第10章二元一次方程組（典型30題專(zhuān)練） 一．選擇題（共8小題） 1．（2021秋?扶風(fēng)縣期末）已知是二元一次方程5x+3y＝1的一組解，則m的值是（　?。?A．3 B．﹣3 C． D． 【分析】知道了方程的解，可以把這對(duì)數(shù)值代入方程，得到一個(gè)含有未知數(shù)m的一元一次方程，從而可以求出m的值． 【解答】解：把代入二元一次方程5x+3y＝1得： 10+3m＝1， 解得：m＝﹣3， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是把方程的解代入原方程，使原方程轉(zhuǎn)化為以系數(shù)m為未知數(shù)的方程，一組數(shù)是方程的解，那么它一定滿(mǎn)足這個(gè)方程，利用方程的解的定義可以求方程中其他字母的值． 2．（2021?無(wú)錫）方程組的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】將兩個(gè)方程相加，可消去y，得到x的一元一次方程，從而解得x＝4，再將x＝4代入①解出y的值，即得答案． 【解答】解：， ①+②得：2x＝8， ∴x＝4， 把x＝4代入①得：4+y＝5， ∴y＝1， ∴方程組的解為． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是消元，常用消元的方法有代入消元法和加減消元法． 3．（2021秋?烈山區(qū)期末）已知是二元一次方程組的解，則m﹣n的值是（　?。?A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】把代入方程組得，于是得到結(jié)論． 【解答】解：把代入得， ∴m﹣n＝4， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解的定義是解題的關(guān)鍵． 4．（2021?石景山區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中《盈不足》卷記載了一道有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)物，人出八，贏(yíng)三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”譯文：“今有人合伙購(gòu)物，每人出8錢(qián)，會(huì)多出3錢(qián)；每人出7錢(qián)，又差4錢(qián)．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各多少？”設(shè)人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢(qián)，根據(jù)題意，下面所列方程組正確的是（　?。? A． B． C． D． 【分析】設(shè)人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢(qián)，根據(jù)“每人出8錢(qián)，會(huì)多出3錢(qián)；每人出7錢(qián)，又差4錢(qián)”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解． 【解答】解：設(shè)人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢(qián)， 依題意得：． 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵． 5．（2021春?越秀區(qū)期末）用一根長(zhǎng)80cm的繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，且這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬多10cm．設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm、寬為ycm，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，下列正確的是（　?。?A． B． C． D． 【分析】根據(jù)“長(zhǎng)方形的長(zhǎng)比寬長(zhǎng)10cm”可得到一個(gè)關(guān)于長(zhǎng)和寬的方程，再根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式可得另一個(gè)關(guān)于長(zhǎng)的寬的方程，從而確定方程組． 【解答】解：設(shè)這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為xcm、寬為ycm，由題意可得， ， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組的知識(shí)，利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來(lái)是解題的關(guān)鍵． 6．（2021?襄州區(qū)模擬）我國(guó)古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩(shī)：“我問(wèn)開(kāi)店李三公，眾客都來(lái)到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩(shī)中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無(wú)房??；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設(shè)該店有客房x間、房客y人，下列方程組中正確的是（　?。?A． B． C． D． 【分析】設(shè)該店有客房x間，房客y人；根據(jù)題意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程組即可． 【解答】解：設(shè)該店有客房x間，房客y人； 根據(jù)題意得：， 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；根據(jù)題意得出方程組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 7．（2021?蘇州）某公司上半年生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的無(wú)人機(jī)若干架，已知甲種型號(hào)無(wú)人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的一半多11架，乙種型號(hào)無(wú)人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一少2架．設(shè)甲種型號(hào)無(wú)人機(jī)x架，乙種型號(hào)無(wú)人機(jī)y架，根據(jù)題意可列出的方程組是（　?。?A． B． C． D． 【分析】設(shè)甲種型號(hào)無(wú)人機(jī)x架，乙種型號(hào)無(wú)人機(jī)y架，根據(jù)“甲種型號(hào)無(wú)人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的一半多11架，乙種型號(hào)無(wú)人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一少2架”列出方程組，此題得解． 【解答】解：設(shè)甲種型號(hào)無(wú)人機(jī)x架，乙種型號(hào)無(wú)人機(jī)y架，根據(jù)題意可列出的方程組是：． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，列方程組解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系． 8．（2021春?江都區(qū)校級(jí)期中）若a+2b﹣3c＝3，5a﹣6b+7c＝5，則a﹣6b+8c的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1 【分析】先把方程a+2b﹣3c＝3的左右兩邊同乘以3得到3a+6b﹣9c＝9，然后再同方程5a﹣6b+7c＝5相減即可得到答案． 【解答】解：∵a+2b﹣3c＝3， ∴3a+6b﹣9c＝9①， 又∵5a﹣6b+7c＝5②， ∴②﹣①得：2a﹣12b+16c＝﹣4． ∴a﹣6b+8c＝﹣2， 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是觀(guān)察給出的方程與要求得的方程之間的關(guān)系． 二．填空題（共7小題） 9．（2021秋?渭濱區(qū)期末）已知是方程3x﹣my＝7的一個(gè)解，則m＝　﹣?。?【分析】把方程的解代入方程可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值． 【解答】解： ∵是方程3x﹣my＝7的一個(gè)解， ∴把代入方程可得3×2﹣3m＝7，解得m＝﹣， 故答案為：﹣． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查方程解的定義，掌握方程的解滿(mǎn)足方程是解題的關(guān)鍵． 10．（2021秋?高州市期末）已知2xn﹣3﹣y2m+1＝0是關(guān)于x，y的二元一次方程，則nm＝　1?。?【分析】直接利用二元一次方程的定義分析得出答案． 【解答】解：∵2xn﹣3﹣y2m+1＝0是關(guān)于x，y的二元一次方程， ∴n﹣3＝1，2m+1＝1， 解得：n＝4，m＝0， 故nm＝1． 故答案為：1． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程的定義，正確得出n，m的值是解題關(guān)鍵． 11．（2021秋?大名縣期末）將方程2x+3y＝6寫(xiě)成用含x的代數(shù)式表示y，則y＝　?。?【分析】將x看作已知數(shù)求出y即可． 【解答】解：方程2x+3y＝6， 解得：y＝． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看作已知數(shù)求出y． 12．（2021秋?鳳翔縣期末）如圖所示的各圖表示由若干盆花組成的形如三角形的圖案，每條邊（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n＞1）盆花，每個(gè)圖案花盆的總數(shù)為s．按此規(guī)律推斷，以s、n為未知數(shù)的二元一次方程為　s＝3n﹣3?。? 【分析】由圖可知： 第一圖：有花盆3個(gè)，每條邊有花盆2個(gè)，那么s＝3×2﹣3； 第二圖：有花盆6個(gè)，每條邊有花盆3個(gè)，那么s＝3×3﹣3； 第三圖：有花盆9個(gè)，每條邊有花盆4個(gè)，那么s＝3×4﹣3； … 由此可知以s，n為未知數(shù)的二元一次方程為s＝3n﹣3． 【解答】解：根據(jù)圖案組成的是三角形的形狀，則其周長(zhǎng)等于邊長(zhǎng)的3倍，但由于每個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)了一次． 所以s＝3n﹣3． 故答案為：s＝3n﹣3． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程．要注意給出的圖片中所包含的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律列出方程． 13．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）定義一種新運(yùn)算“⊕”，規(guī)定：x⊕y＝ax+bxy，其中a，b為常數(shù)，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5，則a+b＝　3.5?。?【分析】首先根據(jù)題意，可得：，應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解是多少；然后把求出的a、b的值相加即可． 【解答】解：∵x⊕y＝ax+bxy，其中a，b為常數(shù)，且1⊕2＝4，2⊕（﹣1）＝5， ∴， ①+②，可得3a＝9， 解得a＝3， 把a(bǔ)＝3代入①，解得b＝0.5， ∴原方程組的解是， ∴a+b＝3+0.5＝3.5． 故答案為：3.5． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，要熟練掌握，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用． 14．（2021?通遼）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，則可列方程組為 　?。?【分析】設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，根據(jù)“用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解． 【解答】解：設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺， 依題意得：． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵． 15．（2021春?莘縣期末）甲、乙兩人共同解方程組，由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為，乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為，則a2020+（）2021＝　0?。?【分析】將代入第二個(gè)方程求得b，將代入第一個(gè)方程求得a，再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)即可． 【解答】解：∵由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為， ∴是4x﹣by＝﹣2的解． ∴﹣3×4﹣b＝﹣2． ∴b＝﹣10． ∵乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為， ∴是方程ax+5y＝15的解． ∴5a+20＝15． ∴a＝﹣1． ∴a2020+（）2021＝（﹣1）2020+（﹣1）2021＝1﹣1＝0． 故答案為：0． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組．利用方程組的解的意義求得a，b的值是解題的關(guān)鍵． 三．解答題（共15小題） 16．（2021春?武安市期末）解二元一次方程組． （1）有同學(xué)這么做：由②，得x＝2y+12．③ 將③代入①，得3（2y+12）+y＝1，解得y＝﹣5， 將y＝﹣5代入③，得x＝2，所以這個(gè)方程組的解為．該同學(xué)解這個(gè)方程組的過(guò)程中使用了代入消元法，目的是把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為 　一元一次方程　． （2）請(qǐng)你用加減消元法解該二元一次方程組． 【分析】（1）通過(guò)代入消元法，把含x，y的方程組轉(zhuǎn)化成只含y的一元一次方程； （2）把①乘以2，使y得系數(shù)變成2，而②中y的系數(shù)為﹣2，相加即可消去y，求得x的值，把x的值代入①中求得y的值即可得到方程組的解． 【解答】解：（1）原方程組中有兩個(gè)未知數(shù)x，y，把③代入①后，得到一個(gè)關(guān)于y的一元一次方程． 故答案為：一元一次方程． （2）， ①×2得：6x+2y＝2③， ②+③得：7x＝14， x＝2， 把x＝2代入①中得： 3×2+y＝1， 6+y＝1， y＝1﹣6， y＝﹣5． ∴方程組的解為． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的解法，考核學(xué)生的計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是通過(guò)消元把方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程． 17．（2021春?清河縣期末）疫情初期，武漢物資告急，全國(guó)一心，各地紛紛運(yùn)送物資到武漢．已知3輛大貨車(chē)與2輛小貨車(chē)可以一次運(yùn)貨17噸，5輛大貨車(chē)與4輛小貨車(chē)可以一次運(yùn)貨29噸，則2輛大貨車(chē)與1輛小貨車(chē)可以一次運(yùn)貨多少?lài)崳?【分析】設(shè)1輛大貨車(chē)一次運(yùn)貨x噸，1輛小貨車(chē)一次運(yùn)貨y噸，根據(jù)“3輛大貨車(chē)與2輛小貨車(chē)可以一次運(yùn)貨17噸，5輛大貨車(chē)與4輛小貨車(chē)可以一次運(yùn)貨29噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，將其代入（2x+y）中即可求出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)1輛大貨車(chē)一次運(yùn)貨x噸，1輛小貨車(chē)一次運(yùn)貨y噸， 依題意，得：， 解得：， ∴2x+y＝11． 答：2輛大貨車(chē)與1輛小貨車(chē)可以一次運(yùn)貨11噸． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵． 18．（2020秋?鼓樓區(qū)期末）閱讀下面材料 兩位同學(xué)在用標(biāo)有數(shù)字1，2，…，9的9張卡片做游戲． 甲同學(xué)：“你先從這9張卡片中隨意抽取兩張（按抽取的先后順序分別稱(chēng)為“卡片A”和“卡片B”），別告訴我卡片上是什么數(shù)字，然后你把卡片A上的數(shù)字乘以5，加上7，再乘以2，再加上卡片B上的數(shù)字，把最后得到的數(shù)M的值告訴我，我就能猜出你抽出的是哪兩張卡片啦!” 乙同學(xué)：“這么神奇？我不信” …… 試驗(yàn)一下： （1）如果乙同學(xué)抽出的卡片A上的數(shù)字為2，卡片B上的數(shù)字為5，他最后得到的數(shù)M＝　39?。?（2）若乙同學(xué)最后得到的數(shù)M＝57，則卡片A上的數(shù)字為　4　，卡片B上的數(shù)字為　3?。?解密： 請(qǐng)你說(shuō)明：對(duì)任意告知的數(shù)M，甲同學(xué)是如何猜到卡片的． 【分析】（1）根據(jù)游戲規(guī)則計(jì)算M的值即可； （2）根據(jù)游戲規(guī)則表示M，為一個(gè)二元一次方程，取整數(shù)解即可； 解密： 設(shè)卡片A上的數(shù)字為x，卡片B上的數(shù)字為y，則M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14，M﹣14＝10x+y，可得結(jié)論． 【解答】解：（1）M＝（2×5+7）×2+5＝39， 故答案為：39； （2）設(shè)卡片A上的數(shù)字為x，卡片B上的數(shù)字為y， 則（5x+7）×2+y＝57， 10x+14+y＝57， 10x+y＝43， ∵x、y都是1至9這9個(gè)數(shù)字， ∴x＝4，y＝3， 故答案為：4，3； 解密： 設(shè)卡片A上的數(shù)字為x，卡片B上的數(shù)字為y（其中x、y為1，2，…，9這9個(gè)數(shù)字）， 則M＝2（5x+7）+y＝（10x+y）+14， 得：M﹣14＝10x+y，其中十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y， 所以由給出的M的值減去14，所得兩位數(shù)十位上的數(shù)字為卡片A上的數(shù)字x，個(gè)位數(shù)上的數(shù)字為卡片B上的數(shù)字y． 【點(diǎn)評(píng)】本題是閱讀型問(wèn)題，考查了學(xué)生有理數(shù)的加法和乘法，及規(guī)律計(jì)算問(wèn)題，注意理解材料中M的由來(lái)． 19．（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知關(guān)于x、y的方程組與有相同的解，求a、b的值． 【分析】根據(jù)已知條件，知x，y的值適合四個(gè)方程，故可以聯(lián)立解方程組，求得x，y的值后，再聯(lián)立解方程組，從而求解． 【解答】解：根據(jù)題意得， 解得， 把代入含有a，b的兩個(gè)方程得， 解得． 【點(diǎn)評(píng)】考查了二元一次方程組的解，此題首先聯(lián)立方程組求得x，y的值，再進(jìn)一步得到關(guān)于a，b的方程組計(jì)算求解． 20．（2021春?建湖縣月考）已知|y﹣x﹣3|+（4x+2y）2＝0，求﹣（x+y）2020的值． 【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，求出x+y的值，代入原式計(jì)算即可求出值． 【解答】解：∵|y﹣x﹣3|+（4x+2y）2＝0， ∴， ①+②得：3x+3y＝3，即x+y＝1， 則原式＝﹣1． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法． 21．（2021?吳興區(qū)二模）解方程組：． 【分析】解此題時(shí)先找出某個(gè)未知數(shù)系數(shù)的最小公倍數(shù)，用加減消元法進(jìn)行解答． 【解答】解：原方程組變形為：， （1）﹣（2）得：y＝﹣， 代入（1）得：x＝6． 所以原方程組的解為． 【點(diǎn)評(píng)】此題較簡(jiǎn)單，只要明白二元一次方程及方程組的解法就可． 22．（2021?商河縣校級(jí)模擬）某一天，水果經(jīng)營(yíng)戶(hù)老張用1600元從水果批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)獼猴桃和芒果共50千克，后再到水果市場(chǎng)去賣(mài)，已知獼猴桃和芒果當(dāng)天的批發(fā)價(jià)和零售價(jià)如表所示： （1）他購(gòu)進(jìn)的獼猴桃和芒果各多少千克？ （2）如果獼猴桃和芒果全部賣(mài)完，他能賺多少錢(qián)？ 【分析】（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)獼猴桃x千克，購(gòu)進(jìn)芒果y千克，由總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量結(jié)合老張用1600元從水果批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)獼猴桃和芒果共50千克，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入﹣成本，即可求出結(jié)論． 【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)獼猴桃x千克，購(gòu)進(jìn)芒果y千克， 根據(jù)題意得：， 解得：． 答：購(gòu)進(jìn)獼猴桃20千克，購(gòu)進(jìn)芒果30千克． （2）26×20+50×30﹣1600＝420（元）． 答：如果獼猴桃和芒果全部賣(mài)完，他能賺420元錢(qián)． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計(jì)算． 23．（2021春?柳南區(qū)校級(jí)期中）解方程組 （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用代入消元法求解即可； （2）直接把兩個(gè)方程相減消元求解即可； （3）方程組化簡(jiǎn)后，利用加減消元法求解即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②，得2x+3（3x﹣6）＝15，解得x＝3， 把x＝3代入①，得y＝9﹣6＝3， 故方程組的解為； （2）， ②﹣①，得5y＝﹣3，解得， 把代入①，得，解得， 故方程組的解為； （3）原方程組化簡(jiǎn)得， ①+②×2，得5x＝10，解得x＝2， 把x＝2代入②，得4﹣y＝1，解得y＝3， 故方程組的解為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組：利用加減消元或代入消元法把二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解． 24．（2021秋?乾縣期末）將一批抗疫物資運(yùn)往武漢，貨主準(zhǔn)備租用汽車(chē)運(yùn)輸公司的甲、乙兩種貨車(chē)，已知過(guò)去兩次租用這兩種貨車(chē)的情況如下表： （1）甲、乙兩種貨車(chē)每輛分別能裝貨多少?lài)崳?（2）現(xiàn)有45噸物資需要再次運(yùn)往武漢，準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車(chē)，每輛均全部裝滿(mǎn)貨物，問(wèn)有哪幾種租車(chē)方案？請(qǐng)全部設(shè)計(jì)出來(lái)． 【分析】（1）設(shè)每輛甲種貨車(chē)能裝貨x噸，每輛乙種貨車(chē)能裝貨y噸，根據(jù)第一次及第二次租用兩種貨車(chē)的運(yùn)貨情況，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論； （2）設(shè)租用m輛甲種貨車(chē)，n輛乙種貨車(chē)，根據(jù)要一次運(yùn)送45噸物質(zhì)，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各租車(chē)方案． 【解答】解：（1）設(shè)每輛甲種貨車(chē)能裝貨x噸，每輛乙種貨車(chē)能裝貨y噸， 依題意，得：， 解得：． 答：每輛甲種貨車(chē)能裝貨4噸，每輛乙種貨車(chē)能裝貨3噸． （2）設(shè)租用m輛甲種貨車(chē)，n輛乙種貨車(chē)， 依題意，得：4m+3n＝45， ∴n＝15﹣m， 又∵m，n均為正整數(shù)， ∴或或， ∴共有3種租車(chē)方案，方案1：租用3輛甲種貨車(chē)，11輛乙種貨車(chē)；方案2：租用6輛甲種貨車(chē)，7輛乙種貨車(chē)；方案3：租用9輛甲種貨車(chē)，3輛乙種貨車(chē)． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程． 25．（2021?婁星區(qū)模擬）為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的目標(biāo)，某校計(jì)劃為學(xué)校足球隊(duì)購(gòu)買(mǎi)一批足球，已知購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A品牌的足球和3個(gè)B品牌的足球共需380元；購(gòu)買(mǎi)4個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球共需360元． （1）求A，B兩種品牌的足球的單價(jià)． （2）該校打算通過(guò)“京東商城”網(wǎng)購(gòu)20個(gè)A品牌的足球和3個(gè)B品牌的足球，“五一”期間商城打折促銷(xiāo)，其中A品牌打八折，B品牌打九折，問(wèn)：學(xué)校購(gòu)買(mǎi)打折后的足球所花的費(fèi)用比打折前節(jié)省了多少錢(qián)？ 【分析】（1）設(shè)A品牌的足球的單價(jià)為x元/個(gè)，B品牌的足球的單價(jià)為y元/個(gè)，根據(jù)“購(gòu)買(mǎi)2個(gè)A品牌的足球和3個(gè)B品牌的足球共需380元；購(gòu)買(mǎi)4個(gè)A品牌的足球和2個(gè)B品牌的足球共需360元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論； （2）根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，列式計(jì)算，即可求出結(jié)論． 【解答】解：（1）設(shè)A品牌的足球的單價(jià)為x元/個(gè)，B品牌的足球的單價(jià)為y元/個(gè)， 根據(jù)題意得：， 解得：． 答：A品牌的足球的單價(jià)為40元/個(gè)，B品牌的足球的單價(jià)為100元/個(gè)． （2）20×40×（1﹣0.8）+3×100×（1﹣0.9）＝190（元）． 答：學(xué)校購(gòu)買(mǎi)打折后的足球所花的費(fèi)用比打折前節(jié)省了190元． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，列式計(jì)算． 26．（2021秋?辛集市期末）某中學(xué)為了表彰在書(shū)法比賽中成績(jī)突出的學(xué)生，購(gòu)買(mǎi)了鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元，其中每支毛筆比鋼筆貴4元． （1）求鋼筆和毛筆的單價(jià)各為多少元？ （2）①學(xué)校仍需要購(gòu)買(mǎi)上面的兩種筆共105支（每種筆的單價(jià)不變）．陳老師做完預(yù)算后，向財(cái)務(wù)處王老師說(shuō)：“我這次買(mǎi)這兩種筆需支領(lǐng)2447元．”王老師算了一下，說(shuō)：“如果你用這些錢(qián)只買(mǎi)這兩種筆，那么賬肯定算錯(cuò)了．”請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的方程知識(shí)解釋王老師為什么說(shuō)他用這些錢(qián)只買(mǎi)這兩種筆的賬算錯(cuò)了． ②陳老師突然想起，所做的預(yù)算中還包括校長(zhǎng)讓他買(mǎi)的一支簽字筆．如果簽字筆的單價(jià)為小于10元的整數(shù)，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算，直接寫(xiě)出簽字筆的單價(jià)可能為 　2或6　元． 【分析】（1）設(shè)鋼筆的單價(jià)為x元，則毛筆的單價(jià)為（x+4）元．根據(jù)買(mǎi)鋼筆30支，毛筆45支，共用了1755元建立方程，求出其解即可； （2）①根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為y支，所以單價(jià)為25元的毛筆則為（105﹣y）支，求出方程的解不是整數(shù)則說(shuō)明算錯(cuò)了； ②設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為z支，單價(jià)為25元的毛筆則為（105﹣y）支，簽字筆的單價(jià)為a元，根據(jù)條件建立方程求出其解就可以得出結(jié)論． 【解答】解：（1）設(shè)鋼筆的單價(jià)為x元，則毛筆的單價(jià)為（x+4）元．由題意得： 30x+45（x+4）＝1755， 解得：x＝21， ∴毛筆的單價(jià)為：x+4＝25． 答：鋼筆的單價(jià)為21元，毛筆的單價(jià)為25元． （2）①設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為y支，所以單價(jià)為25元的毛筆則為（105﹣y）支．根據(jù)題意，得 21y+25（105﹣y）＝2447． 解之得：y＝44.5 （不符合題意）． ∴陳老師肯定搞錯(cuò)了． ②設(shè)單價(jià)為21元的鋼筆為z支，簽字筆的單價(jià)為a元，則根據(jù)題意，得 21z+25（105﹣z）＝2447﹣a． ∴4z＝178+a， ∵a、z都是整數(shù)， ∴178+a應(yīng)被4整除， ∴a為偶數(shù)，又因?yàn)閍為小于10元的整數(shù)， ∴a可能為2、4、6、8． 當(dāng)a＝2時(shí)，4z＝180，z＝45，符合題意； 當(dāng)a＝4時(shí)，4z＝182，z＝45.5，不符合題意； 當(dāng)a＝6時(shí)，4z＝184，z＝46，符合題意； 當(dāng)a＝8時(shí)，4z＝186，z＝46.5，不符合題意． 所以簽字筆的單價(jià)可能2元或6元． 故答案為：2元或6元． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，列一元一次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用及二元一次不定方程的運(yùn)用，在解答時(shí)根據(jù)題意等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵． 27．（2021?揚(yáng)州）已知方程組的解也是關(guān)于x、y的方程ax+y＝4的一個(gè)解，求a的值． 【分析】求出方程組的解得到x與y的值，代入方程計(jì)算即可求出a的值． 【解答】解：方程組， 把②代入①得：2(y﹣1)+y＝7， 解得：y＝3，代入①中， 解得：x＝2， 把x＝2，y＝3代入方程ax+y＝4得，2a+3＝4， 解得：a＝． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值． 28．（2012?黔東南州）解方程組． 【分析】利用加減法消掉一個(gè)未知數(shù)，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再進(jìn)行解答． 【解答】解： ③+①得，3x+5y＝11④， ③×2+②得，3x+3y＝9⑤， ④﹣⑤得2y＝2，y＝1， 將y＝1代入⑤得，3x＝6， x＝2， 將x＝2，y＝1代入①得，z＝6﹣2×2﹣3×1＝﹣1， ∴方程組的解為． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三元一次方程組，需要對(duì)三元一次方程組的定義有一個(gè)深刻的理解．方程組有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程的未知項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組，叫三元一次方程組．通過(guò)解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進(jìn)一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．解題之前先觀(guān)察方程組中的方程的系數(shù)特點(diǎn)，認(rèn)準(zhǔn)易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，得到由另外兩個(gè)未知數(shù)組成的二元一次方程組． 29．（2021?蘇州一模）閱讀材料：善于思考的小明在解方程組時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法，解法如下： 解：將方程②8x+20y+2y＝10，變形為2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，則y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程組的解為： 請(qǐng)你解決以下問(wèn)題： （1）試用小明的“整體代換”的方法解方程組 （2）已知x、y、z，滿(mǎn)足試求z的值． 【分析】（1）將②變形后代入方程解答即可； （2）將原方程變形后利用加減消元解答即可． 【解答】解：（1） 將②變形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④ 將①代入④得 3×7+4y＝11 y＝ 把y＝代入①得， ∴方程組的解為 （2） 由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③ 由②得2（x+4y）+z＝36 ④ ③×2﹣④×3得z＝2 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組，能把二元一次方程組轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵，用了整體代入思想． 30．（2021春?姑蘇區(qū)期末）閱讀以下內(nèi)容： 已知實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)足m+n＝5，且求k的值， 三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路： 甲同學(xué)：先解關(guān)于m，n的方程組，再求k的值、 乙同學(xué)：將原方程組中的兩個(gè)方程相加，再求k的值 丙同學(xué)：先解方程組，再求k的值 （1）試選擇其中一名同學(xué)的思路，解答此題 （2）試說(shuō)明在關(guān)于x、y的方程組中，不論a取什么實(shí)數(shù)，x+y的值始終不變． 【分析】（1）①+②可得17（m+n）＝11k﹣3，因?yàn)閙+n＝5，整體代入求出k即可； （2）①×3+②消去a即可判斷； 【解答】解：（1）， ①+②得到，17（m+n）＝11k﹣3， ∵m+n＝5， ∴17×5＝11k﹣3 解得k＝8． （2） ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴不論a取什么實(shí)數(shù)，x+y的值始終不變． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用整體的思想考慮問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 品名獼猴桃芒果批發(fā)價(jià)（元/千克）2040零售價(jià)（元/千克）2650甲種貨車(chē)（輛）乙種貨車(chē)（輛）總量（噸）第一次4531第二次3630

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