝3，
即PD+PE的最小值是3，
故選：A．
5．（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（ ）
A．2B．C．1.5D．
【答案】A
【解答】解：如圖，取AB的中點T，連接PT，F(xiàn)T．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四邊形ADFT是平行四邊形，
∴AD＝FT＝2，
∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T關于AC對稱，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值為2．
故選：A．
6．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（ ）
A．B．C．﹣D．﹣2
【答案】D
【解答】解：如圖，取AD的中點O，連接OB，OM．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴點M在以O為圓心，2為半徑的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值為﹣2．
故選：D．
7．（鄂爾多斯）如圖，直線y＝﹣x+4與兩坐標軸交A、B兩點，點P為線段OA上的動點，連接BP，過點A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當點P從點O運動到點A時，則點M運動路徑的長為 ．
【答案】
【解答】解：∵AM垂直于直線BP，
∴∠BMA＝90°，
∴點M的路徑是以AB的中點N為圓心，AB長的一半為半徑的，
連接ON，
∵直線y＝﹣x+4與兩坐標軸交A、B兩點，
∴OA＝OB＝4，
∴ON⊥AB，
∴∠ONA＝90°，
∵AB＝＝4，
∴ON＝2，
∴＝?2＝．
故答案為：π．
8．（2022?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點，∠ADC的平分線交AB于點G，點P是線段DG上的一個動點，則△PEF的周長最小值為 ．
【答案】
【解答】解：如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過點T作TH⊥AB于點H．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADT＝90°，
∵∠AHT＝90°，
∴四邊形AHTD是矩形，
∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，
∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，
∴FT＝＝＝，
∵DG平分∠ADC，DE＝DT，
∴E、T關于DG對稱，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，
∵EF＝＝＝5，
∴△EFP的周長的最小值為5+，
故答案為：5+．
9．（2020?廣西）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠C＝60°，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的動點，且AE＝DF，DE與BF交于點P．當點E從點A運動到點B時，則點P的運動路徑長為 ．
【答案】π
【解答】解：如圖，作△CBD的外接圓⊙O，連接OB，OD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，
∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，
∵DF＝AE，
∴△BDF≌△DAE（SAS），
∴∠DBF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠BDE＝60°，
∴∠DBF+∠BDP＝60°，
∴∠BPD＝120°，
∵∠C＝60°，
∴∠C+∠DPB＝180°，
∴B，C，D，P四點共圓，
由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，
∵∠BOD＝2∠C＝120°，
∴點P的運動的路徑的長＝＝π．
故答案為π．
10．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點．連接DE和AF交于點G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為 ．
【答案】﹣1
【解答】解：如圖，取AD的中點T，連接BT，GT，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠EDA+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵DT＝AT，
∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，
∴BG≥BT﹣GT，
∴BG≥﹣1，
∴BG的最小值為﹣1．
故答案為：﹣1．
【類型二：與折疊有關的計算】
11．（2020?青島）如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF，EF與AC交于點O．若AE＝5，BF＝3，則AO的長為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∴∠EFC＝∠AEF，
由折疊得，∠EFC＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∴AE＝AF＝5，
由折疊得，
FC＝AF，OA＝OC，
∴BC＝3+5＝8，
在Rt△ABF中，AB＝＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝4，
∴OA＝OC＝2，
故選：C．
12．如圖，在△ABC紙片中，∠B＝30°，AB＝AC＝，點D在AB上運動，將紙片沿CD折疊，得到點B的對應點B′（D在A點時，點D的對應點是本身），則折疊過程對應點B′的路徑長是（ ）
A．3B．6C．πD．2π
【答案】C
【解答】解：過點A作AE⊥BC于點E，
∵∠B＝30°，AB＝AC＝，
∴BE＝ABcs∠B＝，
∴BC＝2BE＝3，
由折疊的性質(zhì)可得：∠BCB''＝2∠ACB＝60°，
∴B′的路徑長＝＝π．
故選：C．
13．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點F，則cs∠ADF的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
設BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cs∠ADF＝，
故選：C．
14．（2022?畢節(jié)市）矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB＝4，BC＝6，則CF的長是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解答】解：連接BF，交AE于O點，
∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，
∴BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，
∵點E為BC的中點，
∴BE＝CE＝EF＝3，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴AE∥CF，
∴∠BFC＝∠BOE＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，
∴BO＝＝，
∴BF＝2BO＝，
在Rt△BCF中，由勾股定理得，
CF＝＝＝，
故選：D．
15．（2022?湖州）如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，AB＝6，BC＝8，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結GF．則下列結論不正確的是（ ）
A．BD＝10B．HG＝2C．EG∥FHD．GF⊥BC
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
故A選項不符合題意；
∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，
∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，
∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，
故B選項不符合題意；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，
∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，
∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，
∴EG∥FH．
故C選項不符合題意；
∵GH＝2，
∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，
設FC＝HF＝x，則BF＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴CF＝3，
∴，
又∵，
∴，
若GF⊥BC，則GF∥CD，
∴，
故D選項符合題意．
故選：D．
16．（2021?天津）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，將△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，點A，B的對應點分別為D，E，連接AD．當點A，D，E在同一條直線上時，下列結論一定正確的是（ ）
A．∠ABC＝∠ADC B．CB＝CDC．DE+DC＝BCD．AB∥CD
【答案】D
【解答】解：由旋轉的性質(zhì)得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵點A，D，E在同一條直線上，
∴∠ADC＝60°，
∴△ADC為等邊三角形，
∴∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝60°＝∠ADC，
∴AB∥CD，
故選：D．
17．（2022?濱州）正方形ABCD的對角線相交于點O（如圖1），如果∠BOC繞點O按順時針方向旋轉，其兩邊分別與邊AB、BC相交于點E、F（如圖2），連接EF，那么在點E由B到A的過程中，線段EF的中點G經(jīng)過的路線是（ ）
A．線段B．圓弧C．折線D．波浪線
【答案】A
【解答】解：建立如圖平面直角坐標系，設正方形ABCD的邊長為1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
設AE＝BF＝a，則F（a，0），E（0，1﹣a），
∵EG＝FG，
∴G（a，﹣a），
∴點G在直線y＝﹣x+上運動，
∴點G的運動軌跡是線段，
故選：A．
18．（2022?眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點C逆時針旋轉90°至△HBC，點D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點G，延長HE與CD的延長線交于點F，HB＝2，HG＝3．以下結論：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD?CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正確結論的個數(shù)為（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【解答】解：∵△EDC旋轉得到△HBC，
∴∠EDC＝∠HBC，
∵ABCD為正方形，D，B，H在同一直線上，
∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDC＝135°，故①正確；
∵△EDC旋轉得到△HBC，
∴EC＝HC，∠ECH＝90°，
∴∠HEC＝45°，
∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，
∵∠ECD＝∠ECF，
∴△EFC∽△DEC，
∴，
∴EC2＝CD?CF，故②正確；
設正方形邊長為a，
∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，
∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，
∵∠GBH＝∠EDC＝135°，
∴△GBH∽△EDC，
∴，即，
∵△HEC是等腰直角三角形，
∴，
∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，
∴△HBG∽△HDF，
∴，即，解得：EF＝3，
∵HG＝3，
∴HG＝EF，故③正確；
過點E作EM⊥FD交FD于點M，
∴∠EDM＝45°，
∵ED＝HB＝2，
∴，
∵EF＝3，
∴，
∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，
∴∠DEC＝∠EFC，
∴，故④正確
綜上所述：正確結論有4個，
故選：D．
19．（2022?單縣一模）如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在AB邊的中點E處，折痕為FH，點C落在Q處，EQ與BC交于點G，則△EBG的周長是 cm．
【答案】16
【解答】解：設EF＝x，
∵EF＝DF，
∴DF＝x，
則AF＝8﹣x；而AE＝4，
由勾股定理得：
x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5；
AF＝8﹣5＝3；
由題意得：
∠GEF＝∠D＝90°，∠A＝∠B＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠BEG，
∴∠AFE＝∠BEG；
∴△AEF∽△BGE，
∴＝＝，
∴EG＝＝，BG＝＝，
∴△EBG的周長＝++4＝16．
故答案為16．
20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點P在CD邊上，聯(lián)結AP．如果將△ADP沿直線AP翻折，點D恰好落在線段BC上，那么的值為 ．
【答案】
【解答】解：如圖：
∵將△ADP沿直線AP翻折，點D恰好落在線段BC上的D'，
∴AD'＝AD＝5，PD＝PD'，∠AD'P＝∠D＝90°，
在Rt△ABD'中，BD'＝＝＝4，
∴CD'＝BC﹣BD'＝5﹣4＝1，
設CP＝x，則PD＝PD'＝3﹣x，
在Rt△CPD'中，CD'2+CP2＝PD'2，
∴12+x2＝（3﹣x）2，
解得x＝，
∴CP＝，PD＝，
∴S△ADP＝AD?PD＝×5×＝，
S四邊形ABCP＝S矩形ABCD﹣S△ADP＝3×5﹣＝，
∴＝＝，
故答案為：．
21．（2022?銅仁市）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E為AD的中點，將△CDE沿CE翻折得△CME，點M落在四邊形ABCE內(nèi)．點N為線段CE上的動點，過點N作NP∥EM交MC于點P，則MN+NP的最小值為 ．
【答案】
【解答】解：作點P關于CE的對稱點P′，
由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，
∴點P′在CD上，
過點M作MF⊥CD于F，交CE于點G，
∵MN+NP＝MN+NP′≥MF，
∴MN+NP的最小值為MF的長，
連接DG，DM，
由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，
∵AD＝CD＝2，DE＝1，
∴CE＝＝，
∵CE×DO＝CD×DE，
∴DO＝，
∴EO＝，
∵MF⊥CD，∠EDC＝90°，
∴DE∥MF，
∴∠EDO＝∠GMO，
∵CE為線段DM的垂直平分線，
∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，
∴△DOE≌△MOG，
∴DE＝GM，
∴四邊形DEMG為平行四邊形，
∵∠MOG＝90°，
∴四邊形DEMG為菱形，
∴EG＝2OE＝，GM＝DE＝1，
∴CG＝，
∵DE∥MF，即DE∥GF，
∴△CFG∽△CDE，
∴，即，
∴FG＝，
∴MF＝1+＝，
∴MN+NP的最小值為；
方法二：同理方法一得出MN+NP的最小值為MF的長，DO＝，
∴OC＝＝，DM＝2DO＝，
∵S△CDM＝DM?OC＝CD?MF，
即×＝2×MF，
∴MF＝，
∴MN+NP的最小值為；
故答案為：
【類型三：與旋轉有關的計算】
22．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，將繞點A逆時針旋轉90°后得到，則在該旋轉過程中，點P的運動路徑長是（ ）
A．πB．πC．2πD．2π
【答案】B
【解答】解：如圖，設的圓心為O，連接OP，OA，AP'，AP，AB'
∵圓O半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，
根據(jù)垂徑定理，得
AC＝AB＝4，PO⊥AB，
OC＝＝3，
∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，
∴AP＝＝2，
∵將繞點A逆時針旋轉90°后得到，
∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，
∴LPP′＝＝π．
則在該旋轉過程中，點P的運動路徑長是π．
故選：B．
23．（2022?遼寧）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，點E是OD的中點，連接CE并延長交AD于點G，將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，連接EF，點H為EF的中點．連接OH，則的值為 ．
【答案】
【解答】解：以O為原點，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標系，過E作EM⊥CD于M，過F作FN⊥DC，交DC延長線于N，如圖：
設正方形ABCD的邊長為2，則C（1，1），D（﹣1，1），
∵E為OD中點，
∴E（﹣，），
設直線CE解析式為y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：
，
解得，
∴直線CE解析式為y＝x+，
在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，
∴G（﹣1，），
∴GE＝＝，
∵將線段CE繞點C逆時針旋轉90°得到CF，
∴CE＝CF，∠ECF＝90°，
∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，
∵∠EMC＝∠CNF＝90°，
∴△EMC≌△CNF（AAS），
∴ME＝CN，CM＝NF，
∵E（﹣，），C（1，1），
∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，
∴F（，﹣），
∵H是EF中點，
∴H（，0），
∴OH＝，
∴＝＝．
故答案為：．
24．（2022?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點，點E是正方形內(nèi)一個動點，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為 ．
【答案】2﹣2
【解答】解：連接DG，將DG繞點D逆時針旋轉90°得DM，連接MG，CM，MF，
作MH⊥CD于H，
∵∠EDF＝∠GDM，
∴∠EDG＝∠FDM，
∵DE＝DF，DG＝DM，
∴△EDG≌△MDF（SAS），
∴MF＝EG＝2，
∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，
∴△DGC≌△MDH（AAS），
∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，
∴CM＝＝2，
∵CF≥CM﹣MF，
∴CF的最小值為2﹣2，
故答案為：2﹣2．
【類型一：與圖形構造有關的計算】
25．（2022?安順模擬）如圖，點A為等邊三角形BCD外一點，連接AB、AD且AB＝AD，過點A作AE∥CD分別交BC、BD于點E、F，若3BD＝4AE，EF＝5，則線段AE的長 ．
【答案】15
【解答】解：方法一：如圖，過點A作BC平行線AG交DC于點G，
∵AE∥CD，
∴四邊形AECG是平行四邊形，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵△BCD是等邊三角形，
∴∠DBC＝∠BDC＝60°，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠C，
∵AG∥BC，
∴∠AGD＝∠C，
∴∠AEB＝∠AGD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△AEB≌△AGD（AAS），
∴AE＝AG，
∴四邊形AECG是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠AEB＝∠BCD＝60°，
∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE＝BF＝EF＝5，
∵3BD＝4AE，
∴＝，
設BD＝4x，則AE＝3x，
∵△BCD是等邊三角形，
∴BC＝CD＝BD＝4x，
∴CE＝BC﹣BE＝4x﹣5，
∴4x﹣5＝3x，
解得x＝5，
∴AE＝3x＝15，
方法二：如圖，連接AC交BD于點O，
∵3BD＝4AE，
∴＝，
設BD＝4x，則AE＝3x，
∵△BCD是等邊三角形，
∴BC＝CD＝BD＝4x，∠DCB＝∠DBC＝60°，
∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AC是BD的垂直平分線，
∴OB＝OD＝2x，OC平分∠BCD，
∴∠DCO＝DCB＝30°，
∵AE∥CD，
∴∠DCO＝30°，
∴OC＝＝＝2x，
∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD＝60°，
∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE＝BF＝EF＝5，
∴OF＝OB﹣BF＝2x﹣5，AF＝AE﹣EF＝3x﹣5，
∵∠AOF＝∠COD，∠OAF＝∠OCD，
∴△AOF∽△COD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝5，x＝0（舍去），
∴AE＝AF+EF＝3x﹣5+5＝3x＝15．
故答案為：15．
26．（2021?碑林區(qū)校級模擬）如圖，在?ABCD中，點E是對角線AC上一點，過點E作AC的垂線，交邊AD于點P，交邊BC于點Q，連接PC、AQ，若AC＝6，PQ＝4，則PC+AQ的最小值為 ．
【答案】2
【解答】解：過點A作AM∥PQ且AM＝PQ，連接MP，
∵AM∥PQ且AM＝PQ，
∴四邊形AQPM是平行四邊形，
∴AQ＝MP，
PC+AQ的最小值轉化為MP+CP的最小值，
當M、P、C三點共線時，MP+CP的最小，
∵AM∥PQ，AC⊥PQ，
∴AM⊥AC，
在Rt△MAC中，MC＝＝＝2．
故答案為：2．
27．（2022?碑林區(qū)校級四模）如圖，在四邊形ABCD中，CD＝1，AB＝2BC＝，且∠ABC+∠BCD＝225°，則四邊形ABCD周長的最大值為 ．
【答案】2+2
【解答】解：如圖，延長AB、DC交于點E，過點B作BF∥CD，截取BF＝CD＝1，過點F作FG⊥AB于點G，連接AF，則四邊形BCDF為平行四邊形，
∵∠ABC+∠BCD＝225°，∠EBC+∠ABC+∠ECB+∠BCD＝360°，
∴∠EBC+∠ECB＝135°，
∴∠E＝180°﹣135°＝45°，
∵BF∥CD，
∴∠GBF＝∠E＝45°，
∵BF＝CD＝1，F(xiàn)G⊥AB，
∴BG＝FG＝，
∵AB＝2BC＝，
∴AG＝AB﹣BG＝﹣＝，BC＝，
∴AF＝＝＝1，
∵四邊形BCDF為平行四邊形，
∴FD＝BC＝，
∴AB+BC+CD+AD＝++1+AD，
∵AD≤AF+FD＝1+，
∴四邊形ABCD周長的最大值為++1+1+＝2+2，
故答案為：2+2．
28．如圖，a＝45°，BE＝CD，BD＝4，CE＝4，∠BFD＝60°，CD
【答案】4
【解答】解：如圖，分別過D、E作AC、CD的平行線相交于點N，則四邊形CDNE是平行四邊形，過點N作NH⊥AB于H，
∴∠BEN＝∠BFD＝60°，且BE＝CD＝EN，
∴△BEN是等邊三角形，
∴BN＝BE＝CD，
∵AC∥DN，
∴∠A＝∠ADN＝45°，
∴△HDN是等腰直角三角形，
∵DN＝CE＝4，
∴HN＝4，DH＝4，
在Rt△NBH中，BH＝8，NH＝4，
∴BN＝＝＝4，
∴CD＝4．

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