南充高中高2023屆第二次模擬考試數(shù)學(xué) 文科滿分: 150分 年級: 高三 一 選擇題（共計12道小題，每題5分，共計60分）1. 集合 , 則集合 和集合 的關(guān)系是 （    ）A.  B.        C.  D. 2.已知 , 則 “ ” 是 “ 與 的夾角為鈍角” 的（    ）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3.復(fù)數(shù) 滿足 , 則 （    ）A.1 B.           C.  D. 4.若 , 則 （    ）A.  B.  C.7 D. 5.基本再生數(shù) 與世代間隔 是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù). 基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù), 世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間. 在新冠肺炎疫情初始階段, 可以用指數(shù)模型: 描述累計感染病例數(shù) 隨時間 (單位: 天)的變化規(guī)律, 指數(shù)增長率 與 近似滿足 . 有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出 . 據(jù)此, 在新冠肺炎疫情初始階段, 累計感染病例數(shù)增加 1 倍需要的時間約為(參考數(shù)據(jù): （    ）A. 天 B. 天 C. 天 D. 天6. 函數(shù) 的圖象大致是（    ）A. B.  C. D.7. 已知函數(shù) 是 上的偶函數(shù), 且 的圖象關(guān)于點 對稱, 當(dāng) 時, , 則 的值為 （    ）A.  B.  C.  D. 8.已知函數(shù) , 現(xiàn)將 的圖向左平移 個單位長度, 再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍, 縱坐標(biāo)不變, 得到函數(shù) 的圖象, 則 （    ）A.  B.  C.  D. 9.如圖, 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1 , 粗線畫出的是某幾何體的三視圖, 其中俯視圖的右邊為一個半圓, 則此幾何體的體積為（    ）A.  B.  C.  D. 10.在 中, , 若不等式 恒成立, 則實數(shù) 的取值范圍是 （    ）A.  B.       C.  D. 11.已知函數(shù) , 方程 恰有兩個不同的實數(shù)根 , 則 的最小值與最大值的和（    ）A.  B.  C.  D. 12.已知 , 則（    ）A.  B.       C.  D. 二填空題（共計4道小題，每題5分，共計20分）13.記 為正項等比數(shù)列 的前 項和, 若 , 則 的值為_____。14已知向量 , 若 , 則 ______________15 棱長為 6 的正方體內(nèi)有一個棱長為 a 的正四面體，且該四面體可以在正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動， 則 a 的最大值為______________16已知函數(shù) , 關(guān)于 的方程 有三個不等的實根, 則實數(shù) 的取值范圍是______________.三（共計6道小題，共70分，寫出必要的文字說明和演算步驟）17. （本題滿分12分）隨著飛盤運動在網(wǎng)絡(luò)上火爆起來后，一些年輕人的熱情被點燃正值暑假期間，飛盤運動迎來了眾多的青少年. 某飛盤運動倶樂部為了解中學(xué)生對飛盤運動是否有興趣，從某中學(xué)隨機(jī)抽取 男生和女生各 50 人進(jìn)行調(diào)查，對飛盤運動有興趣的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的 ，女生中有 5 人對飛盤運動沒有興趣.（1）完成下面2×2 列聯(lián)表，并判斷是否有 99.9%把握認(rèn)為對飛盤運動是否有興趣與性別有關(guān)？（2）按性別用分層抽樣的方法從對飛盤運動有興趣的學(xué)生中抽取 5 人，若從這 5 人中隨機(jī)選出 2 人作為飛盤運動的宣傳員，求選出的 2 人中至少有一位是女生的概率.附: , 其中 .18. （本題滿分12分）已知向量 , 函數(shù) .（1）求 的最小正周期及 圖象的對稱軸方程; （2）若 , 求 的值域.19 （本題滿分12分）如圖, 在直三棱柱 中, 點 為 的中點, 點 在 上, 且 .（1）證明: 平面 平面 ;（2）若 , 且三棱錐 的體積為 , 求 .20. （本題滿分12分）已知橢圓 的長軸長是短軸長的兩倍, 且過點 .（1）求橢圓 的方程.（2）設(shè)橢圓 的下頂點為點 , 若不過點 且不垂直于坐標(biāo)軸的直線 交橢圓 于 兩點, 直線 分別與 軸交于 兩點. 若 的橫坐標(biāo)之積是 2, 證明: 直線 過定點. 21. （本題滿分12分）已知函數(shù) （1）已知 恒成立, 求 的值;（2）當(dāng) 時, , 求 的取值范圍. 選做題（本題滿分10分）22. 在平面直角坐標(biāo)系 中, 設(shè)曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)), 以坐標(biāo)原點 為極點, 以 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系, 設(shè)曲線 的極坐標(biāo)方程為 .（1）求曲線 的普通方程;（2）若曲線 上恰有三個點到曲線 的距離為 , 求實數(shù) 的值.23.已知函數(shù) , 且 的解集為 .（1）求 的值;（2）若正實數(shù) 滿足 , 求證: .
南充高中高2023屆第二次模擬考試數(shù)學(xué) 文科參考答案及解析一 選擇題（共計12道小題，每題5分，共計60分）1.  【答案】C 【解析】可通過數(shù)軸判斷兩集合元素之間存在的關(guān)系, 再確認(rèn) 集合之間的關(guān)系將 集合呈現(xiàn)在數(shù)軸中, 可觀察出 集合元素都在 集合中, 或 ,注意元素與集合之間的關(guān)系為屬于或不屬于 集合間的關(guān)系不能用屬于。結(jié)合題目選項, 故選 C。 2.  【答案】C 【解析】 , 設(shè) 與 的夾角為 ,則 若 , 則 , 當(dāng) 時, , 當(dāng) 且 時, 與 的夾角為鈍角.故 “ ” 是 “ 與 的夾角為鈍角” 的必要不充分條件.故選: . 3.  【答案】D 【解析】由題得： .所以 .故選: . 4.  【答案】B 【解析】由已知可得 ,所以 ,則 .故選: . 5.  【答案】B 【解析】因為 , 所以 , 所以 ,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段, 累計感染病例數(shù)增加 1 倍需要的時間為 天,則 , 所以 , 所以 ,所以 天.故選: B. 6.  【答案】A 【解析】因為 , 所以 為奇函數(shù), 所以排除 ,又 , 所以排除 C. 選：A 7.  【答案】C 【解析】 是 上的偶函數(shù), 關(guān)于直線 對稱,又 的圖象關(guān)于點 對稱, 的最小正周期為 ,又當(dāng) 時, , , ， , ,又 , 故選C. 8.  【答案】C 【解析】將 的圖向左平移 個單位長度 ,再將 圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長為原來的 2 倍, 縱坐標(biāo)不變, 得到函數(shù) ,所以 .故選: C. 9.  【答案】B 【解析】由已知可得該幾何體是由一個四棱錐和半個圓錐組成的, 故其體積為 ,故選B. 10. 【答案】A 【解析】 所以 ,所以 因為 , ,所以 ,所以 當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立,要使不等式 恒成立, 則 解得 ,所以實數(shù) 的取值范圍是 .故選: . 11. 【答案】C 【解析】作出函數(shù) 的圖象如下圖所示:由圖象可知, 當(dāng) 時, 直線 與函數(shù) 的圖象有兩個交點 , , 則 , 可得 , 則 ,構(gòu)造函數(shù) , 其中 , 則 .當(dāng) 時, , 此時函數(shù) 單調(diào)遞減;當(dāng) 時, , 此時函數(shù) 單調(diào)遞增. 所以, , , 顯然 .因此, 的最大值和最小值之和為 .故選: C. 12. 【答案】C【解析】對 因為 , 即 ,所以 , 即 ;對 , 又 , 令 , 則 ,所以當(dāng) 時, , 當(dāng) 時, , 所以 , 即 , 當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號,所以 , 令 , 則 ,所以當(dāng) 時， , 所以 在 上單調(diào)遞增, 顯然 ,又 , 即 , 即 , 所以 , 即 .故選: C 二填空題（共計4道小題，每題5分，共計20分）13 設(shè)正項等比數(shù)列 的公比為 , , , 解得 .則 .14 因為向量 , 且 , 所以 所以 , 解得 ,則 . 15 由題意得：該四面體在棱長為 6 的正方體的內(nèi)切球內(nèi), 該四面體內(nèi)接于球時棱長最大, 棱長為 6 的正方體的內(nèi)切球半徑 , 解得 .16由題意得 ,當(dāng) 時, 遞增; 當(dāng) 時, 遞減,且 ; 可知函數(shù) 的圖象如圖所示,令 , 則方程 有三個不等的實根, 即為 有兩個不等的實根,令 , 則 有兩個不等的實根,則 , 所以不妨令 ,則 ,解得 三（共計6道小題，共70分，寫出必要的文字說明和演算步驟）17. 【答案】（1）列聯(lián)表見解析, 有 的把握認(rèn)為對飛盤運動是否有興趣與性別有關(guān);              （2） . 【解析】（1）依題意, 對飛盤運動有興趣的人數(shù)為 , 而女生中有 5 人對飛盤運動沒有興趣, 列聯(lián)表如下: 的觀測值: ,所以有 的把握認(rèn)為對飛盤運動是否有興趣與性別有關(guān).（2）用分層抽樣的方法從對飛盤運動有興趣的學(xué)生中抽取 5 人, 其中男生有 人, 記為 , 女生有 3 人, 記為 ,從這 5 人中隨機(jī)選出 2 人的不同結(jié)果有: ，共 10 個，其中, 至少有一位是女生的結(jié)果有: , 共 9 個,所以選出的 2 人中至少有一位是女生的概率 . 18. 【答案】（1）最小正周期 , 對稱軸方程為 （2）  【解析】（1）因為 且 ,所以 , 即 , 的最小正周期 , 令 , 解得 ,即 圖象的對稱軸方程為 .（2） ,所以 . 19 【答案】（1）證明見解析；               （2） .【解析】（1）證明: 在直三棱柱 中, 平面 , 點 為 的中點, , 平面 平面 , 平面 平面 平面 .（2） 為正三角形, 設(shè) , 則 ,由 (1) 可得, 平面 ,依題意得 , 故點 到平面 的距離為： , ， , 三棱錐 的體積為 . 20. 【答案】（1） ;           （2）證明見解析. 【解析】（1）依題意, , 橢圓 方程為: , 又橢圓 過 ,于是有 , 解得 , 所以橢圓 的方程為 .（2）由（1） 知 , 依題意, 設(shè)直線 的方程為 , , 直線 的方程為 ,令 , 得點 的橫坐標(biāo)為 , 同理得點 的橫坐標(biāo)為 ,由 消去 并整理得, , , 即 ,因此, ,即 , 解得 ， 直線 的方程為 過定點 , 所以直線 過定點 . 21 【答案】（1） ;        （2） . 【解析】（1）依題意, 函數(shù) 定義域為 ,令 , 即 , 求導(dǎo)得 ,當(dāng) 時, , 函數(shù) 在 上單調(diào)遞增, 當(dāng) 時, , 不符合題意,當(dāng) 時, 當(dāng) 時, , 當(dāng) 時, , 即函數(shù) 在 上遞減, 在 上遞增,于是得 , 因此 ,令 ,當(dāng) 時, ,當(dāng) 時, , 即函數(shù) 在 上遞增, 在 上遞減, 因此 ,即 , 而 , 則有 , 所以 .（2）依題意, , ,令 , 則 ,令 , 則 , 即函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,于是得 , 即 , 則有 ,令 , 有 , 即函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,則 , 即 , 從而得 , 函數(shù) 在 上單調(diào)遞增, 則有 ,顯然當(dāng) 時 , 函數(shù) 的值域為 ,于是得函數(shù) 在 上的值域為 ,當(dāng) 時, , 函數(shù) 在 上單調(diào)遞增, 因此 , 則 ,當(dāng) 時, 則存在 , 使得 , 顯然函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,即當(dāng) 時, , 則函數(shù) 在 上單調(diào)遞減,當(dāng) 時, , 與已知矛盾, 所以 的取值范圍是 . 22 【答案】（1） （2）  【解析】（1）由已知得 代入 , 消去參數(shù) 得曲線 的普通方程為 .（2）由曲線 的極坐標(biāo)方程 得 ,又 ,所以 , 即 , 所以曲線 是圓心為 , 半徑等于 的圓.因為曲線 上恰有三個點到曲線 的距離為 ,所以圓心 到直線 的距離 ,即 ,解得 . 23 【答案】（1） （2）證明見解析 【解析】（1）由 可得: , 即 , 即 或 的解集為 且 ；（2）由 (1) 知: ， ,  

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