四川省南充市南充高級(jí)中學(xué)2024屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)（文）試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）
1. 設(shè)集合，，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡集合，根據(jù)并集的定義寫出.
【詳解】，
.
故選：D.
2. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
【詳解】，其共軛復(fù)數(shù)為，
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為第二象限．
故選：B．
3. 某工廠生產(chǎn)A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本.若樣本中A型號(hào)的產(chǎn)品有30件，則樣本容量n為（）
A. 150B. 180C. 200D. 250
【答案】A
【解析】
【分析】直接由分層抽樣的定義按比例計(jì)算即可.
【詳解】由題意樣本容量為.
故選：A.
4. 已知圓，直線與圓C（）
A. 相離B. 相切C. 相交D. 相交或相切
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由直線的方程分析可得直線過定點(diǎn)，結(jié)合圓的方程分析可得在圓上，據(jù)此由直線與圓的位置關(guān)系分析可得直線與圓一定相交或相切，即可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，直線的方程為，恒過定點(diǎn)，
設(shè)為，又由圓，即，
其圓心為，半徑，
由，則在圓上，
則直線與圓相交或相切.
故選：D．
5. 已知平面向量，，若向量與共線，則（）
A. －2B. C. 2D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解．
【詳解】因?yàn)橄蛄颗c共線，
所以，
解得．
故選：B．
6. 在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅(jiān)韌、不屈的品質(zhì).竹子在中國的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，早在新石器時(shí)代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了.竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等.現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（）
A. 5.4B. 6.3C. 7.2D. 13.5
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得，進(jìn)一步利用進(jìn)行求解即可．
【詳解】為等差數(shù)列，
，故
．
故選：C．
7. 已知函數(shù)的局部圖象如圖所示，則的解析式可以是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，根據(jù)奇偶性和在時(shí)的函數(shù)值正負(fù)可排除.
【詳解】由圖可得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，
其中A選項(xiàng)，，故為奇函數(shù)，與圖象不符，故排除A；
C選項(xiàng)，，故為奇函數(shù)，與圖象不符，故排除C；
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，則，與圖象不符，故排除B.
故選：D.
8. 設(shè)m、n是不同的直線，α、β是不同的平面，以下是真命題的為（）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，借助于正方體，逐項(xiàng)分析即可.
【詳解】
對(duì)于A,如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?，，α、β是不同的平面，則必有，
故B正確；
對(duì)于C，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
平面為，為，
滿足，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如上圖正方體中，設(shè)平面為，
為，為，
則滿足，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.
故選:B.
9. 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則曲線與直線的所有交點(diǎn)中，相鄰交點(diǎn)距離的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得，再解方程求解可得答案．
【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，
得到函數(shù)的圖象，，
令，，
則，，或，，
即，，或，，
可得，，，，
，，，，
相鄰交點(diǎn)距離的最小值為．
故選：A．
10. 過雙曲線的左焦點(diǎn)F作的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，該切線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A，若，則雙曲線E的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取線段中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線定義及直角三角形勾股定理求解作答.
【詳解】令雙曲線的右焦點(diǎn)為，半焦距為c，取線段中點(diǎn)，連接，

因?yàn)榍袌A于，則，有，
因?yàn)椋瑒t有，，
而為的中點(diǎn)，于是，即，，
在中，，整理得，
所以雙曲線E的離心率.
故選：C
11. 設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，說明其單調(diào)性和奇偶性, 轉(zhuǎn)化為解不等式即可求解.
【詳解】，
設(shè)，
又易知，為上的奇函數(shù)，
又，
在上單調(diào)遞增，
又，
，
，
，又為上的奇函數(shù)，
，又在上單調(diào)遞增，
，
，
故滿足的的取值范圍是．
故選：C．
12. 已知數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，……這個(gè)數(shù)列從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記前項(xiàng)和為. 給出以下結(jié)論：①，②，③，④.其中正確的個(gè)數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，且時(shí)，，運(yùn)用累加法，結(jié)合數(shù)列的遞推式，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)一一判斷，可得結(jié)論．
【詳解】對(duì)于①，由，且時(shí)，，
可得
，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，
，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，
，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，
，故④正確．
故選：A．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的遞推式和累加法的運(yùn)用，關(guān)鍵是反復(fù)利用并項(xiàng)及累加得出結(jié)論.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值為__________ .
【答案】13
【解析】
【分析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，平移目標(biāo)函數(shù)，找出最優(yōu)解，即可求出的最小值．
【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示：
平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，
由，得，
所以的最小值為．
故答案為：13．
14. 已知數(shù)列，滿足，且，則_________.
【答案】24
【解析】
【分析】由遞推關(guān)系求出即可求解.
【詳解】，且，
當(dāng)，，所以；
故的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
即，
故，則.
故答案為：24.
15. 已知直線l過圓的圓心，且與圓相交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為___________.
【答案】32
【解析】
【分析】求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合平面向量的運(yùn)算推出，再由橢圓性質(zhì)即可得解．
【詳解】由題意，圓，
所以設(shè)圓心，半徑為2，
因?yàn)橹本€過圓的圓心，且與圓相交于，兩點(diǎn)，
所以，
故，
又為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，易知為橢圓的左焦點(diǎn)，
故當(dāng)點(diǎn)位于橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，最大，
此時(shí)，
則的最大值為．
故答案為：32．
16. 已知菱形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，，將沿著折疊，使得，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.
【答案】
【解析】
【分析】折疊后，求出的長，設(shè)分別為與的外心，為三棱錐的外接球球心，利用垂直關(guān)系和球的性質(zhì)，求出外接球半徑計(jì)算表面積.
詳解】菱形中，，，，，
折疊后，，為等邊三角形，，
與是全等的等腰三角形，設(shè)分別為與的外心，
中，外接圓半徑，，，
中，由勾股定理，，即，解得，
則，同理，
為三棱錐的外接球球心，連接，
由球的性質(zhì)可知，平面，平面，
與全等，，
，
，，，平面，
平面，平面，，
則三棱錐的外接球半徑，
所以外接球表面積.
故答案為：.
三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.
（一）必考題：共60分.
17. 2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶.某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異.在某地的兩類人群中各隨機(jī)抽取20人的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖，利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計(jì)概率.
（1）當(dāng)臨界值時(shí)，求漏診率和誤診率；
（2）從指標(biāo)在區(qū)間樣本中隨機(jī)抽取2人，求恰好一人是患病者一人是未患病者的概率.
【答案】（1）0.1，0.05
（2）
【解析】
【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算可得；
（2）利用頻率分布直方圖的特點(diǎn)，再利用列舉法和古典概型的概率公式可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由頻率分布直方圖可知，．
【小問2詳解】
樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，記為；未患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，記為，總?cè)藬?shù)為5人．
從5人中隨機(jī)抽取2人有：，共10種情況
抽取的兩人恰好一人是患病者一人是未患病者有，共6種情況
故抽取的兩人恰好一人是患病者一人是未患病者概率為.
18. 在①；②；③；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面對(duì)問題中，并解答問題.
在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足 .
（1）求；
（2）若的面積為，D為AC的中點(diǎn)，求BD的最小值.
【答案】（1）條件選擇見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）選①：利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦化簡求解；選②：利用平方關(guān)系結(jié)合正弦定理角化邊，再利用余弦定理求解；選③：利用正弦定理角化邊得即可求解；
（2）由面積得，結(jié)合余弦定理和基本不等式求最值.
【小問1詳解】
若選擇①：，
由正弦定理可得，
因，,故，，
則有，因,故.
若選擇②：，
則，
由正弦定理可得，
故，
因,故.
若選擇③ ；
由正弦定理可得，，
再由余弦定理得，，即，
，．
【小問2詳解】
，又，
三角形BCD中，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
的最小值為．
19. 已知多面體中，，且，，.
（1）證明：；
（2）若，求多面體的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理及線面垂直的判定定理，結(jié)合線面垂直的定義即可求證；
（2）利用勾股定理的逆定理及等面積法，結(jié)合線面垂直的判定定理及椎體的體積公式即可求解.
【小問1詳解】
連接BD，DF，如圖所示
在中，，，，
則，
所以，即，
同時(shí) ，可得，
同理可得，
又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF；
又因?yàn)槠矫鍮DF，所以．
小問2詳解】
由（1）知，又，則，
作于點(diǎn)，則,解得.
又平面BDF，，所以平面BDF，
又平面BDF，所以，
又，平面，所以平面，
多面體三棱錐四棱錐
矩形.
20. 已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，按照的正負(fù)分類討論，由的正負(fù)可得單調(diào)性；
（2）將不等式變形為，令，對(duì)求導(dǎo)，再令，由的單調(diào)性判斷的符號(hào)，進(jìn)而確定的單調(diào)性，求出的最大值即可求出的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意知的定義域?yàn)椋?
，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，令，
，
故方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
分別為，，且，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
綜上可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
【小問2詳解】
由可得，即，
設(shè)，，
則，
設(shè)，，
因?yàn)椋?br>則在上單調(diào)遞減，且，
所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，
所以的最大值為，
所以，即的取值范圍為.
21. 已知點(diǎn)在拋物線C：上，點(diǎn)，是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，且，直線是曲線在點(diǎn)處的切線.
（1）求直線的斜率；
（2）設(shè)的外接圓為，求證：直線與圓相切.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用點(diǎn)在拋物線上及兩點(diǎn)的斜率公式即可求解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，直線的垂線與直線的垂線聯(lián)立方程組，求出圓線的坐標(biāo)，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式及兩條直線垂直的條件即可求證.
【小問1詳解】
如圖所示
若，則，即點(diǎn)的坐標(biāo)為
則，同理得
由已知得
直線的斜率.
【小問2詳解】
由得，其導(dǎo)函數(shù).
拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率，且
由（1）知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
線段的中垂線方程為 ①
同理可得線段的中垂線方程為 ②
由①②消去得,
即,
代入①得,
外接圓的圓心坐標(biāo)為，
則直線的斜率，
，即，
故直線與圓相切.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問的關(guān)鍵點(diǎn)在拋物線上及兩點(diǎn)的斜率公式即可，第二問的關(guān)鍵點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及求線段的垂直平分線，圓心的確定及斜率公式即可.
（二）選考題：共10分. 考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.
22. 在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.
（1）求曲線的極坐標(biāo)系方程；
（2）曲線分別交曲線和曲線于點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)消參法可得普通方程，進(jìn)而根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化即可求解，
（2）根據(jù)極坐標(biāo)方程可得，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解.
【小問1詳解】
根據(jù)消參可得曲線的普通方程為，即，
曲線的極坐標(biāo)方程為，即.
【小問2詳解】
，
令，則.
又，
，
，
則的取值范圍為.
23. 已知函數(shù)，.
（1）當(dāng) 時(shí)，解不等式；
（2）若存在滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，則，分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集；
（2）分析可知，不等式有解，利用絕對(duì)值三角不等式可求得最小值，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【小問1詳解】
解：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，.
綜上所述，不等式的解集為.
【小問2詳解】
解：若存在滿足，等價(jià)于有解，
由三角不等式可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
只需即可，即，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

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