整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的一致性 教學(xué)內(nèi)容分析： 2022版課標(biāo)多次強(qiáng)調(diào)了“一致性”，明確提出“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識”。不難發(fā)現(xiàn)，2022版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)是對數(shù)量的抽象，注重打通數(shù)之間的關(guān)聯(lián)、把握數(shù)的一致性。在教學(xué)建議中進(jìn)一步提出，“在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性”。由此可見，建立整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)一致性的關(guān)鍵之一是從“計(jì)數(shù)單位”的角度來打通認(rèn)識。實(shí)際上它們都可以看成計(jì)數(shù)單位的“累積”，比如5可以看成5個1相加，0.5可以看成5個0.1相加，可以看成是5個相加。 因此，我們對“整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的一致性”的教學(xué)進(jìn)行了嘗試與探索，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)概念的深入理解，發(fā)展數(shù)感。本課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)意義的基礎(chǔ)上進(jìn)行的梳理反思，從學(xué)生的困惑入手，通過再一次認(rèn)識如何讀數(shù)、畫圖表示數(shù)的意義、比較數(shù)的大小等學(xué)習(xí)活動，幫助學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容的有機(jī)聯(lián)系，體會計(jì)數(shù)單位的價(jià)值，感悟數(shù)的一致性。 教學(xué)目標(biāo)： 1. 通過回顧整理整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，溝通不同數(shù)集之間的關(guān)聯(lián)，感悟整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的一致性。 2. 在讀數(shù)、表示數(shù)和比較數(shù)的大小等活動中，進(jìn)一步體會計(jì)數(shù)單位的重要作用，發(fā)展數(shù)感。 3. 在感悟數(shù)的一致性的過程中，體會數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系。 教學(xué)重點(diǎn)： 從計(jì)數(shù)單位的角度溝通不同數(shù)集之間的關(guān)聯(lián)，感悟整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的一致性。 教學(xué)難點(diǎn)： 引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)概念的整體理解，打通不同數(shù)集之間的關(guān)聯(lián)。 教學(xué)過程： 教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一 創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)舊知暴露困感引發(fā)學(xué)習(xí)需求 引導(dǎo)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容。 出示整理整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)知識的表格。 師：我們先來回顧學(xué)習(xí)過的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容。大家可以從整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義、讀寫、大小比較、相互轉(zhuǎn)化四個方面來說一說。 師：大家說得十分詳細(xì)，說明對這些基礎(chǔ)知識掌握得十分牢固。你們對所有學(xué)過的數(shù)還有什么困惑和想繼續(xù)研究的問題嗎？組內(nèi)交流一下。 師：請說出你的困惑和想繼續(xù)研究的問題。 師：我們看到很多同學(xué)對數(shù)的學(xué)習(xí)仍然有不少想進(jìn)一步探索的問題，而且很多同學(xué)的問題都關(guān)注到了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。尋找事物之間的聯(lián)系能讓我們更好地關(guān)注事物的本質(zhì)，你們真會思考！老師也看出同學(xué)們有很強(qiáng)的問題意識和探究愿望。這節(jié)課就讓我們一起來探究整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。 生1：整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)；把單位“1”平均分成10份、100份、1000……表示這樣的一份或幾份是十分之幾、百分之幾、千分之……可以用小數(shù)表示；分?jǐn)?shù)是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。 生2：整數(shù)從高位讀起，一級一級地往下讀，億級和萬級的數(shù)都按照個級的讀法去讀，讀完后在后面加上“億”或“萬”字，每級末尾的“0”都不讀，其它各位上無論只有一個“0”或者連續(xù)幾個“0”，都只讀一個“零”。 整數(shù)也是從最高位寫起，一級一級地往下寫，哪個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫0占位。讀小數(shù)先讀小數(shù)的整數(shù)部分，再讀小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左往右依次讀出每一位上的數(shù)字。寫小數(shù)先寫整數(shù)部分，寫好后在個位的右下角點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)部分按從左往右的順序依次寫出每個數(shù)字。讀分?jǐn)?shù)先讀分母，然后讀分?jǐn)?shù)線，最后讀分子；寫分?jǐn)?shù)先寫分?jǐn)?shù)線，然后寫分母，最后寫分子。 生3：比較整數(shù)的大小先看整數(shù)的位數(shù)，位數(shù)多的那個數(shù)就大；如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上數(shù)大的那個數(shù)大，如果最高位相同，就看下一位，下一位上數(shù)大的那個數(shù)大。比較小數(shù)的大小，先看它們的整數(shù)部分，整數(shù)大的那個數(shù)大，如果整數(shù)部分相同看十分位，十分位上大的數(shù)大，……。比較分?jǐn)?shù)的大小，分母相同比分子，分子越大，分?jǐn)?shù)越大；分子相同比分母，分母越大，分?jǐn)?shù)越小，分子分母都不相同，先通分再比大小。 生4：整數(shù)化成分?jǐn)?shù)，用指定的分母做分母，整數(shù)乘以分母做分子；整數(shù)化成小數(shù)，在整數(shù)部分個位右下角添上小數(shù)點(diǎn)，再在小數(shù)點(diǎn)后面添0。分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或小數(shù)，直接用分子除以分母。小數(shù)化成分?jǐn)?shù) ，整數(shù)部分保持不變，整數(shù)部分保持不變，將小數(shù)部分改成以10、100、1000……作分母的分?jǐn)?shù)。 學(xué)生獨(dú)立思考后，全班交流。 生1：小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)，那循環(huán)小數(shù)是不是也可以化成分?jǐn)?shù)？應(yīng)該怎樣化呢？ 生2：學(xué)習(xí)了這么多數(shù)，它們之間有聯(lián)系嗎？我感覺整數(shù)和小數(shù)有聯(lián)系，都是十進(jìn)制的，那分?jǐn)?shù)呢？ 生3：為什么小數(shù)比大小和整數(shù)比大小要從最高位比起，分?jǐn)?shù)比較大小卻要先通分? 生4：我還有一個問題，為什么整數(shù)讀法和小數(shù)讀法不同？比如34.34，為什么讀整數(shù)部分的時候要讀成“三十四”，讀小數(shù)部分的時候卻要讀成“三四”？ ……通過回顧整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)已學(xué)過的內(nèi)容，喚醒學(xué)生原有的認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生提出自己學(xué)習(xí)中遇到的困惑以及希望進(jìn)一步研究的問題,引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探尋對數(shù)的認(rèn)識的需求,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。 環(huán)節(jié)二 探究新知一、在讀數(shù)中感悟計(jì)數(shù)單位的價(jià)值 出示學(xué)習(xí)任務(wù)單，聚焦數(shù)的讀法之間的聯(lián)系，進(jìn)一步引發(fā)學(xué)生思考。 師：為什么整數(shù)讀法和小數(shù)讀法不同？我們先來探究這個問題。請同學(xué)們獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)單。 師：0.35為什么不讀作“零點(diǎn)三十五”？ （教師引導(dǎo)學(xué)生交流互相啟發(fā)。） 師：看來讀數(shù)跟數(shù)位有著緊密的聯(lián)系。35為什么讀作三十五?在讀整數(shù)時，我們都讀了什么? 師：看來讀數(shù)的時候，我們既讀了數(shù)位上的數(shù)字，還讀了相應(yīng)的……小數(shù)的讀法呢? 師：確實(shí)讀起來比較麻煩。那整數(shù)能不能跟小數(shù)統(tǒng)一，不讀計(jì)數(shù)單位了呢? 師：雖然整數(shù)和小數(shù)的讀法不同，但是我們都能通過讀出來的數(shù)感知它們的大小。這是為什么呢?整數(shù)和小數(shù)有什么共通之處嗎? 師：通過討論我們知道，同一個數(shù)字在不同的數(shù)位表示的大小不同，雖然整數(shù)和小數(shù)在讀法上有所區(qū)別，但都能讓人們通過讀法知道這個數(shù)，而且都和數(shù)位、計(jì)數(shù)單位有著緊密的聯(lián)系。同學(xué)們還提到整數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位向左延伸越來越大、向右延仲越來越小，整數(shù)、小數(shù)的相鄰數(shù)位之間都是十進(jìn)關(guān)系。看來對于整數(shù)和小數(shù)而言，計(jì)數(shù)單位和數(shù)位是非常關(guān)鍵的知識。 出示分?jǐn)?shù)、。 師：請讀一讀這兩個分?jǐn)?shù)，想一想分?jǐn)?shù)的讀法與什么有關(guān)聯(lián)。 師：是的，看來讀數(shù)都是基于數(shù)的計(jì)數(shù)單位來讀的。 二、在畫圖中感悟數(shù)的一致性 出示學(xué)習(xí)任務(wù)單，讓學(xué)生在感受了整數(shù)與小數(shù)讀法聯(lián)系的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生通過畫圖表示數(shù)的意義，在畫圖中進(jìn)一步感悟數(shù)的一致性。 師：請大家先獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)單，然后在小組中交流每個人的想法，推選一個能代表小組的作品全班分享。 出示學(xué)生的作品。 師：誰來解讀一下這個小組的3個作品? 出示學(xué)生作品1。 (教師板書：1個百、2個十、5個一。) 出示學(xué)生作品2。 師：為什么涂了37個就是0.37呢?為什么不是37呢? （教師板書：37個0.01（）。 出示學(xué)生作品3。 師：把一個圓平均分成4份，1份就是……3份就是3個……也就是…… (教師板書： 3個) 師：同學(xué)們分析得非常清楚，那這些表示方法之間有什么共通之處呢? 師：誰聽懂他說的是什么意思了？能說得具體一點(diǎn)嗎？ 師：聽懂了嗎?說得真清楚。還有補(bǔ)充嗎?[在黑板上圈出百、十、一、0.01()、。] 師：是的，分?jǐn)?shù)單位可以看成分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位。在上面的活動中我們看到，讀數(shù)時非常重要的是讀出計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，看來在“畫”數(shù)時，畫的也是計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)。這讓我們又一次看到了計(jì)數(shù)單位的重要性。 三、在交流中繼續(xù)感悟數(shù)的一致性 教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過舉例的方式，探討整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的一致性。 師：結(jié)合我們所學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容，大家繼續(xù)思考，整致、小數(shù)、分?jǐn)?shù)還有哪些共通之處?可以舉例說明。 師：比較數(shù)的大小有什么共通之處? 師：有關(guān)這些運(yùn)算之間的聯(lián)系，我們今后還要繼續(xù)研究。 小結(jié)：我們從數(shù)的意義、讀寫、大小關(guān)系等多個角度研究發(fā)現(xiàn)：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以看成是計(jì)數(shù)單位的“累積”，這是它們作為數(shù)的本質(zhì)特征的一致性。 學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)單后進(jìn)行全班交流。 生1：0.35如果讀成零點(diǎn)三十五，那么0.350就應(yīng)該讀成零點(diǎn)三百五十，但是，0.35=0.350，讀法卻不一樣，后面的0可以再增加，讀法一直會變化。 生2：我覺得不能讀零點(diǎn)三十五。0.35的3是3個0.1，不是3個十，不能讀成三十五。 生1：(補(bǔ)充解讀）35讀成三十五是因?yàn)?在十位，表示3個十，所以讀成三十五，0.35的3不在十位，所以不能讀成零點(diǎn)三十五。 生2：35表示有3個十、5個一，所以讀作三十五；126有1個百、2個十、6個一，所以讀作一百二十六。在讀數(shù)的時候，有幾個百就讀幾百，有幾個十就讀幾十，有幾個一就讀幾。 生1：計(jì)數(shù)單位。 生2：小數(shù)點(diǎn)后面是幾就讀幾，按著順序讀就可以了。 生3：小數(shù)讀出計(jì)數(shù)單位也是可以的，0.35就讀作零點(diǎn)三“十分之一”、五“百分之一”。 生4：不是不行，就是有點(diǎn)麻煩了。 生5：而且，讀的時候如果節(jié)奏把握不好，還容易弄混，三個十分之一和三十分之一不是一回事。 生：也不行，讀完了都不清楚是多少了。 生1：都是越向左計(jì)數(shù)單位越來越大，越向右計(jì)數(shù)單位越來越小。 生2：它們都是十進(jìn)制。 生3：我是這么想的，小數(shù)有一個小數(shù)點(diǎn)，從小數(shù)點(diǎn)開始向右第一位是十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，讀了小數(shù)點(diǎn)就提醒我們數(shù)位了，不讀出來也能知道數(shù)字在哪一位上。 生1：七分之五，一百二十八分之三十五。是5個，是35個。讀分?jǐn)?shù)從分母讀起，讀出分母來就知道這個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位了，讀出分子后就知道有幾個這樣的分?jǐn)?shù)單位了。 生2：我發(fā)現(xiàn)讀分?jǐn)?shù)就能感知分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)。 學(xué)生獨(dú)立完成學(xué)習(xí)任務(wù)單。 生：125是由1個百、2個十、5個一組成的，所以畫了1個大方塊，里面是10行10列一共100個小方塊，代表100，兩個豎條是2個十，又畫了5個一,一共是125。 生：第二幅圖是畫了1個大方塊代表1，平均分成了10行10列，一共是100個小方塊，涂了3列是30個，后面又涂了7個，一共是37個，所以是0.37。 生：因?yàn)榘?平均分成了100份，每一份是0.01，37個0.01就是0.37。 生：這位同學(xué)畫的是四分之三，把一個圓平均分成4份，陰影是其中的3份，陰影占整個圓的四分之三。 生：我覺得畫的都是幾個幾。 生1：他說的是每個數(shù)畫出來的都是幾個幾。第一幅圖畫的是1個百加2個十加5個一,一共是125，也是125個一。第二幅圖畫的是37個0.01，也是37個百分之一，就是0.37。第三幅圖畫的是3個四分之一，是四分之三。三幅圖畫的都是幾個幾。 生2：畫的都是有多少個計(jì)數(shù)單位和多少個分?jǐn)?shù)單位。 生3：分?jǐn)?shù)單位也是分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位。 學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流之后進(jìn)行全班分享。 生1：它們都是數(shù)，都有大小，可以比較大小。 生2：實(shí)際上比的還是計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，計(jì)數(shù)單位相同時才能進(jìn)行比較。 生3：對，所以分?jǐn)?shù)要先通分，通分后計(jì)數(shù)單位一致了，就能直接比較了。 生1：都可以進(jìn)行“加、減、乘、除”的運(yùn)算。 生2：都是用“數(shù)字”表示數(shù)，整數(shù)和小數(shù)有數(shù)位，分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位。 生3：讀數(shù)時都和計(jì)數(shù)單位有關(guān)系，整數(shù)要讀出計(jì)數(shù)單位，小數(shù)不需要讀出計(jì)數(shù)單位,分?jǐn)?shù)讀分母就知道計(jì)數(shù)單位了。 ……以學(xué)生的真實(shí)問題“為什么0.35不讀作零點(diǎn)三十五?”為切入點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生討論整數(shù)與小數(shù)讀法看似的不同和實(shí)質(zhì)的相同,理解讀法與計(jì)數(shù)方法之間的關(guān)系,感悟整數(shù)與小數(shù)讀法的本質(zhì)是讀出計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù)，體會數(shù)位和計(jì)數(shù)單位的核心地位，感悟整數(shù)和小數(shù)概念本質(zhì)上的一致性。 設(shè)計(jì)利用直觀圖形表示數(shù)的活動,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注在畫圖表示數(shù)中有什么共通之處,促使學(xué)生感悟需要表示出計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個數(shù),從而又一次感悟通過描述計(jì)數(shù)單位及其個數(shù)來表示數(shù)的大小。 鼓勵學(xué)生進(jìn)一步調(diào)取已有認(rèn)知,通過舉例的方式尋找整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的共通之處，進(jìn)一步感悟數(shù)的意義、數(shù)的表示、比較大小等方面的一致性;同時,為運(yùn)算一致性的研究理下伏筆。 環(huán)節(jié)三 鞏固練習(xí)1.用畫圖和數(shù)的知識比較12和13的大小。 2.涂一涂。 3.看圖填空。 生：把兩個同樣大小的長方形平均分成2份和3份。 生1： 生2： 生3：相同單位下才能比較分?jǐn)?shù)的大小，這個法則與整數(shù)比較大小的法則是一致的。 生： 生： 從數(shù)的大小、數(shù)的簡單運(yùn)算的角度，再次感悟數(shù)的一致性。 環(huán)節(jié)四 課堂小結(jié)這堂課你有什么收獲？ 師：這堂課的學(xué)習(xí)引發(fā)了你的思考，今后學(xué)習(xí)了其它數(shù)，可以繼續(xù)做這一方面的研究。學(xué)生交流想法。 生1：我對數(shù)的意義有了新認(rèn)識。 生2：我知道整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以看成是計(jì)數(shù)單位的“累積”，比較數(shù)的大小其實(shí)就是比較相同計(jì)數(shù)單位的多少。 生3：我在想今后我們還要學(xué)習(xí)其它形式的數(shù)，是不是所有的形式的數(shù)都可以看成是計(jì)數(shù)單位的“累積”呢？讓學(xué)生談?wù)勛约旱氖斋@，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納并引發(fā)了學(xué)生新的思考，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)的本質(zhì)屬性。環(huán)節(jié)五 拓展延伸事實(shí)上，所有數(shù)都是基于計(jì)數(shù)單位來建構(gòu)的?！坝?jì)數(shù)單位”是針對個數(shù)與順序的計(jì)數(shù)單位，如同長度計(jì)量單位1m、1dm，二者均是“度量單位”，前者通過抽象得到，后者借助工具得到。有了計(jì)數(shù)單位，就克服了逐個計(jì)數(shù)的煩瑣與低效，提供了一個組（本質(zhì)上是一個標(biāo)準(zhǔn)量、單位量），一組一組地計(jì)數(shù)，這個“一組”就是計(jì)數(shù)單位。數(shù)的發(fā)展過程就是計(jì)數(shù)單位的發(fā)展過程。通過數(shù)學(xué)閱讀的方式，加深對計(jì)數(shù)單位的感悟。環(huán)節(jié)六 課后活動計(jì)算+，借助計(jì)算的過程和結(jié)果結(jié)合本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容方法再舉例，說一說自己對加法計(jì)算本質(zhì)的理解。生：+=+= 例，34.5+45.12=79.62 25+2321=2346 加法計(jì)算其實(shí)就是相同計(jì)數(shù)單位相加。讓學(xué)生將學(xué)習(xí)到的探究數(shù)的一致性方法用到加法運(yùn)算的一致性探究中去，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的遷移類推能力。

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