2023年中考數(shù)學(xué)壓軸真題匯編(全國通用)【壓軸之滿分集訓(xùn)】專題06?？紤?yīng)用綜合-最值、最優(yōu)方案問題(五大類型)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【典例分析】
【類型一：方程（組）+不等式（組）】
【典例1】（2021?呼和浩特）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時(shí)”活動(dòng)．去年學(xué)校通過采購平臺(tái)在某體育用品店購買A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個(gè)足球的售價(jià)，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個(gè)，已知該店對每個(gè)足球的售價(jià)，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購買多少個(gè)B品牌足球？
【變式1-1】（2023?市南區(qū)一模）2020年臘月，某商家根據(jù)天氣預(yù)報(bào)預(yù)測羽絨服將暢銷，就用26400元采購了一批羽絨服，后來羽絨服供不應(yīng)求．商家又用57600元購進(jìn)了一批同樣的羽絨服，第二次所購數(shù)量是第一次所購數(shù)量的2倍，第二次購進(jìn)的單價(jià)比第一次購進(jìn)的單價(jià)貴了10元．
（1）該商家第一次購進(jìn)的羽絨服有多少件？
（2）若兩次購進(jìn)的羽絨服銷售時(shí)標(biāo)價(jià)都相同，最后剩下50件按6折優(yōu)惠賣出，若兩批羽絨服全部售完后利潤率不低于25%（不考慮其他因素），則每件羽絨服的標(biāo)價(jià)至少為多少元？
【變式1-2】（2022?菏澤）某健身器材店計(jì)劃購買一批籃球和排球，已知每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3600元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè)．
（1）籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元？
（2）該健身器材店決定用不多于28000元購進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷售，最多可以購買多少個(gè)籃球？
【變式1-3】（2021?煙臺(tái)）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．
（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？
（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？
【類型二：方程（組）+不等式（組）——一次函數(shù)模型】
【典例2】（2022?濟(jì)南）為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元．
（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？
（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍．則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？請說明理由．
【變式2-1】（2022?桐梓縣模擬）某社會(huì)團(tuán)體準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種防護(hù)服捐給一線抗疫人員，經(jīng)了解，購進(jìn)5件甲種防護(hù)服和4件乙種防護(hù)服需要2萬元，購進(jìn)10件甲種防護(hù)服和3件乙種防護(hù)服需要3萬元．
（1）甲種防護(hù)服和乙種防護(hù)服每件各多少元？
（2）實(shí)際購買時(shí)，發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案，方案一：購買甲種防護(hù)服超過20件時(shí)，超過的部分按原價(jià)的8折付款，乙種防護(hù)服沒有優(yōu)惠；方案二：兩種防護(hù)服都按原價(jià)的9折付款，該社會(huì)團(tuán)體決定購買x（x＞20）件甲種防護(hù)服和30件乙種防護(hù)服．
①求兩種方案的費(fèi)用y與件數(shù)x的函數(shù)解析式；
②請你幫該社會(huì)團(tuán)體決定選擇哪種方案更合算．
【變式2-2】（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元．
（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？
（2）若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．
【變式2-3】（2022?天津模擬）抗疫期間，社會(huì)各界眾志成城，某乳品公司向疫區(qū)捐獻(xiàn)牛奶，若由鐵路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.58元；若由公路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.28元，并且還需其他費(fèi)用600元．
（1）若該公司運(yùn)輸?shù)谝慌Ｄ坦灿?jì)8000千克，分別由鐵路和公路運(yùn)輸，費(fèi)用共計(jì)4340元，請問鐵路和公路各運(yùn)輸了多少千克牛奶？
（2）設(shè)該公司運(yùn)輸?shù)诙Ｄ蘹（千克），選擇鐵路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用為y1（元），選擇公路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用y2（元），請分別寫出y1（元），y2（元）與x（千克）之間的關(guān)系式；
（3）運(yùn)輸?shù)诙Ｄ虝r(shí)公司決定只選擇一種運(yùn)輸方式，請問隨著x（千克）的變化，怎樣選擇運(yùn)輸方式所需費(fèi)用較少？
【變式2-4】（2021?銅仁市）某快遞公司為了提高工作效率，計(jì)劃購買A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比每臺(tái)B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，并且3臺(tái)A型機(jī)器人和2臺(tái)B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．
（1）求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
（2）每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)3萬元，每臺(tái)B型機(jī)器人售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人共20臺(tái)，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機(jī)器人分別采購多少臺(tái)時(shí)，所需費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？
【變式2-5】（2021?恩施州）“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟(jì)更具活力，直播助銷就是運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生機(jī)勃勃的銷售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠(yuǎn)銷全國各地．甲為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷．已知每千克花生的售價(jià)比每千克茶葉的售價(jià)低40元，銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價(jià)相同．
（1）求每千克花生、茶葉的售價(jià)；
（2）已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計(jì)劃兩種產(chǎn)品共助銷60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍．則花生、茶葉各銷售多少千克可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【變式2-6】“桂花糕”是中國特色傳統(tǒng)小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜為原料制作而成，歷史悠久，種類多樣．小李在某糕點(diǎn)生產(chǎn)廠家選中A，B兩款不同包裝的“桂花糕”，決定從該廠家進(jìn)貨并銷售．兩款“桂花糕”的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：
（1）若小李用2000元購進(jìn)了A，B兩款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”購進(jìn)了35盒，求B款“桂花糕”購進(jìn)多少盒？
（2）若小李計(jì)劃A款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量不超過B款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量的一半，且計(jì)劃購進(jìn)兩款“桂花糕”共60盒，小李應(yīng)該如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【類型三：方程（組）+不等式（組）——二次函數(shù)模型】
【典例3】（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
【變式3-1】（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）隨著我國經(jīng)濟(jì)、科技的進(jìn)一步發(fā)展，我國的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化程度越來越高，過去的包產(chǎn)到戶就不太適合機(jī)械化的種植，現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉(zhuǎn)租給種糧大戶或者新型農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社里的工人，這樣更有利于機(jī)械化種植．某地某種糧大戶，去年種植優(yōu)質(zhì)水稻200畝，平均每畝收益480元．計(jì)劃今年多承包一些土地，已知每增加一畝，每畝平均收益比去年每畝平均收益減少2元．
（1）該大戶今年應(yīng)承租多少畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元？
（2）該大戶今年應(yīng)承租多少畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是多少？
【變式3-2】某文具店最近有A，B兩款紀(jì)念冊比較暢銷．該店購進(jìn)A款紀(jì)念冊5本和B款紀(jì)念冊4本共需156元，購進(jìn)A款紀(jì)念冊3本和B款紀(jì)念冊5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊售價(jià)為32元/本時(shí)，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀(jì)念冊售價(jià)為22元/本時(shí)，每天的銷售量為80本，B款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價(jià)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）求A，B兩款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價(jià)分別為多少元；
（2）該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊的利潤，同時(shí)提高每本B款紀(jì)念冊的利潤，且這兩款紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊每本降價(jià)m元；
①直接寫出B款紀(jì)念冊每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)A款紀(jì)念冊售價(jià)為多少元時(shí)，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？
【變式3-3】（2022秋?中原區(qū)校級(jí)期中）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念“二十大”的鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）
（1）網(wǎng)店第一次用8500元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共300件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購進(jìn)的兩款鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共800件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于22000元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
（3）“二十大”臨近結(jié)束時(shí)，B款鑰匙扣還有大量剩余，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？
【變式3-4】（2020?鄂州）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；
（2）在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價(jià)分別為多少元？
（3）抗疫期間，該商場這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí)，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（1≤m≤6），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大．請直接寫出m的取值范圍．
【類型四：確定取值范圍】
【典例4】（2022?新昌縣二模）如圖，是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時(shí)，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計(jì)）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為x（cm），單層部分的長度為y（cm）．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)伸，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（不必寫出自變量取值范圍）
（2）設(shè)背帶的長度為L（cm），即L＝x+y．
①按小文的身高和習(xí)慣，L＝130（cm）時(shí)為最佳背帶長度．請計(jì)算此時(shí)雙層部分的長度．
②求L的取值范圍．
【變式4-1】（2021?衡陽）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時(shí)，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計(jì)）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為xcm，單層部分的長度為ycm．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長度調(diào)為130cm時(shí)為最佳背帶長．請計(jì)算此時(shí)雙層部分的長度；
（3）設(shè)背帶長度為Lcm，求L的取值范圍．
【變式4-2】（2021?十堰）某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/kg，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價(jià)y（元/kg）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝，且日銷量m（kg）與時(shí)間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如下表：
（1）填空：m與x的函數(shù)關(guān)系為；
（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前20天中，公司決定每銷售1kg商品就捐贈(zèng)n元利潤（n＜4）給當(dāng)?shù)馗＠?，后發(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間x的增大而增大，求n的取值范圍．
【變式4-3】（2022?黃岡模擬）某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/千克，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價(jià)y（元/千克）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝，且x為整數(shù)，且日銷量m（千克）與時(shí)間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如表：
（1）求m與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，最大日銷售利潤是多少？
（3）求：在未來40天中，有多少天銷售利潤不低于1550元？
【變式4-4】（2021?河北）如圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）一直保持在1號(hào)機(jī)P的正下方．2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過1min到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達(dá)C（10，3）處．
（1）求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號(hào)機(jī)的爬升速度；
（2）求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）通過計(jì)算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長是多少．
[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]
【變式4-5】（2021?揚(yáng)州）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：
說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤＝月租車費(fèi)﹣月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤差＝月利潤較高公司的利潤﹣月利潤較低公司的利潤．
在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：
（1）當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤是元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為輛時(shí)，兩公司的月利潤相等；
（2）求兩公司月利潤差的最大值；
（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（a＞0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍．
【類型五：拱形問題】
【典例5】（2022?陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE＝10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m．
（1）求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
【變式5-1】（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AB為4m，寬BC為3m，以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．y軸是拋物線的對稱軸，最高點(diǎn)E到地面距離為4米．
（1）求出拋物線的解析式．
（2）在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？
（3）如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個(gè)方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運(yùn)卡車能否通過該隧道？通過計(jì)算說明你的結(jié)論．
【變式5-2】（2022?諸暨市模擬）如圖1，一個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10米時(shí)，達(dá)到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點(diǎn)O處，草坡上距離O的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹AB，AB垂直水平地面且A點(diǎn)到水平地面的距離為3米．
（1）計(jì)算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地．
（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．
（3）如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點(diǎn)B，那么噴射架應(yīng)向后平移多少米？
【變式5-3】（2022?臺(tái)州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍．
（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請直接寫出h的最小值．
【變式5-4】（2022?豐臺(tái)區(qū)一模）某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米．下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問題：
（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m＝；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
【變式5-5】（2022?六盤水模擬）如圖，籃球場上OF的長為25米，籃球運(yùn)動(dòng)員小明站在左方的點(diǎn)O處向右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作一條拋物線，在距O點(diǎn)4米的B處達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)C距離地面4米；籃球在點(diǎn)D處落地后彈起，彈起后在點(diǎn)E處落地，且彈起后的軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來最大高度的一半．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線ACD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求籃球第二次落地點(diǎn)E與點(diǎn)O之間的距離；
（3）若運(yùn)動(dòng)員小易在點(diǎn)E處拿球前進(jìn)到點(diǎn)G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球出手后的運(yùn)動(dòng)軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃筐中，求EG的長？
類別
價(jià)格
A款
B款
進(jìn)貨價(jià)（元/盒）
40
30
銷售價(jià)（元/盒）
56
45
售價(jià)（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天銷售量（本）
……
80
78
76
74
……
類別
價(jià)格
A款鑰匙扣
B款鑰匙扣
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
30
25
銷售價(jià)（元/件）
45
37
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
雙層部分長度x（cm）
2
8
14
20
單層部分長度y（cm）
148
136
124
112
雙層部分長度x（cm）
2
8
14
20
單層部分長度y（cm）
148
136
124
112
時(shí)間x（天）
1
3
6
10
…
日銷量m（kg）
142
138
132
124
…
時(shí)間x（天）
1
3
6
10
…
日銷量m（千克）
142
138
132
124
…
甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．
乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
沖刺中考數(shù)學(xué)壓軸之滿分集訓(xùn)
專題06 ?？紤?yīng)用綜合-最值、最優(yōu)方案問題（五大類）
【典例分析】
【類型一：方程（組）+不等式（組）】
【典例1】（2021?呼和浩特）為了促進(jìn)學(xué)生加強(qiáng)體育鍛煉，某中學(xué)從去年開始，每周除體育課外，又開展了“足球俱樂部1小時(shí)”活動(dòng)．去年學(xué)校通過采購平臺(tái)在某體育用品店購買A品牌足球共花費(fèi)2880元，B品牌足球共花費(fèi)2400元，且購買A品牌足球數(shù)量是B品牌數(shù)量的1.5倍，每個(gè)足球的售價(jià)，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于參加俱樂部人數(shù)增加，需要從該店再購買A、B兩種足球共50個(gè)，已知該店對每個(gè)足球的售價(jià)，今年進(jìn)行了調(diào)整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年購買A、B兩種足球的總費(fèi)用不超過去年總費(fèi)用的一半，那么學(xué)校最多可購買多少個(gè)B品牌足球？
【解答】解：設(shè)去年A足球售價(jià)為x元/個(gè)，則B足球售價(jià)為（x+12）元/個(gè)．
由題意得：，即，
∴96（x+12）＝120x，
∴x＝48．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝48是原分式方程的解且符合題意．
∴A足球售價(jià)為48元/個(gè)，B足球售價(jià)為60元/個(gè)．
設(shè)今年購進(jìn)B足球的個(gè)數(shù)為a個(gè)，則有：．
∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．
∴3.6a≤120，
∴．
∴最多可購進(jìn)33個(gè)B足球．
【變式1-1】（2023?市南區(qū)一模）2020年臘月，某商家根據(jù)天氣預(yù)報(bào)預(yù)測羽絨服將暢銷，就用26400元采購了一批羽絨服，后來羽絨服供不應(yīng)求．商家又用57600元購進(jìn)了一批同樣的羽絨服，第二次所購數(shù)量是第一次所購數(shù)量的2倍，第二次購進(jìn)的單價(jià)比第一次購進(jìn)的單價(jià)貴了10元．
（1）該商家第一次購進(jìn)的羽絨服有多少件？
（2）若兩次購進(jìn)的羽絨服銷售時(shí)標(biāo)價(jià)都相同，最后剩下50件按6折優(yōu)惠賣出，若兩批羽絨服全部售完后利潤率不低于25%（不考慮其他因素），則每件羽絨服的標(biāo)價(jià)至少為多少元？
【解答】解：（1）設(shè)該商家第一次購進(jìn)的羽絨服有x件，則第二次購進(jìn)的羽絨服有2x件．
由題意得：，
解得x＝240．
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝240是原方程的解．
答：該商家第一次購進(jìn)的羽絨服有240件；
（2）設(shè)每件羽絨服的標(biāo)價(jià)為a元．
由題意得：0.6a×50+（240+240×2﹣50）a﹣（26400+57600）≥（26 400+57 600）×25%，
解得a≥150．
答：每件羽絨服的標(biāo)價(jià)至少為150元．
【變式1-2】（2022?菏澤）某健身器材店計(jì)劃購買一批籃球和排球，已知每個(gè)籃球進(jìn)價(jià)是每個(gè)排球進(jìn)價(jià)的1.5倍，若用3600元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用3200元購進(jìn)排球的數(shù)量少10個(gè)．
（1）籃球、排球的進(jìn)價(jià)分別為每個(gè)多少元？
（2）該健身器材店決定用不多于28000元購進(jìn)籃球和排球共300個(gè)進(jìn)行銷售，最多可以購買多少個(gè)籃球？
【解答】解：（1）設(shè)排球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)x元，則籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)1.5x元，
依題意得：﹣＝10，
解得：x＝80，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝80是方程的解，
1.5x＝1.5×80＝120．
答：籃球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)120元，排球的進(jìn)價(jià)為每個(gè)80元；
（2）設(shè)購買m個(gè)籃球，則購買（300﹣m）個(gè)排球，
依題意得：120m+80（300﹣m）≤28000，
解得：m≤100，
答：最多可以購買100個(gè)籃球．
【變式1-3】（2021?煙臺(tái)）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音上對一款成本價(jià)為40元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件．
（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？
（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價(jià)為每件62.5元．為提高市場競爭力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價(jià)格不超過（1）中的售價(jià)，則該商品至少需打幾折銷售？
【解答】解：（1）設(shè)售價(jià)應(yīng)定為x元，則每件的利潤為（x﹣40）元，日銷售量為20+＝（140﹣2x）件，
依題意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售價(jià)應(yīng)定為50元；
（2）該商品需要打a折銷售，
由題意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：該商品至少需打8折銷售．
【類型二：方程（組）+不等式（組）——一次函數(shù)模型】
【典例2】（2022?濟(jì)南）為增加校園綠化面積，某校計(jì)劃購買甲、乙兩種樹苗．已知購買20棵甲種樹苗和16棵乙種樹苗共花費(fèi)1280元，購買1棵甲種樹苗比1棵乙種樹苗多花費(fèi)10元．
（1）求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格分別是多少元？
（2）若購買甲、乙兩種樹苗共100棵，且購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍．則購買甲、乙兩種樹苗各多少棵時(shí)花費(fèi)最少？請說明理由．
【解答】解：（1）設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是x元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是y元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：甲種樹苗每棵的價(jià)格是40元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是30元；
（2）購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費(fèi)最少，理由如下：
設(shè)購買兩種樹苗共花費(fèi)w元，購買甲種樹苗m棵，則購買乙種樹苗（100﹣m）棵，
∵購買乙種樹苗的數(shù)量不超過甲種樹苗的3倍，
∴100﹣m≤3m，
解得m≥25，
根據(jù)題意：w＝40m+30（100﹣m）＝10m+3000，
∵10＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴m＝25時(shí)，w取最小值，最小值為10×25+3000＝3250（元），
此時(shí)100﹣m＝75，
答：購買甲種樹苗25棵，乙種樹苗75棵，花費(fèi)最少．
【變式2-1】（2022?桐梓縣模擬）某社會(huì)團(tuán)體準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種防護(hù)服捐給一線抗疫人員，經(jīng)了解，購進(jìn)5件甲種防護(hù)服和4件乙種防護(hù)服需要2萬元，購進(jìn)10件甲種防護(hù)服和3件乙種防護(hù)服需要3萬元．
（1）甲種防護(hù)服和乙種防護(hù)服每件各多少元？
（2）實(shí)際購買時(shí)，發(fā)現(xiàn)廠家有兩種優(yōu)惠方案，方案一：購買甲種防護(hù)服超過20件時(shí)，超過的部分按原價(jià)的8折付款，乙種防護(hù)服沒有優(yōu)惠；方案二：兩種防護(hù)服都按原價(jià)的9折付款，該社會(huì)團(tuán)體決定購買x（x＞20）件甲種防護(hù)服和30件乙種防護(hù)服．
①求兩種方案的費(fèi)用y與件數(shù)x的函數(shù)解析式；
②請你幫該社會(huì)團(tuán)體決定選擇哪種方案更合算．
【解答】解：（1）設(shè)甲種防護(hù)服每件x元，乙種防護(hù)服每件y元，
根據(jù)題意得：，解得，
答：甲種防護(hù)服每件2400元，乙種防護(hù)服每件2000元；
（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；
方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．
②當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，1920x+69600＝2160x+54000，
解得x＝65；
當(dāng)y1＞y2時(shí)，即1920x+69600＞2160x+54000，
解得：x＜65；
當(dāng)y1＜y2時(shí)，即1920x+69600＜2160x+54000，
解得x＞65．
∴當(dāng)購買甲種防護(hù)服65件時(shí)，兩種方案一樣；
當(dāng)購買甲種防護(hù)服的件數(shù)超過20件而少于65件時(shí)，選擇方案二更合算；
當(dāng)購買甲種防護(hù)服多于65件時(shí)，選擇方案一更合算．
【變式2-2】（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元．
（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？
（2）若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．
【解答】解：（1）設(shè)每盆A種花卉種植費(fèi)用為x元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為y元，根據(jù)題意，
得：，
解得：，
答：每盆A種花卉種植費(fèi)用為30元，每盆B種花卉種植費(fèi)用為60元；
（2）設(shè)種植A種花卉的數(shù)量為m盆，則種植B種花卉的數(shù)量為（400﹣m）盆，種植兩種花卉的總費(fèi)用為w元，
根據(jù)題意，得：（1﹣70%）m+（1﹣90%）（400﹣m）≤80，
解得：m≤200，
w＝30m+60（400﹣m）＝﹣30m+24000，
∵﹣30＜0，
∴w隨m的增大而減小，
當(dāng)m＝200時(shí)，w的最小值＝﹣30×200+24000＝18000，
答：種植A、B兩種花卉各200盆，能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為18000元．
【變式2-3】（2022?天津模擬）抗疫期間，社會(huì)各界眾志成城，某乳品公司向疫區(qū)捐獻(xiàn)牛奶，若由鐵路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.58元；若由公路運(yùn)輸每千克需運(yùn)費(fèi)0.28元，并且還需其他費(fèi)用600元．
（1）若該公司運(yùn)輸?shù)谝慌Ｄ坦灿?jì)8000千克，分別由鐵路和公路運(yùn)輸，費(fèi)用共計(jì)4340元，請問鐵路和公路各運(yùn)輸了多少千克牛奶？
（2）設(shè)該公司運(yùn)輸?shù)诙Ｄ蘹（千克），選擇鐵路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用為y1（元），選擇公路運(yùn)輸時(shí)，所需費(fèi)用y2（元），請分別寫出y1（元），y2（元）與x（千克）之間的關(guān)系式；
（3）運(yùn)輸?shù)诙Ｄ虝r(shí)公司決定只選擇一種運(yùn)輸方式，請問隨著x（千克）的變化，怎樣選擇運(yùn)輸方式所需費(fèi)用較少？
【解答】解：（1）設(shè)鐵路和公路分別運(yùn)輸牛奶x、y千克，
由題意可得：，
解得：，
答：鐵路和公路分別運(yùn)輸牛奶5000千克和3000千克；
（2）由題意可得：y1＝0.58x，y2＝0.28x+600；
（3）當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，0.58x＝0.28x+600，
解得x＝2000，
∴當(dāng)運(yùn)輸2000千克時(shí)，兩種方式均可，
當(dāng)y1＜y2時(shí)，0.58x＜0.28x+600，
解得x＜2000，
∴當(dāng)運(yùn)輸少于2000千克時(shí)，鐵路劃算，
當(dāng)y1＞y2時(shí)，0.58x＝0.28x+600，
解得x＞2000，
∴當(dāng)運(yùn)輸超過2000千克時(shí)，公路劃算．
【變式2-4】（2021?銅仁市）某快遞公司為了提高工作效率，計(jì)劃購買A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人來搬運(yùn)貨物，已知每臺(tái)A型機(jī)器人比每臺(tái)B型機(jī)器人每天多搬運(yùn)20噸，并且3臺(tái)A型機(jī)器人和2臺(tái)B型機(jī)器人每天共搬運(yùn)貨物460噸．
（1）求每臺(tái)A型機(jī)器人和每臺(tái)B型機(jī)器人每天分別搬運(yùn)貨物多少噸？
（2）每臺(tái)A型機(jī)器人售價(jià)3萬元，每臺(tái)B型機(jī)器人售價(jià)2萬元，該公司計(jì)劃采購A、B兩種型號(hào)的機(jī)器人共20臺(tái)，必須滿足每天搬運(yùn)的貨物不低于1800噸，請根據(jù)以上要求，求出A、B兩種機(jī)器人分別采購多少臺(tái)時(shí)，所需費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？
【解答】（1）解：設(shè)每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物x噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物y噸，
，
解得，
∴每臺(tái)A型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物100噸，每臺(tái)B型機(jī)器人每天搬運(yùn)貨物80噸；
（2）設(shè)：A種機(jī)器人采購m臺(tái)，B種機(jī)器人采購（20﹣m）臺(tái)，總費(fèi)用為w（萬元），
100m+80（20﹣m）≥1800．
解得：m≥10．
w＝3m+2（20﹣m）
＝m+40．
∵1＞0，
∴w隨著m的減少而減少．
∴當(dāng)m＝10時(shí)，w有最小值，w?。?0+40＝50．
∴A、B兩種機(jī)器人分別采購10臺(tái)，10臺(tái)時(shí)，所需費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是50萬元．
【變式2-5】（2021?恩施州）“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟(jì)更具活力，直播助銷就是運(yùn)用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生機(jī)勃勃的銷售方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠(yuǎn)銷全國各地．甲為當(dāng)?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷．已知每千克花生的售價(jià)比每千克茶葉的售價(jià)低40元，銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售價(jià)相同．
（1）求每千克花生、茶葉的售價(jià)；
（2）已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克，甲計(jì)劃兩種產(chǎn)品共助銷60千克，總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍．則花生、茶葉各銷售多少千克可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設(shè)每千克花生x元，每千克茶葉（40+x）元，
根據(jù)題意得：50x＝10（40+x），
解得：x＝10，
40+x＝40+10＝50（元），
答：每千克花生10元，每千克茶葉50元；
（2）設(shè)花生銷售m千克，茶葉銷售（60﹣m）千克獲利最大，利潤w元，
由題意得：，
解得：30≤m≤40，
w＝（10﹣6）m+（50﹣36）（60﹣m）＝4m+840﹣14m＝﹣10m+840，
∵﹣10＜0，
∴w隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m＝30時(shí)，利潤最大，
此時(shí)花生銷售30千克，茶葉銷售60﹣30＝30千克，
w最大＝﹣10×30+840＝540（元），
∴當(dāng)花生銷售30千克，茶葉銷售30千克時(shí)利潤最大，最大利潤為540元．
【變式2-6】“桂花糕”是中國特色傳統(tǒng)小吃，用糯米粉、糖和桂花蜜為原料制作而成，歷史悠久，種類多樣．小李在某糕點(diǎn)生產(chǎn)廠家選中A，B兩款不同包裝的“桂花糕”，決定從該廠家進(jìn)貨并銷售．兩款“桂花糕”的進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如表：
（1）若小李用2000元購進(jìn)了A，B兩款“桂花糕”，其中A款“桂花糕”購進(jìn)了35盒，求B款“桂花糕”購進(jìn)多少盒？
（2）若小李計(jì)劃A款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量不超過B款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量的一半，且計(jì)劃購進(jìn)兩款“桂花糕”共60盒，小李應(yīng)該如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設(shè)B款“桂花糕”購進(jìn)x盒，
根據(jù)題意得：35×40+30x＝2000，
解得x＝20，
答：B款“桂花糕”購進(jìn)20盒；
（2）設(shè)購進(jìn)A款“桂花糕”m盒，銷售利潤為W元，則購進(jìn)B款“桂花糕”（60﹣m）盒，
∵A款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量不超過B款“桂花糕”進(jìn)貨數(shù)量的一半，
∴m≤（60﹣m），
解得m≤20，
根據(jù)題意得W＝（56﹣40）m+（45﹣30）（60﹣m）＝m+900，
∵1＞0，
∴W隨m的增大而增大，
∴m＝20時(shí)，W取最大值，最大值為20+900＝920（元），
此時(shí)60﹣m＝60﹣20＝40，
答：購進(jìn)A款“桂花糕”20盒，購進(jìn)B款“桂花糕”40盒，獲得最大利潤，最大利潤是920元
【類型三：方程（組）+不等式（組）——二次函數(shù)模型】
【典例3】（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？
【解答】解：（1）設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高x元，
由題意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，
解得：x1＝2或x2＝18，
∵要盡可能減少庫存，
∴x2＝18不合題意，應(yīng)舍去．
∴T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元，
答：T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；
（2）設(shè)利潤為M元，由題意可得：
M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），
＝﹣10x2+200x+3000，
＝﹣10（x﹣10）2+4000，
∴當(dāng)x＝10時(shí)，M最大值＝4000元，
∴銷售單價(jià)：40+10＝50（元），
答：當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)定為50元時(shí)，得到最大利潤是4000元．
【變式3-1】（2023?蜀山區(qū)校級(jí)一模）隨著我國經(jīng)濟(jì)、科技的進(jìn)一步發(fā)展，我國的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的機(jī)械化程度越來越高，過去的包產(chǎn)到戶就不太適合機(jī)械化的種植，現(xiàn)在很多地區(qū)就出現(xiàn)了一種新的生產(chǎn)模式，很多農(nóng)民把自己的承包地轉(zhuǎn)租給種糧大戶或者新型農(nóng)村合作社，出現(xiàn)了大農(nóng)田，這些農(nóng)民則成為合作社里的工人，這樣更有利于機(jī)械化種植．某地某種糧大戶，去年種植優(yōu)質(zhì)水稻200畝，平均每畝收益480元．計(jì)劃今年多承包一些土地，已知每增加一畝，每畝平均收益比去年每畝平均收益減少2元．
（1）該大戶今年應(yīng)承租多少畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元？
（2）該大戶今年應(yīng)承租多少畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是多少？
【解答】解：（1）設(shè)該大戶今年應(yīng)承租x畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元，
由題意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，
解得x2﹣440x+48300＝0，
解得x＝230或x＝210，
∴該大戶今年應(yīng)承租210畝或230畝土地，才能使今年總收益達(dá)到96600元；
（2）設(shè)該大戶今年應(yīng)承租m畝土地，收益為W元，
由題意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m2+880m＝﹣2（m﹣220）2+96800，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)m＝220時(shí)，W最大，最大為96800，
∴大戶今年應(yīng)承租220畝土地，可以使今年總收益最大，最大收益是96800元．
【變式3-2】某文具店最近有A，B兩款紀(jì)念冊比較暢銷．該店購進(jìn)A款紀(jì)念冊5本和B款紀(jì)念冊4本共需156元，購進(jìn)A款紀(jì)念冊3本和B款紀(jì)念冊5本共需130元．在銷售中發(fā)現(xiàn)：A款紀(jì)念冊售價(jià)為32元/本時(shí)，每天的銷售量為40本，每降低1元可多售出2本；B款紀(jì)念冊售價(jià)為22元/本時(shí)，每天的銷售量為80本，B款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價(jià)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其部分對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
（1）求A，B兩款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價(jià)分別為多少元；
（2）該店準(zhǔn)備降低每本A款紀(jì)念冊的利潤，同時(shí)提高每本B款紀(jì)念冊的利潤，且這兩款紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，設(shè)A款紀(jì)念冊每本降價(jià)m元；
①直接寫出B款紀(jì)念冊每天的銷售量（用含m的代數(shù)式表示）；
②當(dāng)A款紀(jì)念冊售價(jià)為多少元時(shí)，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是多少？
【解答】解：（1）設(shè)A款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價(jià)為a元，B款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價(jià)為b元，
根據(jù)題意得：，
解得，
答：A款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價(jià)為20元，B款紀(jì)念冊每本的進(jìn)價(jià)為14元；
（2）①根據(jù)題意，A款紀(jì)念冊每本降價(jià)m元，可多售出2m本A款紀(jì)念冊，
∵兩款紀(jì)念冊每天銷售總數(shù)不變，
∴B款紀(jì)念冊每天的銷售量為（80﹣2m）本；
②設(shè)B款紀(jì)念冊每天的銷售量與售價(jià)之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系是y＝kx+b'，
根據(jù)表格可得：，
解得，
∴y＝﹣2x+124，
當(dāng)y＝80﹣2m時(shí)，x＝22+m，
即B款紀(jì)念冊每天的銷售量為（80﹣2m）本時(shí)，每本售價(jià)是（22+m）元，
設(shè)該店每天所獲利潤是w元，
由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴m＝6時(shí)，w取最大值，最大值為1264元，
此時(shí)A款紀(jì)念冊售價(jià)為32﹣m＝32﹣6＝26（元），
答：當(dāng)A款紀(jì)念冊售價(jià)為26元時(shí)，該店每天所獲利潤最大，最大利潤是1264元．
【變式3-3】（2022秋?中原區(qū)校級(jí)期中）黨的“二十大”期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進(jìn)A、B兩款紀(jì)念“二十大”的鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤＝銷售價(jià)﹣進(jìn)貨價(jià)）
（1）網(wǎng)店第一次用8500元購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共300件，求兩款鑰匙扣分別購進(jìn)的件數(shù)；
（2）第一次購進(jìn)的兩款鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共800件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于22000元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
（3）“二十大”臨近結(jié)束時(shí)，B款鑰匙扣還有大量剩余，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤為90元？
【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)A款鑰匙扣x件，B款鑰匙扣y件，
根據(jù)題意得：，
解得：．
答：購進(jìn)A款鑰匙扣200件，B款鑰匙扣100件．
（2）設(shè)購進(jìn)m件A款鑰匙扣，則購進(jìn)（800﹣m）件B款鑰匙扣，
根據(jù)題意得：30m+25（800﹣m）≤22000，
解得：m≤400．
設(shè)再次購進(jìn)的A、B兩款鑰匙扣全部售出后獲得的總利潤為w元，則w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（800﹣m）＝3m+9600．
∵3＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當(dāng)m＝400時(shí)，w取得最大值，最大值＝3×400+9600＝10800，此時(shí)800﹣m＝800﹣400＝400．
答：當(dāng)購進(jìn)400件A款鑰匙扣，400件B款鑰匙扣時(shí)，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是10800元．
（3）設(shè)B款鑰匙扣的售價(jià)定為a元，則每件的銷售利潤為（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，
根據(jù)題意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，
整理得：a2﹣64a+1020＝0，
解得：a1＝30，a2＝34．
又∵要盡快減少庫存，
∴a＝30．
答：B款鑰匙扣的售價(jià)應(yīng)定為30元．
【變式3-4】（2020?鄂州）一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；
（2）在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價(jià)分別為多少元？
（3）抗疫期間，該商場這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí)，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（1≤m≤6），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大．請直接寫出m的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根據(jù)“在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
設(shè)利潤為w元，根據(jù)題意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴當(dāng)x＜13.5時(shí)，w隨x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x為正整數(shù)
∴當(dāng)x＝12時(shí)，w取最大值為：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價(jià)為12元；
（3）根據(jù)題意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴對稱軸為x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴當(dāng)x＜13.5+0.5m時(shí)，w隨x的增大而增大，
∵該商場這種商品售價(jià)不大于15元/件時(shí)，捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價(jià)的增大而增大．
又∵x為整數(shù)，
∴對稱軸在x＝14.5的右側(cè)時(shí)，當(dāng)x≤15（x為整數(shù)）時(shí)，w都隨x的增大而增大，
∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6
【類型四：確定取值范圍】
【典例4】（2022?新昌縣二模）如圖，是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時(shí)，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計(jì)）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為x（cm），單層部分的長度為y（cm）．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)伸，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（不必寫出自變量取值范圍）
（2）設(shè)背帶的長度為L（cm），即L＝x+y．
①按小文的身高和習(xí)慣，L＝130（cm）時(shí)為最佳背帶長度．請計(jì)算此時(shí)雙層部分的長度．
②求L的取值范圍．
【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)規(guī)律可知y與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由題知，
解得，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+152；
（2）①根據(jù)題意知，
解得，
∴雙層部分的長度為22cm；
②由題知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝152，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝76，
∴76≤L≤152．
【變式4-1】（2021?衡陽）如圖是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．小文購買時(shí)，售貨員演示通過調(diào)節(jié)扣加長或縮短單層部分的長度，可以使背帶的長度（單層部分與雙層部分長度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長度忽略不計(jì)）加長或縮短，設(shè)雙層部分的長度為xcm，單層部分的長度為ycm．經(jīng)測量，得到表中數(shù)據(jù)．
（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長度調(diào)為130cm時(shí)為最佳背帶長．請計(jì)算此時(shí)雙層部分的長度；
（3）設(shè)背帶長度為Lcm，求L的取值范圍．
【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)規(guī)律可知y與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
由題知，
解得，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+152；
（2）根據(jù)題意知，
解得，
∴雙層部分的長度為22cm；
（3）由題知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝152，
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝76，
∴76≤L≤152．
【變式4-2】（2021?十堰）某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/kg，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價(jià)y（元/kg）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝，且日銷量m（kg）與時(shí)間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如下表：
（1）填空：m與x的函數(shù)關(guān)系為 m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x為整數(shù)）；
（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前20天中，公司決定每銷售1kg商品就捐贈(zèng)n元利潤（n＜4）給當(dāng)?shù)馗＠海蟀l(fā)現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間x的增大而增大，求n的取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可設(shè)日銷量m（kg）與時(shí)間x（天）之間的一次函數(shù)關(guān)系式為：m＝kx+b（k≠0），
將（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m與x的函數(shù)關(guān)系為：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x為整數(shù)）；
（2）設(shè)日銷售利潤為W元，根據(jù)題意可得：
當(dāng)1≤x≤20且x為整數(shù)時(shí)，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此時(shí)當(dāng)x＝16時(shí)，取得最大日銷售利潤為1568元，
當(dāng)20＜x≤40且x為整數(shù)時(shí)，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
此時(shí)當(dāng)x＝21時(shí)，取得最大日銷售利潤W＝﹣30×21+2160＝1530（元），
綜上所述，第16天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1568元；
（3）設(shè)每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤為P，根據(jù)題意可得：
P＝﹣0.5x2+16x+1440﹣n（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+（16+2n）x+1440﹣144n，其對稱軸為直線x＝16+2n，
∵在前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間x的增大而增大，且x只能取整數(shù)，故只要第20天的利潤高于第19天，即對稱軸要大于19.5
∴16+2n＞19.5，求得n＞1.75，
又∵n＜4，
∴n的取值范圍是：1.75＜n＜4，
答：n的取值范圍是1.75＜n＜4．
【變式4-3】（2022?黃岡模擬）某商貿(mào)公司購進(jìn)某種商品的成本為20元/千克，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天的銷售單價(jià)y（元/千克）與時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝，且x為整數(shù)，且日銷量m（千克）與時(shí)間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如表：
（1）求m與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，最大日銷售利潤是多少？
（3）求：在未來40天中，有多少天銷售利潤不低于1550元？
【解答】解：（1）由題意可設(shè)日銷量m（kg）與時(shí)間x（天）之間的一次函數(shù)關(guān)系式為：m＝kx+b（k≠0），
將（1，142）和（3，138）代入m＝kx+b，有：，
解得k＝﹣2，b＝144，
故m與x的函數(shù)關(guān)系為：m＝﹣2x+144（1≤x≤40且x為整數(shù)）；
（2）設(shè)日銷售利潤為W元，根據(jù)題意可得：
當(dāng)1≤x≤20且x為整數(shù)時(shí)，W＝（0.25x+30﹣20）（﹣2x+144）＝﹣0.5x2+16x+1440＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
此時(shí)當(dāng)x＝16時(shí)，取得最大日銷售利潤為1568元，
∴第16天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1568元；
（3）由（2）得，當(dāng)1≤x≤20且x為整數(shù)時(shí)，W＝﹣0.5（x﹣16）2+156，
令W＝1550，得1550＝﹣0.5（x﹣16）2+1568，
解得：x1＝10，x2＝22．
∵﹣＜0，對稱軸為直線x＝16，10≤x≤20，共11天．
當(dāng)20＜x≤40且x為整數(shù)時(shí)，W＝（35﹣20）（﹣2x+144）＝﹣30x+2160，
令W＝1550，得1550＝﹣30x+2160，
解得：x＝，
∵﹣30＜0，
∴20＜x＜，無整數(shù)解，即0天．
綜上所述，在未來40天中，有11天銷售利潤不低于1550元．
【變式4-4】（2021?河北）如圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）一直保持在1號(hào)機(jī)P的正下方．2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過1min到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達(dá)C（10，3）處．
（1）求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號(hào)機(jī)的爬升速度；
（2）求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）通過計(jì)算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長是多少．
[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]
【解答】解：（1）∵2號(hào)飛機(jī)爬升角度為45°，
∴OA上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同．
∴A（4，4）．
設(shè)OA的解析式為：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式為：h＝s．
∵2號(hào)試飛機(jī)一直保持在1號(hào)機(jī)的正下方，
∴它們的飛行的時(shí)間和飛行的水平距離相同．
∵2號(hào)機(jī)在爬升到A處時(shí)水平方向上移動(dòng)了4km，飛行的距離為4km，
又1號(hào)機(jī)的飛行速度為3km/min，
∴2號(hào)機(jī)的爬升速度為：4÷＝3km/min．
（2）設(shè)BC的解析式為h＝ms+n，
由題意：B（7，4），
∴，
解得：．
∴BC的解析式為h＝．
令h＝0，則s＝19．
∴預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)為（19，0）．
（3）解法一：∵PQ不超過3km，
∴5﹣h≤3．
∴PQ＝，
解得：2≤s≤13．
∴兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長為：（13﹣2）÷3＝（min）．
解法二：當(dāng)PQ＝3km時(shí)，h＝5﹣3＝2（km），
∵h(yuǎn)＝s，
∴s＝2．
由2＝得：s＝13，
∴兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長為：（min）．
【變式4-5】（2021?揚(yáng)州）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：
說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤＝月租車費(fèi)﹣月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤差＝月利潤較高公司的利潤﹣月利潤較低公司的利潤．
在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：
（1）當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤是 48000 元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為 37 輛時(shí)，兩公司的月利潤相等；
（2）求兩公司月利潤差的最大值；
（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元（a＞0）給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍．
【解答】解：（1）[（50﹣10）×50+3000]×10﹣200×10＝48000元，
當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤是48000元；
設(shè)每個(gè)公司租出的汽車為x輛，
由題意可得：[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x＝3500x﹣1850，
解得：x＝37或x＝﹣1（舍），
∴當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為37輛時(shí)，兩公司的月利潤相等；
（2）設(shè)兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為y，
則y甲＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x，
y乙＝3500x﹣1850，
當(dāng)甲公司的利潤大于乙公司時(shí)，0＜x＜37，
y＝y(tǒng)甲﹣y乙＝[（50﹣x）×50+3000]x﹣200x﹣（3500x﹣1850）
＝﹣50x2+1800x+1850，
當(dāng)x＝＝18時(shí)，利潤差最大，且為18050元；
當(dāng)乙公司的利潤大于甲公司時(shí)，37＜x≤50，
y＝y(tǒng)乙﹣y甲＝3500x﹣1850﹣[（50﹣x）×50+3000]x+200x
＝50x2﹣1800x﹣1850，
∵對稱軸為直線x＝＝18，50＞0，
∴當(dāng)37＜x≤50時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝50時(shí)，利潤差最大，且為33150元，
綜上：兩公司月利潤差的最大值為33150元；
（3）∵捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，
則利潤差為y＝﹣50x2+1800x+1850﹣ax＝﹣50x2+（1800﹣a）x+1850，
對稱軸為直線x＝，
∵x只能取整數(shù)，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，月利潤之差最大，
∴16.5＜＜17.5，
解得：50＜a＜150
【類型五：拱形問題】
【典例5】（2022?陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE＝10m，該拋物線的頂點(diǎn)P到OE的距離為9m．
（1）求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到OE的距離均為6m，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意拋物線的頂點(diǎn)P（5，9），
∴可以假設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣5）2+9，
把（0，0）代入，可得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣5）2+9；
（2）令y＝6，得﹣（x﹣5）2+9＝6，
解得x1＝+5，x2＝﹣+5，
∴A（5﹣，6），B（5+，6）．
【變式5-1】（2022?柯城區(qū)校級(jí)三模）如圖，隧道的截面由拋物線DEC和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的長AB為4m，寬BC為3m，以DC所在的直線為x軸，線段CD的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．y軸是拋物線的對稱軸，最高點(diǎn)E到地面距離為4米．
（1）求出拋物線的解析式．
（2）在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？
（3）如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個(gè)方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運(yùn)卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運(yùn)卡車能否通過該隧道？通過計(jì)算說明你的結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：D（﹣2，0），C（2，0），E（（0，1），
設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+1（a≠0），
把D（﹣2，0）代入得：4a+1＝0，
解得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+1；
（2）在y＝﹣x2+1中，令y＝﹣3＝得：
＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴距離地面米高處，隧道的寬度是2m；
（3）這輛貨運(yùn)卡車能通過該隧道，理由如下：
在y＝﹣x2+1中，令y＝3.6﹣3＝0.6得：
0.6＝﹣x2+1，
解得x＝±，
∴|2x|＝≈2.53（m），
∵2.53＞2.4，
∴這輛貨運(yùn)卡車能通過該隧道．
【變式5-2】（2022?諸暨市模擬）如圖1，一個(gè)移動(dòng)噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為10米時(shí)，達(dá)到最大高度6米，現(xiàn)將噴灌架置于坡地底部點(diǎn)O處，草坡上距離O的水平距離為15米處有一棵高度為1.2米的小樹AB，AB垂直水平地面且A點(diǎn)到水平地面的距離為3米．
（1）計(jì)算說明水流能否澆灌到小樹后面的草地．
（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．
（3）如果要使水流恰好噴射到小樹頂端的點(diǎn)B，那么噴射架應(yīng)向后平移多少米？
【解答】解：（1）由題可知：拋物線的頂點(diǎn)為（10，6），
設(shè)水流形成的拋物線為y＝a（x﹣10）2+6，
將點(diǎn)（0，1）代入可得a＝，
∴拋物線為，
當(dāng)x＝15時(shí)，y＝﹣×25+6＝4.75＞4.2，
答：能澆灌到小樹后面的草坪；
（2）由題可知A點(diǎn)坐標(biāo)為（15，3），
則直線OA為，
∴，
答：y1﹣y2的最大值為；
（3）設(shè)噴射架向后平移了m米，
則平移后的拋物線可表示為，
將點(diǎn)B（15，4.2）代入得：m＝1或m＝﹣11（舍去），
答：噴射架應(yīng)向后移動(dòng)1米．
【變式5-3】（2022?臺(tái)州）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線l的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為h（單位：m）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG，其水平寬度DE＝3m，豎直高度為EF的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m，灌溉車到l的距離OD為d（單位：m）．
（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求下邊緣拋物線與x軸的正半軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求d的取值范圍．
（2）若EF＝1m．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請直接寫出h的最小值．
【解答】解：（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)y＝a（x﹣2）2+2，
又∵拋物線過點(diǎn)（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，
當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴噴出水的最大射程OC為6m；
②∵對稱軸為直線x＝2，
∴點(diǎn)（0，1.5）的對稱點(diǎn)為（4，1.5），
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0）；
③∵EF＝0.5，
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)2≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，
則x≤2+2，
∵當(dāng)0≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而增大，且x＝0時(shí)，y＝1.5＞0.5，
∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，
∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1；
（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)D、F恰好分別在兩條拋物線上，
設(shè)點(diǎn)D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F(xiàn)（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），
則有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，
解得m＝2.5，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為h﹣，
∴h﹣＝0，
∴h的最小值為．
【變式5-4】（2022?豐臺(tái)區(qū)一模）某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，水柱從噴水頭噴出到落于湖面的路徑形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米．下面的表中記錄了d與h的五組數(shù)據(jù)：
根據(jù)上述信息，解決以下問題：
（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m＝ 1.5 ；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱下方通過．如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米．已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖1所示：
（2）根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱軸為x＝2，此時(shí)最高，
即m＝1.5，
故答案為：1.5．
（3）根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：h＝a（d﹣2）2+1.5，
將（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為：h＝﹣d2+d+0.5，
設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：h＝﹣d2+d+0.5+m，
由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為2+＝時(shí)，縱坐標(biāo)的值大于2+0.5＝2.5，
∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5，
解得m≥1.6，
∴水管高度至少向上調(diào)節(jié)1.6米，
∴0.5+1.6＝2.1（米），
∴公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到2.1米才能符合要求．
【變式5-5】（2022?六盤水模擬）如圖，籃球場上OF的長為25米，籃球運(yùn)動(dòng)員小明站在左方的點(diǎn)O處向右拋球，球從離地面2米的A處拋出，球的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作一條拋物線，在距O點(diǎn)4米的B處達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)C距離地面4米；籃球在點(diǎn)D處落地后彈起，彈起后在點(diǎn)E處落地，且彈起后的軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，但高度減少為原來最大高度的一半．以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求拋物線ACD的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求籃球第二次落地點(diǎn)E與點(diǎn)O之間的距離；
（3）若運(yùn)動(dòng)員小易在點(diǎn)E處拿球前進(jìn)到點(diǎn)G處起跳投籃，起跳后籃球在距離地面3米的地方出手，球出手后的運(yùn)動(dòng)軌跡與拋出后的軌跡形狀相同，高度相等，并且恰好投入離地面3米的籃筐中，求EG的長？
【解答】解：（1）設(shè)籃球開始飛出到第一次落地時(shí)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣h）2+k，
∵h(yuǎn)＝4，k＝4，
∴y＝a（x﹣4）2+4，
由已知：當(dāng)x＝0時(shí)y＝2，
即2＝16a+4，
∴a＝﹣，
∴拋物線ACD的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）令y＝0，﹣（x﹣4）2+4＝0，
∴（x﹣4）2＝32，
解得：x1＝4+4≈9.7，x2＝﹣4+4＜0（舍去），
∴籃球第一次落地距O點(diǎn)約9.7米；
如圖，第二次籃球彈出后的距離為DE，
根據(jù)題意：DE＝AN，相當(dāng)于將拋物線ACD向下平移了2個(gè)單位，
∴2＝﹣（x﹣4）2+4，
解得：x1＝0，x2＝8，
∴DE＝|x1﹣x2|＝8，
∴OE＝OD+DE≈9.7+8＝17.7（米），
∴籃球第二次落地點(diǎn)E距O點(diǎn)的距離約為17.7米；
（3）當(dāng)y＝3時(shí)，3＝﹣（x﹣4）2+4，
解得：x1＝4﹣2≈1.2，x2＝4+2≈6.8，
∵OF＝25，
∴EG＝OF﹣OE﹣（6.8﹣1.2）＝1.7（米），
∴EG的長為1.7米．
類別
價(jià)格
A款
B款
進(jìn)貨價(jià)（元/盒）
40
30
銷售價(jià)（元/盒）
56
45
售價(jià)（元/本）
……
22
23
24
25
……
每天銷售量（本）
……
80
78
76
74
……
類別
價(jià)格
A款鑰匙扣
B款鑰匙扣
進(jìn)貨價(jià)（元/件）
30
25
銷售價(jià)（元/件）
45
37
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
雙層部分長度x（cm）
2
8
14
20
單層部分長度y（cm）
148
136
124
112
雙層部分長度x（cm）
2
8
14
20
單層部分長度y（cm）
148
136
124
112
時(shí)間x（天）
1
3
6
10
…
日銷量m（kg）
142
138
132
124
…
時(shí)間x（天）
1
3
6
10
…
日銷量m（千克）
142
138
132
124
…
甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．
乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5

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