南充高中高2023屆第二次模擬考試數(shù)學(xué) 理科滿分: 150分 年級(jí): 高三一 選擇題（共計(jì)12道小題，每題5分，共計(jì)60分）1.設(shè)集合 ，則集合 和集合 的關(guān)系是（  ）A.  B. C.  D. 2. 已知 , 則 “ ” 是 “ 與 的夾角為鈍角” 的（   )A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3. 若 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 64 , 則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為 (    )A.10 B.20 C.30 D.1204. 若 , 則 =(   ）A.  B.  C.7 D. 5.基本再生數(shù) 與世代間隔 是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù). 基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù), 世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間．在新冠肺炎疫情初始階段, 可以用指數(shù)模型: 描述累計(jì)感染病例數(shù) 隨時(shí)間 (單位: 天)的變化規(guī)律, 指數(shù)增長(zhǎng)率 與 近似滿足 . 有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出 . 據(jù)此,在新冠肺 炎疫情初始階段,累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(參考數(shù)據(jù): （  ）A.1.5 天 B.2 天 C.2.5 天 D.3.5 天6. 函數(shù) 在區(qū)間 上的圖象為 (   )A. B.C. D.7. 已知函數(shù) 是 上的偶函數(shù), 且 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱, 當(dāng) 時(shí), , 則 的值為 (   )A.  B.1 C.  D.28. 要得到函數(shù) 的圖象, 只需將函數(shù) 的圖象 (    )A.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度9. 如圖是某幾何體的三視圖，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1，則該幾何體的表面積為（ ）A.  B. C.  D. 10. 在 中, , 若不等式 恒成立, 則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 (    )A.  B. C.  D. 11. 已知函數(shù) , 方程 恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根 , 則 的最小值與最大值的和 (   )A.  B.2 C.  D. 12. 設(shè) , 則 的大小關(guān)系正確的是 (     )A.  B. C.  D. 二填空題（共計(jì)4道小題，每題5分，共計(jì)20分）13.記 為正項(xiàng)等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和, 若 , 則 的值為_(kāi)__.14 已知向量 與 的夾角是 , 則向量 與 的夾角為_(kāi)_______.15棱長(zhǎng)為 6 的正方體內(nèi)有一個(gè)棱長(zhǎng)為 的正四面體, 且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng), 則 的最大值為_(kāi)_____________.16已知拋物線 的焦點(diǎn)為 , 過(guò)點(diǎn) 作傾斜角為 的直線 交 于 兩點(diǎn), 過(guò) 分別作 的切線 與 交于點(diǎn) 與 軸的交點(diǎn)分別為 , 則四邊形 的面積為_(kāi)_____________.三解答題（共計(jì)6道小題，共70分，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明和演算步驟）17.（本題滿分12分）手機(jī)廠商推出一款 6 寸大屏手機(jī)，現(xiàn)對(duì) 500 名該手機(jī)使用者（200 名女性，300 名男性）進(jìn)行調(diào)查，對(duì)手機(jī)進(jìn)行評(píng)分，評(píng)分的頻數(shù)分布表如下：（本題滿分1）完成下列頻率分布直方圖，計(jì)算女性用戶評(píng)分的平均值，并比較女性用戶和男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大?。ú挥?jì)算具體值，給出結(jié)論即可）；（2）把評(píng)分不低于 70 分的用戶稱為“評(píng)分良好用戶”，能否有 90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān)？參考公式: , 其中 18.（本題滿分12分）已知函數(shù) 只能同時(shí)滿足以下三個(gè)條件中的兩個(gè).①函數(shù) 的最大值是 2 ;② 函數(shù) 的圖象可由函數(shù) 左右平移得到;③函數(shù) 的對(duì)稱中心與 的對(duì)稱軸之間的最短距離是 .(1) 寫(xiě)出這兩個(gè)條件的序號(hào) (不必說(shuō)明理由) 并求出函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間;(2) 已知 的內(nèi)角 所對(duì)的邊分別為 , 滿足 , 點(diǎn) 為 的中點(diǎn), 且 , 求 的值.19（本題滿分12分）如圖, 在四棱錐 中, 面 , 是 的中點(diǎn).(I) 求證: ;(II) 若二面角 的余弦值為 , 求線段 長(zhǎng).20.（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系 中, 橢圓 的左, 右頂點(diǎn)分別為 , 點(diǎn) 是橢圓的右焦點(diǎn), .(I) 求橢圓 的方程;(II) 不過(guò)點(diǎn) 的直線 交橢圓 于 兩點(diǎn), 記直線 的斜率分別為 . 若 , 證明直線 過(guò)定點(diǎn), 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).21.（本題滿分12分）已知函數(shù) . (其中 為參數(shù)) 在點(diǎn) 處的切線方程為 .(1) 求實(shí)數(shù) 的值;(2) 求函數(shù) 的最小值;(3) 若對(duì)任意的 , 不等式 恒成立, 求實(shí)數(shù) 的取值范圍.選做題（本題滿分10分）22. [選修 4-4: 坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系 中, 設(shè)曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)), 以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn), 以 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 設(shè)曲線 的極坐標(biāo)方程為 .(1) 求曲線 的普通方程;(2) 若曲線 上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線 的距離為 , 求實(shí)數(shù) 的值.23 [選修 4-5: 不等式選講] 已知函數(shù) , 且 的解集為 .(1) 求 的值;(2) 若正實(shí)數(shù) 滿足 , 求證: .
南充高中高2023屆第二次模擬考試數(shù)學(xué) 理科參考答案及解析一 選擇題（共計(jì)12道小題，每題5分，共計(jì)60分）1.  【答案】C 【解析】略 2.  【答案】C 【解析】 與 的夾角為鈍角，則要滿足 ，即 ，解得: 且 因?yàn)?/span> 是 的真子集 所以 是“ 與 的夾角為鈍角”的必要不充分條件 3.  【答案】B 【解析】根據(jù)題意可得 ，解得 ，則 展開(kāi)式的通項(xiàng)為 ， 令 ，得 ，所以常數(shù)項(xiàng)為: . 4.  【答案】B 【解析】因?yàn)? ，所以 ,所以 ，故選: B 5.  【答案】B 【解析】因?yàn)? ，所以 ，所以 ， 設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加 1 倍需要的時(shí)間為 天，則 ，所以 ，所以 ，所以 天.故選: B. 6.  【答案】D 【解析】 為奇函數(shù)，排除 ；又 ，排除 ； ，即 ，排除 ，故選: D 7.  【答案】C 【解析】因?yàn)? 是 上的偶函數(shù)，所以 ，又 的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，則 ，所以 ，則 ，得 ，即 ，所以 是周期函數(shù)，且周期 ，由 時(shí)， ，則 ， 則 ，則 . 8.  【答案】D 【解析】把 化為 ，故把 的圖象向左平移 個(gè)單位，即得函數(shù) 的圖象.詳解: ,故把 的圖象向左平移 個(gè)單位 , 即得函數(shù) 的圖象，即得到 函數(shù) 的圖象.故選D  9.  【答案】A 【解析】、如圖，該幾何體可看成由長(zhǎng)方體 和四棱錐 組合而成， 該幾何體的表面積為四棱錐的側(cè)面積、長(zhǎng)方體的側(cè)面積和一個(gè)底面面積之和， 其中 ，平面 平面 ， ，則可得 ，故 ，則 .又等腰 底邊上的高為 ，故 ，則該幾何體的表面積為: 故選: A. 10. 【答案】A 【解析】因?yàn)? ，所以 ，所以 .因?yàn)? ，所以 ，所以 ， ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.要使不等式 恒成立，則 ，解得 ，所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .故選: A. 11. 【答案】C 【解析】作出函數(shù) 的圖象如下圖所示:由圖象可知, 當(dāng) 時(shí), 直線 與函數(shù) 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) , , 則 , 可得 ，則 ,構(gòu)造函數(shù) , 其中 , 則 . 當(dāng) 時(shí), , 此時(shí)函數(shù) 單調(diào)遞減; 當(dāng) 時(shí), , 此時(shí)函數(shù) 單調(diào)遞增. 所以, , 因此, 的最大值和最小值之和為 . 故選:C 12. 【答案】D 【解析】因?yàn)? ，所以只要比較 的大小即可 ， 令 ，則 ，所以 在 上遞增，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，令 ，則 因?yàn)? 在 上為減函數(shù)，且 ，所以當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上為減函數(shù)，因?yàn)? ，要比較 與 的大小，只要比較 與 的大小， 令 ，則 ， 所以 在上遞增，所以 ，所以當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 上遞增，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故選: D二填空題（共計(jì)4道小題，每題5分，共計(jì)20分）13  設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列 的公比為 ，因?yàn)? 為正項(xiàng)等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和，且 ， 所以 ，即 所以 ，所以 (舍去) ， 又 ，所以 的值為 2 . 故答案為: 2 .14 略15由題意得，該正四面體在棱長(zhǎng)為 6 的正方體的內(nèi)切球內(nèi)，故該四面體內(nèi)接于球時(shí)棱長(zhǎng)最大， 因?yàn)槔忾L(zhǎng)為 6 的正方體的內(nèi)切球半徑為 如圖，設(shè)正四面體 為底面 的中心，連接 ，則 底面 ， 則可知 , 正四面體的高 利用勾股定理可知 ，解得: 故答案為:  16由題意可知, 且直線 傾斜角為 , 則 則直線 方程為 , 即 設(shè) 不妨設(shè) 在第一象限，聯(lián)立 , 消去 得 解得 代入直線方程, 則 因?yàn)橹本€ 與拋物線相切于點(diǎn) ,即 ，則 所以 ,同理可得 ,則可得直線 方程為 ,即 ,則其與 軸交點(diǎn), 令 , 則 所以 直線 的方程為 即 ,則其與 軸交點(diǎn), 令 , 則 所以 , 所以 聯(lián)立 方程 , 解得 , 即 點(diǎn)坐標(biāo)為 , . 故答案為 4 . 三（共計(jì)6道小題，共70分，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明和演算步驟）17. 【答案】女性用戶評(píng)分的平均值為 74.5；由圖可得女性用戶評(píng)分的波動(dòng)小，男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大.（2） 故有 90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān). 【解析】解: (1) 對(duì)于女性用戶, 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率 為 ,對(duì)于男性用戶, 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 , 評(píng)分在 的頻率為 所以女性用戶和男性用戶的頻率分布直方圖分別如圖所示:女性用戶評(píng)分的平均值為 74.5；由圖可得女性用戶評(píng)分的波動(dòng)小，男性用戶評(píng)分的波動(dòng)大.（2）根據(jù)打分的頻數(shù)分布表得列聯(lián)表如下 故有 90%的把握認(rèn)為“評(píng)分良好用戶”與性別有關(guān). 18. 【答案】(1) ① ③, 單調(diào)遞增區(qū)間為 ; (2)  【解析】(1) 可得函數(shù) 只能同時(shí)滿足(1)(3), 結(jié)合最值可求 , 結(jié)合周期可求 , 然后結(jié)合 正弦函數(shù)的性質(zhì)可求; (2) 由 可求 , 然后結(jié)合直角三角形性質(zhì)及正弦定理可求.(1) 由(1)得 , 由(2)得 ,由(3)知 , 則 , 所以函數(shù) 只能同時(shí)滿足(1)(3), 故 ,由 得 , 故 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ;(2) , , 即 ,設(shè)線段 的中點(diǎn)為 , 即 , 由正弦定理可得 . 19. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析; (2) . 【解析】證明 得到 面 , 即可得到 .(2) 建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè) , 求出平面 的法向量與面 的一個(gè)法向量, 再由 , 即可求出 的值, 即可求出答案.解: (1) 證明: 面 面 又 又 面 面 又 面 ;(2) 如圖,以 為原點(diǎn), 的方向分別為 軸, 軸, 軸的正方向, 建立空間直角坐標(biāo)系, , 則 , 不妨設(shè) ,則 ,則 易知 為面 的一個(gè)法向量 又 , 設(shè) 為面 的法向量, 則 即 取 依題意, 所以線段 長(zhǎng)為 . 20. 【答案】(1) ;(2)證明見(jiàn)解析, . 【解析】(1)寫(xiě)出 的坐標(biāo), 求出向量坐標(biāo), 根據(jù)向量的關(guān)系即可列出方程組, 求得 和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2) 設(shè)直線 的方程為 . 聯(lián)立直線 與橢圓方程, 根據(jù)韋達(dá)定理 得到根與系數(shù)的關(guān)系, 求出 , 根據(jù) 即可求得 和 的關(guān)系, 即可證明直線過(guò) 定點(diǎn)并求出該定點(diǎn).解: (1)由題意, 知 解得 從而 梋圓 的方程 ;(2)設(shè)直線 的方程為 . 直線 不過(guò)點(diǎn) , 因此 .由 得 . 時(shí), , .由 , 可得 , 即 ,故 的方程為 , 恒過(guò)定點(diǎn) . 21. 【答案】(1) (2) .(3) 的取值范圍為 . 【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)果.(2)對(duì) 求導(dǎo)并討論單調(diào)性, 即可得出 的最小值.(3) 對(duì) 取值范圍 分類討論, 構(gòu)造 并求導(dǎo), 對(duì)參數(shù) 的 取值范圍 分類討論 單調(diào)性, 結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可得出結(jié)果.解:（本題滿分1） 由題意得 , 即 , 解得 (2) , 則 .(1)當(dāng) 時(shí), 由 , 則 , 所以 在 上單調(diào)遞減.(2)當(dāng) 時(shí), 由 知 ,所以 在 上單調(diào)遞增, 故 即 , 所以 在 上單調(diào)遞 增, 所以, .(3) 對(duì) 分情況討論處理:(i) 當(dāng) 時(shí), 不等式 等價(jià)于 , 令 , 則 ,(1)當(dāng) 時(shí), 由 (2) 知 , 所以 單調(diào)遞增, 所以 , 滿足題意.(2)當(dāng) 時(shí), 由 (2) 知 在 上單調(diào)遞增, 令 , 則 , 有 , 所以當(dāng) 時(shí) , 當(dāng) 時(shí) , 所以 ,所以 在 上單調(diào)遞增, 則 , 即 所以 , 又 ,所以存在唯一 使得 , 且當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞減, 所以當(dāng) 時(shí), , 不滿足題意(ii) 當(dāng) 時(shí), 不等式 等價(jià)于 ,當(dāng) 時(shí), 同（i）可知 , 所以 單調(diào)遞增, 所以 , 滿足題意.當(dāng) 時(shí), 由 (2) 知 在 上單調(diào)遞減 , 從而存在唯一 使得 , 且當(dāng) 時(shí), 單調(diào)遞減, 所以當(dāng) 時(shí), , 不滿足題意(iii) 當(dāng) 時(shí), 對(duì)任意的 , 原不等式恒成立.綜上得, 的取值范圍為 . 22. 【答案】(1) (2)  【解析】(1) 曲線 的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線 的普通方程;(2) 首先曲線 的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程, 可以得到曲線 是圓, 要使曲線 上恰有三 個(gè)點(diǎn)到曲線 的距離為 , 圓心到直線的距離 , 求解方程即可.解:（本題滿分1）由已知得 代入 , 消去參數(shù) 得 曲線 的普通方程為 .(2) 由曲線 的極坐標(biāo)方程 得 , 又 , 所以 , 即 , 所以曲線 是圓心為 , 半徑等于 的圓. 因?yàn)榍€ 上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線 的距離為 ,所以圓心 到直線 的距離 ,即 , 解得 .23 【答案】(1) (2)證明見(jiàn)解析 【解析】(1) 解對(duì)值不等式 , 再根據(jù)題意, 即可求出 的值;（2）由（本題滿分1）知 , 可得 , 對(duì)其兩邊平方, 再根據(jù)基本不等式, 即可求證結(jié)果.解: (1)由 可得: , 即 , 即 或 的解集為 且 ;(2) 解: 由（本題滿分1） 知:  

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