一、選擇題
1．設集合,,則集合M和集合N的關系是( )
A.B.C.D.
2．已知,則“” 是“與的夾角為鈍角”的( )
A.充要條件B.充分不必要條件
C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件
3．已知復數(shù)z滿足，則( )
A.1B.C.D.
4．若,則( )
A.B.C.7D.-7
5．基本再生數(shù)與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:描述累計感染病例數(shù)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與,T近似滿足.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出,.據(jù)此,在新冠肺 炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(參考數(shù)據(jù):)( )
A.1.5天B.2天C.2.5天D.3.5天
6．函數(shù)的圖象大致是( )
A.B.
C.D.
7．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù), 且的圖象關于點對稱,當時,,則的值為( )
A.-2B.1C.-1D.2
8．已知函數(shù),現(xiàn)將的圖向左平移個單位長度,再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍, 縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象, 則( )
A.B.-1C.1D.
9．如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖, 其中俯視圖的右邊為一個半圓, 則此幾何體的體積為( )
A.B.C.D.
10．在中,, 若不等式恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是( )
A.B.
C.D.
11．已知函數(shù), 方程恰有兩個不同的實數(shù)根,,則的最小值與最大值的和 ( )
A.B.2C.D.
12．已知,,,則( )
A.B.C.D.
二、填空題
13．記為正項等比數(shù)列的前n項和,若,,則的值為__________.
14．已知向量, ,若,則______________
15．棱長為6的正方體內有一個棱長為a的正四面體,且該四面體可以在正方體內任意轉動,則a的最大值為______________.
16．已知函數(shù)，關于x的方程有三個不等的實根，則實數(shù)m的取值范圍是_________.
三、解答題
17．隨著飛盤運動在網絡上火爆起來后,一些年輕人的熱情被點燃正值暑假期間,飛盤運動迎來了眾多的青少年. 某飛盤運動俱樂部為了解中學生對飛盤運動是否有興趣,從某中學隨機抽取 男生和女生各50人進行調查,對飛盤運動有興趣的人數(shù)占總人數(shù)的,女生中有 5 人對飛盤運動沒有興趣.
（1）完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99.9%把握認為對飛盤運動是否有興趣與性別有關？
（2）按性別用分層抽樣的方法從對飛盤運動有興趣的學生中抽取5人,若從這5人中隨機選出2人作為飛盤運動的宣傳員,求選出的2人中至少有一位是女生的概率.
附:, 其中.
18．已知向量，，函數(shù).
（1）求的最小正周期及圖象的對稱軸方程；
（2）若，求的值域.
19．如圖, 在直三棱柱中,點E為的中點, 點F在上, 且.
（1）證明:平面平面;
（2）若,,且三棱錐的體積為,求.
20．已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍, 且過點.
（1）求橢圓E的方程.
（2）設橢圓E的下頂點為點A, 若不過點A且不垂直于坐標軸的直線l交橢圓E于P,Q兩點,直線AP,AQ分別與x軸交于M,N兩點. 若M,N的橫坐標之積是2,證明:直線l過定點.
21．已知函數(shù) ,.
（1）已知恒成立,求a的值;
（2）當時,,求a的取值范圍.
22．在平面直角坐標系xOy中,設曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)), 以坐標原點O為極點, 以x軸正半軸為極軸建立極坐標系, 設曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的普通方程;
(2)若曲線上恰有三個點到曲線的距離為,求實數(shù)a的值.
23．已知函數(shù),且的解集為.
(1)求m的值;
(2)若正實數(shù)a 、b 、c滿足, 求證:.
參考答案
1．答案：C
解析：可通過數(shù)軸判斷兩集合元素之間存在的關系, 再確認M 、N集合之間的關系
將M 、N集合呈現(xiàn)在數(shù)軸中, 可觀察出M集合元素都在N集合中, 或,
注意元素與集合之間的關系為屬于或不屬于 集合間的關系不能用屬于.
結合題目選項,
故選：C.
2．答案：C
解析：,,
設與的夾角為,
則
若, 則, 當時,,
當且時,與的夾角為鈍角.
故 “” 是 “與的夾角為鈍角” 的必要不充分條件.
故選：C.
3．答案：D
解析：由可得，
所以
故選：D
4．答案：B
解析：因為，，所以，,
所以，
故選:B.
5．答案：B
解析：因為，，，所以，
所以，
設在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為t天，
則，所以，所以，
所以天.
故選:B.
6．答案：A
解析：因為,
所以為奇函數(shù),所以排除B,D,
又, 所以排除C.
故選：A.
7．答案：C
解析：因為是R上的偶函數(shù)，所以，
又的圖象關于點對稱，則，
所以，則，得，
即，所以是周期函數(shù)，且周期，
由時，，則，，，，則，
則.
8．答案：C
解析：將的圖向左平移個單位長度,
再將圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,得到函數(shù),
所以.
故選：C.
9．答案：B
解析：由已知可得該幾何體是由一個四棱錐和半個圓錐組成的,
故其體積為,
故選：B.
10．答案：A
解析：因為，
所以，
所以.
因為，，，
所以，
所以，
當且僅當，時等號成立.
要使不等式恒成立，則，
解得，
所以實數(shù)t的取值范圍是.
故選:A.
11．答案：C
解析：作出函數(shù)的圖象如下圖所示:
由圖象可知, 當時,直線與函數(shù)的圖象有兩個交點,,
, 則, 可得, 則,
構造函數(shù), 其中,則.
當時, ,此時函數(shù)單調遞減;
當時,,此時函數(shù)單調遞增.
所以, ,,,
顯然,.
因此,的最大值和最小值之和為.
故選：C.
12．答案：C
解析：
13．答案：2
設正項等比數(shù)列的公比為q，因為為正項等比數(shù)列的前n項和，且，，所以，即所以，所以((舍去))，又，所以的值為2.
故答案為:2.
14．答案：7
解析：
15．答案：
解析：由題意得，該正四面體在棱長為6的正方體的內切球內，
故該四面體內接于球時棱長最大，因為棱長為6的正方體的內切球半徑為
如圖，設正四面體，O為底面ABC的中心，
連接PO，則底面ABC，則可知,
正四面體的高,
利用勾股定理可知，解得:
故答案為:.
16．答案：
解析：由題意得，，當時，，遞增；當時，，遞減，且；可知函數(shù)的圖象如圖所示，
有三個不等的實根，即為有兩個不等的實根，令，則有兩個不等的實根，則，所以不妨令，則，，解得.
17．答案：（1）列聯(lián)表見解析,有的把握認為對飛盤運動是否有興趣與性別有關;
（2）.
解析：（1）依題意, 對飛盤運動有興趣的人數(shù)為,
而女生中有5人對飛盤運動沒有興趣,列聯(lián)表如下:
的觀測值:,
所以有的把握認為對飛盤運動是否有興趣與性別有關.
（2）用分層抽樣的方法從對飛盤運動有興趣的學生中抽取5人,
其中男生有人, 記為A,B,女生有3人, 記為c,d,e,
從這5人中隨機選出2人的不同結果有: AB,Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,cd,ce,de,共10個,
其中, 至少有一位是女生的結果有: Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,cd,ce,de,共9個,
所以選出的2人中至少有一位是女生的概率.
18．答案：（1），對稱軸方程為，
（2）
解析：（1），的最小正周期，
令，，可得，即圖象的對稱軸方程為，.
（2），，
，可得.
19．答案：（1）證明見解析；
（2）.
解析：（1）證明: 在直三棱柱中,
平面,,
點E為的中點,,,,,
,,平面,平面,
平面,平面平面.
（2）,為正三角形,
設, 則,
由 (1) 可得,平面,
依題意得, 故點F到平面的距離為：,
,
,
三棱錐的體積為,,,.
20．答案：（1）
（2）證明見解析.
解析：（1）依題意,,
橢圓E方程為:,又橢圓E過,
于是有 ,解得,,
所以橢圓E的方程為.
（2）由（1） 知 ,
依題意, 設直線l的方程為,,,
直線AP的方程為,
令, 得點M的橫坐標為,
同理得點N的橫坐標為,
由消去y并整理得,,
,
即,,,
因此,,
即, 解得,
直線l的方程為,l過定點, 所以直線l過定點.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）依題意, 函數(shù)定義域為R,,,
令, 即,,求導得,
當時,,函數(shù)在R上單調遞增,
當時,,不符合題意,
當時, 當時,,
當時, ,即函數(shù)在上遞減,在上遞增,
于是得,因此,
令 ,,
當時, ,
當時,,即函數(shù)在上遞增,在上遞減,
因此,
即,,而,
則有,,所以.
（2）依題意,,,
,
令,,則,
令,, 則,
即函數(shù)在上單調遞增,
于是得,,
即, 則有,,
令,, 有,
即函數(shù)在上單調遞增,
則,,
即, 從而得,
函數(shù)在上單調遞增, 則有,
顯然當時,
函數(shù)的值域為,
于是得函數(shù)在上的值域為,
當時,,
函數(shù)在上單調遞增,
因此,, 則,
當時, 則存在,使得,
顯然函數(shù)在上單調遞增,
即當時,,則函數(shù)在上單調遞減,
當時,,與已知矛盾,所以a的取值范圍是.
22．答案：(1)
(2)
解析：由已知得代入,消去參數(shù)t得 曲線的普通方程為.
(2)由曲線的極坐標方程得,
又，,
所以,即,
所以曲線是圓心為,半徑等于的圓.
因為曲線上恰有三個點到曲線的距離為,
所以圓心到直線的距離,
即,解得.
23．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)由可得: ,
即, 即或
的解集為，且，;
(2)由（1）知:，，，，，，
，
有興趣
沒興趣
合計
男
女
合計
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
有興趣
沒興趣
合計
男
30
20
50
女
45
5
50
合計
75
25
100

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