第9章 整式乘法與因式分解（壓軸30題專練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下學(xué)期考試滿分全攻略（蘇科版）

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第9章整式乘法與因式分解（壓軸30題專練） 一．選擇題（共8小題） 1．（2016?濱?？h二模）把三張大小相同的正方形卡片A、B、C疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若按圖1擺放時，陰影部分的面積為S1；若按圖2擺放時，陰影部分的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（　?。? A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．無法確定 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以把兩塊陰影部分合并后計算面積，然后，比較S1和S2的大小． 【解答】解：設(shè)底面的正方形的邊長為a，正方形卡片A，B，C的邊長為b， 由圖1，得S1＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2， 由圖2，得S2＝（a﹣b）（a﹣b）＝（a﹣b）2， ∴S1＝S2． 故選：C． 【點評】本題主要考查了正方形四條邊相等的性質(zhì)，分別得出S1和S2的面積是解題關(guān)鍵． 2．（2014?徐匯區(qū)校級自主招生）已知x2+ax﹣12能分解成兩個整數(shù)系數(shù)的一次因式的積，則整數(shù)a的個數(shù)有（　?。?A．0 B．2 C．4 D．6 【分析】根據(jù)十字相乘法分解因式，﹣12可以分解成﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4），a等于分成的兩個數(shù)的和，然后計算即可得解． 【解答】解：∵﹣1×12，1×（﹣12），﹣2×6，2×（﹣6），﹣3×4，3×（﹣4）， ∴a＝﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣3+4＝1，3+（﹣4）＝﹣1， 即a＝±11，±4，±1共6個． 故選：D． 【點評】本題主要考查了十字相乘法進行因式分解，準(zhǔn)確分解﹣12是解題的關(guān)鍵． 3．（2009?江干區(qū)模擬）如圖，長方形內(nèi)的陰影部分是由四個半圓圍成的圖形，則陰影部分的面積是（　?。? A． B． C． D． 【分析】觀察圖形可知：陰影部分的面積＝大圓的面積﹣小圓的面積，大圓的直徑＝a，小圓的半徑＝，再根據(jù)圓的面積公式求解即可． 【解答】解：據(jù)題意可知：陰影部分的面積S＝大圓的面積S1﹣小圓的面積S2， ∵據(jù)圖可知大圓的直徑＝a，小圓的半徑＝， ∴陰影部分的面積S＝π（）2﹣π（）2＝π（2ab﹣b2）． 故選：A． 【點評】此題主要考查學(xué)生的觀察能力，只要判斷出兩圓的直徑，問題就迎刃而解．本題涉及到圓的面積公式、整式的混合運算等知識點，是整式的運算與幾何相結(jié)合的綜合題． 4．（2009?眉山）下列運算正確的是（　?。?A．（x2）3＝x5 B．3x2+4x2＝7x4 C．（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6 D．﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3﹣x2﹣x 【分析】根據(jù)冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；合并同類項的法則；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；單項式乘多項式的法則，對各選項分析判斷后利用排除法求解． 【解答】解：A、應(yīng)為（x2）3＝x6，故本選項錯誤； B、應(yīng)為3x2+4x2＝7x2，故本選項錯誤； C、（﹣x）9÷（﹣x）3＝x6正確． D、應(yīng)為﹣x（x2﹣x+1）＝﹣x3+x2﹣x，故本選項錯誤； 故選：C． 【點評】本題考查冪的乘方，合并同類項，同底數(shù)冪的除法，單項式乘多項式，熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵． 5．（2007?崇安區(qū)一模）如圖，在邊長為a的正方形上剪去一個邊長為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一個梯形，分別計算這兩個圖形陰影部分的面積，由此可以驗證的等式是（　?。? A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣ab＝a（a﹣b） 【分析】根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個圖形陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【解答】解：陰影部分的面積＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故選：A． 【點評】此題主要考查了平方差公式．即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，這個公式就叫做平方差公式． 6．（2005?成都）把多項式（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）提取公因式（m﹣1）后，余下的部分是（　?。?A．m+1 B．2m C．2 D．m+2 【分析】先提取公因式（m﹣1）后，得出余下的部分． 【解答】解：（m+1）（m﹣1）+（m﹣1）， ＝（m﹣1）（m+1+1）， ＝（m﹣1）（m+2）． 故選：D． 【點評】先提取公因式，進行因式分解，要注意m﹣1提取公因式后還剩1． 7．（2017?興寧區(qū)校級自主招生）已知，則的值為（　?。?A． B． C． D．或1 【分析】|x|一定是非負數(shù)，，那么一定為正數(shù)，進而先求得（）2的值，最后求得其算術(shù)平方根即為所求的值． 【解答】解：∵﹣|x|＝1， ∴x＞0 ∴+|x|＞0， ∵（）2＝（﹣|x|）2+4＝5， ∴+|x|＝， 故選：B． 【點評】綜合考查了絕對值及完全平方公式的知識；得到x的取值是解決本題的突破點；求兩數(shù)的和，先求得兩數(shù)的和的平方是解決本題的基本思路． 8．（2013?寧波）7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設(shè)左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當(dāng)BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（　?。? A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＝3b C．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)＝4b 【分析】表示出左上角與右下角部分的面積，求出之差，根據(jù)差與BC無關(guān)即可求出a與b的關(guān)系式． 【解答】解：左上角陰影部分的長為AE，寬為AF＝3b，右下角陰影部分的長為PC，寬為a， ∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC， ∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a， ∴陰影部分面積之差S＝AE?AF﹣PC?CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab， 則3b﹣a＝0，即a＝3b． 解法二：既然BC是變化的，當(dāng)點P與點C重合開始，然后BC向右伸展， 設(shè)向右伸展長度為X，左上陰影增加的是3bX，右下陰影增加的是aX，因為S不變， ∴增加的面積相等， ∴3bX＝aX， ∴a＝3b． 故選：B． 【點評】此題考查了整式的混合運算的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵． 二．填空題（共12小題） 9．（2012?佛山）如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為　2m+4?。? 【分析】根據(jù)拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式整理即可得解． 【解答】解：設(shè)拼成的矩形的另一邊長為x， 則4x＝（m+4）2﹣m2＝（m+4+m）（m+4﹣m）， 解得x＝2m+4． 故答案為：2m+4． 【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列式是解題的關(guān)鍵． 10．（2012?泰州）若代數(shù)式x2+3x+2可以表示為（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，則a+b的值是　11?。?【分析】利用x2+3x+2＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，將原式進行化簡，得出a，b的值，進而得出答案． 【解答】解：∵x2+3x+2 ＝（x﹣1）2+a（x﹣1）+b ＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）， ∴a﹣2＝3， ∴a＝5， ∵b﹣a+1＝2， ∴b﹣5+1＝2， ∴b＝6， ∴a+b＝5+6＝11， 故答案為：11． 【點評】此題主要考查了整式的混合運算與化簡，根據(jù)已知得出x2+3x+2＝x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1）是解題關(guān)鍵． 11．（2008?衡陽）觀察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1， 根據(jù)前面各式的規(guī)律可得（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　xn+1﹣1?。ㄆ渲衝為正整數(shù)）． 【分析】觀察其右邊的結(jié)果：第一個是x2﹣1；第二個是x3﹣1；…依此類推，則第n個的結(jié)果即可求得． 【解答】解：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…x+1）＝xn+1﹣1． 故答案為：xn+1﹣1． 【點評】本題考查了平方差公式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：右邊x的指數(shù)正好比前邊x的最高指數(shù)大1是解題的關(guān)鍵． 12．（2014?臨淄區(qū)模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在AB邊上．四邊形EFGB也為正方形，則△AFC的面積S為　2?。? 【分析】根據(jù)即可推出S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF，然后根據(jù)梯形、三角形的面積公式表示出陰影部分的面積，由CG＝BC+BG，AB＝BC＝CD＝AD，EF＝FG＝GB＝BE，經(jīng)過等量代換后，即可推出陰影部分的面積． 【解答】解：∵正方形ABCD和正方形EFGB， ∴AB＝BC＝CD＝AD，EF＝FG＝GB＝BE， ∵正方形ABCD的邊長為2， ∴S△AFC＝S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF ＝×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×CG ＝×（FG+AB）×BG+×AB×BC﹣×FG×（BC+BG） ＝×FG2+FG+2﹣FG﹣×FG2 ＝2． 解法二：連接FB ∵∠CAB＝∠ABF＝45° ∴FB∥AC 又∵△ABC和△AFC有同底AC且等高 ∴S△AFC＝S△ABC＝×2×2＝2 故答案為：2． 【點評】本題主要考查整式的混合運算，梯形的面積、三角形的面積、正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形推出S△AFC＝S梯形ABGF+S△ABC﹣S△CGF． 13．（2012?黔西南州）分解因式：a4﹣16a2＝　a2（a+4）（a﹣4）?。?【分析】先提取公因式a2，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)因式分解． 【解答】解：a4﹣16a2， ＝a2（a2﹣16）， ＝a2（a+4）（a﹣4）． 故答案為：a2（a+4）（a﹣4）． 【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，注意提取公因式后還可以利用平方差公式繼續(xù)分解因式，因式分解一定要徹底． 14．（2012?仙桃）如圖，線段AC＝n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB＝1時，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB＝2時，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB＝3時，△AME的面積記為S3；…當(dāng)AB＝n時，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1＝　?。? 【分析】方法一：根據(jù)連接BE，則BE∥AM，利用△AME的面積＝△AMB的面積即可得出Sn＝n2，Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣n+，即可得出答案． 方法二：根據(jù)題意得出圖象，根據(jù)當(dāng)AB＝n時，BC＝1，得出Sn＝S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM，得出S與n的關(guān)系，進而得出當(dāng)AB＝n﹣1時，BC＝2，Sn﹣1＝n2﹣n+，即可得出Sn﹣Sn﹣1的值． 【解答】解：方法一：連接BE． ∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF， ∴BE∥AM， ∴△AME與△AMB同底等高， ∴△AME的面積＝△AMB的面積， ∴當(dāng)AB＝n時，△AME的面積記為Sn＝n2， Sn﹣1＝（n﹣1）2＝n2﹣n+， ∴當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1＝． 方法二：如圖所示：延長CE與NM，交于點Q， ∵線段AC＝n+1（其中n為正整數(shù)）， ∴當(dāng)AB＝n時，BC＝1， ∴當(dāng)△AME的面積記為： Sn＝S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM， ＝n（n+1）﹣×1×（n+1）﹣×1×（n﹣1）﹣×n×n， ＝n2， 當(dāng)AB＝n﹣1時，BC＝2， ∴此時△AME的面積記為： Sn﹣1＝S矩形ACQN﹣S△ACE﹣S△MQE﹣S△ANM， ＝（n+1）（n﹣1）﹣×2×（n+1）﹣×2×（n﹣3）﹣×（n﹣1）（n﹣1）， ＝n2﹣n+， ∴當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n2﹣n+）＝n﹣＝． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了三角形面積求法以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出正確圖形，得出S與n的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 15．（2012?菏澤）將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成，定義＝ad﹣bc，上述記號就叫做2階行列式．若，則x＝　2?。?【分析】根據(jù)題中的新定義將所求的方程化為普通方程，整理后即可求出方程的解，即為x的值． 【解答】解：根據(jù)題意化簡＝8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2＝8， 整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8＝0，即4x＝8， 解得：x＝2． 故答案為：2 【點評】此題考查了整式的混合運算，屬于新定義的題型，涉及的知識有：完全平方公式，去括號、合并同類項法則，根據(jù)題意將所求的方程化為普通方程是解本題的關(guān)鍵． 16．（2011?樂山）若m為正實數(shù)，且m﹣＝3，則m2﹣＝　3?。?【分析】由，得m2﹣3m﹣1＝0，即＝，因為m為正實數(shù)，可得出m的值，代入，解答出即可； 【解答】解：法一：由得， 得m2﹣3m﹣1＝0，即＝， ∴m1＝，m2＝， 因為m為正實數(shù)，∴m＝， ∴＝（）（） ＝3×（）， ＝3×， ＝； 法二：由平方得：m2+﹣2＝9， m2++2＝13，即（m+）2＝13，又m為正實數(shù)， ∴m+＝， 則＝（m+）（m﹣）＝3． 故答案為：． 【點評】本題考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要把代數(shù)式分解完全，可簡化計算步驟． 17．（2011?安徽）定義運算a?b＝a（1﹣b），下列給出了關(guān)于這種運算的幾個結(jié)論： ①2?（﹣2）＝6； ②a?b＝b?a； ③若a+b＝0，則（a?a）+（b?b）＝2ab； ④若a?b＝0，則a＝0． 其中正確結(jié)論的序號是?、佗邸。ㄔ跈M線上填上你認為所有正確結(jié)論的序號） 【分析】本題需先根據(jù)a?b＝a（1﹣b）的運算法則，分別對每一項進行計算得出正確結(jié)果，最后判斷出所選的結(jié)論． 【解答】解：∵a?b＝a（1﹣b）， ①2?（﹣2）＝6 ＝2×[1﹣（﹣2）] ＝2×3 ＝6 故本選項正確； ②a?b ＝a×（1﹣b） ＝a﹣ab b?a ＝b（1﹣a） ＝b﹣ab， 故本選項錯誤； ③∵（a?a）+（b?b） ＝[a（1﹣a）]+[b（1﹣b）] ＝a﹣a2+b﹣b2， ∵a+b＝0， ∴原式＝（a+b）﹣（a2+b2） ＝0﹣[（a+b）2﹣2ab] ＝2ab， 故本選項正確； ④∵a?b ＝a（1﹣b）＝0， ∴a＝0錯誤． 故答案為：①③ 【點評】本題主要考查了整式的混合運算，在解題時要根據(jù)所提供的公式是解題的關(guān)鍵． 18．（2011?保山）若a+b＝3，ab＝2，則a2b+ab2＝　6?。?【分析】將所求式子提取公因式ab，再整體代入求值． 【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b）＝2×3＝6． 故答案為：6． 【點評】本題考查了因式分解法的運用．根據(jù)所求的式子，合理地選擇因式分解的方法． 19．（2008?鹽城）如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，則需要C類卡片　3　張． 【分析】拼成的大長方形的面積是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一個邊長為a的正方形，2個邊長為b的正方形和3個C類卡片的面積是3ab． 【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 則需要C類卡片3張． 故答案為：3． 【點評】本題考查了多項式乘多項式的運算，需要熟練掌握運算法則并靈活運用，利用各個面積之和等于總的面積也比較關(guān)鍵． 20．（2010?常熟市校級二模）如圖有A、B、C、D、E五個居民點，每天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），交通狀況和每相鄰兩個居民點的距離如圖所示，現(xiàn)要建一座垃圾中轉(zhuǎn)站（只能建在A、B、C、D、E的其中一處），這五個居民點的垃圾都運到此中轉(zhuǎn)站，那么中轉(zhuǎn)站建在何處，才能使總的運輸量最??？（圓圈內(nèi)的數(shù)字為垃圾量，線段上的字母表示距離，b＜a＜c）．中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在 　B　處． 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形給出的數(shù)據(jù)，運用整式的加減計算總的運輸量，比較大小，選取中轉(zhuǎn)站的位置． 【解答】解：在A處：3a+6a+4（a+c）+5（b+a）＝18a+5b+4c， 在B處：7a+4c+5b+3（a+b）＝10a+8b+4c， 在C處：7（a+c）+5a+3×2a+6c＝18a+13c， 在D處：7（a+b）+6b+3a+4a＝14a+13b， 在E處：7a+6（a+b）+4×2a+5a＝26a+6b， ∵b＜a＜c， E處的距離﹣D處的距離＝26a+6b﹣（14a+13b）＝12a﹣7b＝7a﹣7b+5a＞0， 故在點E、D兩個點，中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在D處，可以使總的運輸量最小， 同理驗證其他點和點D的距離，均可得到中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在D處，可以使總的運輸量最小， ∵B處的距離﹣D處的距離＝10a+8b+4c﹣（14a﹣13b）＝4（c﹣a﹣b）﹣b， ∵a+b＞c， ∴4（c﹣a﹣b）﹣b＜0， ∴中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在B處，可以使總的運輸量最?。?【點評】解決此類題目的關(guān)鍵是熟記合并同類項的法則，這是各地中考的?？键c． 三．解答題（共10小題） 21．（2015春?建鄴區(qū)期中）我們知道簡便計算的好處，事實上，簡便計算在好多地方都存在，觀察下列等式： 152＝1×2×100+25＝225， 252＝2×3×100+25＝625， 352＝3×4×100+25＝1225， … （1）根據(jù)上述各式反應(yīng)出的規(guī)律填空：952＝　9×10×100+25?。?025． （2）設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，請用一個含a的代數(shù)式表示其結(jié)果　100a（a+1）+25　， （3）這種簡便計算也可以推廣應(yīng)用： ①個位數(shù)字是5的三位數(shù)的平方，請寫出1952的簡便計算過程及結(jié)果， ②十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，請寫出89×81的簡便計算過程和結(jié)果． 【分析】（1）根據(jù)152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，可得952＝9×10×100+25，據(jù)此解答即可． （2）根據(jù)152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…，可得（10a+5）2＝a×（a+1）×100+25，據(jù)此解答即可． （3）①1952＝前兩位數(shù)字×（前兩位數(shù)字+1）×100+25，據(jù)此解答即可． ②根據(jù)89×81＝（85+4）×（85﹣4），求出89×81的結(jié)果是多少即可． 【解答】解：（1）∵152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…， ∴952＝9×10×100+25＝9025． （2）∵152＝1×2×100+25＝225，252＝2×3×100+25＝625，352＝3×4×100+25＝1225，…， ∴（10a+5）2＝a×（a+1）×100+25＝100a（a+1）+25． （3）①1952＝19×20×100+25＝38025． ②89×81 ＝（85+4）×（85﹣4） ＝852﹣42 ＝8×9×100+25﹣16 ＝7200+25﹣16 ＝7209 故答案為：9025、100a（a+1）+25． 【點評】（1）此題主要考查了平方差公式，要熟練掌握，應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；③公式中的a和b可以是具體數(shù)，也可以是單項式或多項式；④對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便． （2）此題還考查了同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①底數(shù)必須相同；②按照運算性質(zhì)，只有相乘時才是底數(shù)不變，指數(shù)相加． （3）此題還考查了冪的乘方和積的乘方，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）；②（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）． （4）此題還考查了合并同類項的方法，要熟練掌握． 22．（2012?斗門區(qū)一模）對于任何實數(shù)a，b，c，d，我們規(guī)定符號的意義是＝ad﹣bc． （1）按照這個規(guī)定請你計算的值； （2）按照這個規(guī)定請你計算：當(dāng)x2﹣3x+1＝0時，的值． 【分析】（1）根據(jù)＝ad﹣bc，把展開計算即可； （2）先把展開，再去括號、合并，最后把x2﹣3x的值整體代入計算即可． 【解答】解：（1）＝5×8﹣6×7＝﹣2； （2）＝（x+1）（x﹣1）﹣3x（x﹣2）＝x2﹣1﹣3x2+6x＝﹣2x2+6x﹣1， ∵x2﹣3x+1＝0， ∴x2﹣3x＝﹣1， ∴﹣2x2+6x﹣1＝﹣2（x2﹣3x）﹣1＝﹣2×（﹣1）﹣1＝1． 【點評】本題考查了整式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是去括號、合并同類項，以及整體代入． 23．（2009?佛山）閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三種不同形式的配方（即“余項”分別是常數(shù)項、一次項、二次項﹣﹣見橫線上的部分）． 請根據(jù)閱讀材料解決下列問題： （1）比照上面的例子，寫出x2﹣4x+2三種不同形式的配方； （2）將a2+ab+b2配方（至少兩種形式）； （3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）（2）本題考查對完全平方公式的靈活應(yīng)用能力，由題中所給的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分別常數(shù)項、一次項、二次項三種不同形式； （3）通過配方后，求得a，b，c的值，再代入代數(shù)式求值． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三種配方分別為： x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， x2﹣4x+2＝（x+）2﹣（2+4）x， x2﹣4x+2＝（x﹣）2﹣x2； （2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab， a2+ab+b2＝（a+b）2+b2； （3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4， ＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）， ＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）， ＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0， 從而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0， 即a＝1，b＝2，c＝1， ∴a+b+c＝4． 【點評】本題考查了根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2進行配方的能力． 24．（2007?淄博）根據(jù)以下10個乘積，回答問題： 11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20． （1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣○2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程； （2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來； （3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論．（不要求證明） 【分析】（1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可． （2）減去的數(shù)越大，乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可． （3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越?。?【解答】解：（1）11×29＝202﹣92；12×28＝202﹣82；13×27＝202﹣72； 14×26＝202﹣62；15×25＝202﹣52；16×24＝202﹣42； 17×23＝202﹣32；18×22＝202﹣22；19×21＝202﹣12； 20×20＝202﹣02 …（4分） 例如，11×29；假設(shè)11×29＝□2﹣○2， 因為□2﹣○2＝（□+○）（□﹣○）； 所以，可以令□﹣○＝11，□+○＝29． 解得，□＝20，○＝9．故11×29＝202﹣92． （或11×29＝（20﹣9）（20+9）＝202﹣92 （2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20 （3）①若a+b＝40，a，b是自然數(shù)，則ab≤202＝400． ②若a+b＝40，則ab≤202＝400． …（8分） ③若a+b＝m，a，b是自然數(shù)，則ab≤． ④若a+b＝m，則ab≤． ⑤若a，b的和為定值，則ab的最大值為． ⑥若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn＝40．且 |a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|， 則 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn． …（10分） ⑦若a1+b1＝a2+b2＝a3+b3＝…＝an+bn＝m．且 |a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥…≥|an﹣bn|， 則a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn． ⑧若a+b＝m， a，b差的絕對值越大，則它們的積就越小． 說明：給出結(jié)論①或②之一的得（1分）；給出結(jié)論③、④或⑤之一的得（2分）； 給出結(jié)論⑥、⑦或⑧之一的得（3分）． 【點評】本題主要考查整式的混合運算，找出規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵． 25．（2006?浙江）如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘數(shù)” （1）28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)”嗎？為什么？ （2）設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k（其中k取非負整數(shù)），由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？ （3）兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差（k取正數(shù)）是神秘數(shù)嗎？為什么？ 【分析】（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是否是神秘數(shù)； （2）化簡兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k的差，再判斷； （3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，即可判斷兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)． 【解答】解：（1）設(shè)28和2012都是“神秘數(shù)”，設(shè)28是x和x﹣2兩數(shù)的平方差得到， 則x2﹣（x﹣2）2＝28， 解得：x＝8，∴x﹣2＝6， 即28＝82﹣62， 設(shè)2012是y和y﹣2兩數(shù)的平方差得到， 則y2﹣（y﹣2）2＝2012， 解得：y＝504， y﹣2＝502， 即2012＝5042﹣5022， 所以28，2012都是神秘數(shù)． （2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1）， ∴由2k+2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍． （3）設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+1和2k﹣1， 則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k， 即：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不滿足連續(xù)偶數(shù)的神秘數(shù)為4的奇數(shù)倍這一條件． ∴兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù)． 【點評】此題首先考查了閱讀能力、探究推理能力．對知識點的考查，主要是平方差公式的靈活應(yīng)用． 26．（2005?揚州）為進一步落實《中華人民共和國民辦教育促進法》，某市教育局拿出了b元資金建立民辦教育發(fā)展基金會，其中一部分作為獎金發(fā)給了n所民辦學(xué)校．獎金分配方案如下：首先將n所民辦學(xué)校按去年完成教育、教學(xué)工作業(yè)績（假設(shè)工作業(yè)績均不相同）從高到低，由1到n排序，第1所民辦學(xué)校得獎金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2所民辦學(xué)校，按此方法將獎金逐一發(fā)給了n所民辦學(xué)校． （1）請用n、b分別表示第2所、第3所民辦學(xué)校得到的獎金； （2）設(shè)第k所民辦學(xué)校所得到的獎金為ak元（1≤k≤n），試用k、n和b表示ak（不必證明）； （3）比較ak和ak+1的大?。╧＝1，2，…，n﹣1），并解釋此結(jié)果關(guān)于獎金分配原則的實際意義． 【分析】（1）第2所民辦學(xué)校得到的獎金為：（總資金﹣第一所學(xué)校得到的獎金）÷n； 第3所民辦學(xué)校得到的獎金為：（總資金﹣第一所學(xué)校得到的獎金﹣第2所民辦學(xué)校得到的獎金）÷n； （2）由（1）得k所民辦學(xué)校所得到的獎金為ak＝總資金÷n×（1﹣）n； （3）用ak表示出ak+1進行比較即可． 【解答】解：（1）因為第1所學(xué)校得獎金a1＝， 所以第2所學(xué)校得獎金a2＝（b﹣）＝（1﹣） 所以第3所學(xué)校得獎金a3＝＝＝； （2）由上可歸納得到ak＝； （3）因為ak＝，ak+1＝， 所以ak+1＝（1﹣）ak＜ak， 結(jié)果說明完成業(yè)績好的學(xué)校，獲得的獎金就多． 【點評】這是一道滲透新課程理念的好題．它以獎金發(fā)放為背景，以列代數(shù)式、因式分解、代數(shù)式的大小比較等相關(guān)知識為載體，考查了學(xué)生數(shù)感、符號感、數(shù)學(xué)建模能力、觀察分析、歸納推理等能力．本題得分率較低，究其原因主要有：一是部分學(xué)生不能將文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，二是部分學(xué)生不能在代數(shù)式的整理變形過程中總結(jié)發(fā)現(xiàn)規(guī)律．解決本題的關(guān)鍵一是充分理解題意，二要表示第k所民辦學(xué)校所得到的獎金，就要在第2所、第3所民辦學(xué)校得到的獎金（代數(shù)式）上發(fā)現(xiàn)規(guī)律，三要提高對代數(shù)式變形的技能． 27．（2021秋?沛縣期中）將7張相同的小長方形紙片（如圖1所示）按圖2所示的方式不重疊的放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好被分割為兩個長方形，面積分別為S1和S2．已知小長方形紙片的長為a，寬為b，且a＞b． （1）當(dāng)a＝9，b＝3，AD＝30時，長方形ABCD的面積是 　630　，S1﹣S2的值為 　63　； （2）當(dāng)AD＝40時，請用含a、b的式子表示S1﹣S2的值； （3）若AB長度保持不變，AD變長，將這7張小長方形紙片還按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi)，當(dāng)a、b滿足什么關(guān)系時，S1﹣S2的值與AD的長度無關(guān)？ 【分析】（1）根據(jù)長方形的面積公式，直接計算即可；求出S1和S2的面積，相減即可； （2）用含a、b的式子表示出S1和S2的面積，即可求得結(jié)論； （3）用含a、b、AD的式子表示出S1﹣S2，根據(jù)S1﹣S2的值與AD的值無關(guān)，整理后，讓AD的系數(shù)為0即可． 【解答】解：（1）長方形ABCD的面積為30×（4×3+9）＝630； S1﹣S2＝（30﹣9）×4×3﹣（30﹣3×3）×9＝63； 故答案為：630，63； （2）S1﹣S2＝4b（40﹣a）﹣a（40﹣3b） ＝160b﹣4ab﹣40a+3ab ＝160b﹣ab﹣40a； （3）∵S1﹣S2＝4b（AD﹣a）﹣a（AD﹣3b）， 整理，得：S1﹣S2＝（4b﹣a）AD﹣ab， ∵S1﹣S2的值與AD的值無關(guān)， ∴4b﹣a＝0， 解得：a＝4b． 即a，b滿足的關(guān)系是a＝4b． 【點評】此題考查了整式的混合運算，列代數(shù)式，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵． 28．（2021春?婺城區(qū)校級期末）小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張． （1）他用1張1號、1張2號和2張3號卡片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是　（a+b）2＝a2+2ab+b2?。?（2）如果要拼成一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，則需要2號卡片　2　張，3號卡片　3　張； （3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長方形）的面積可以把多項式a2+3ab+2b2分解因式，其結(jié)果是?。╝+2b）?（a+b）??； （4）動手操作，請你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式a2+5ab+6b2＝　（a+2b）（a+3b）　畫出拼圖． 【分析】（1）利用圖②的面積可得出這個乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2， （2）由如圖③可得要拼成一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，即可得出答案， （3）由圖③可知矩形面積為（a+2b）?（a+b），利用面積得出a2+3ab+2b2＝（a+2b）?（a+b）， （4）先分解因式，再根據(jù)邊長畫圖即可． 【解答】解：（1）這個乘法公式是（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）由如圖③可得要拼成一個長為（a+2b），寬為（a+b）的大長方形，則需要2號卡片2張，3號卡片3張； 故答案為：2，3． （3）由圖③可知矩形面積為（a+2b）?（a+b），所以a2+3ab+2b2＝（a+2b）?（a+b）， 故答案為：（a+2b）?（a+b）． （4）a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b）， 如圖， 故答案為：（a+2b）（a+3b）． 【點評】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能運用圖形的面積計算的不同方法得到多項式的因式分解． 29．（2021春?鼓樓區(qū)期中）有些同學(xué)會想當(dāng)然地認為（x﹣y）3＝x3﹣y3． （1）舉出反例說明該式不一定成立； （2）計算（x﹣y）3； （3）直接寫出當(dāng)x、y滿足什么條件時，該式成立． 【分析】（1）舉反例x＝5，y＝2即可； （2）運用完全平方公式計算； （3））由（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，可知當(dāng)﹣3x2y+3xy2＝0時，（x﹣y）3＝x3﹣y3，所以x＝0或y＝0或x＝y(tǒng)時，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立． 【解答】解：（1）當(dāng)x＝5，y＝2時， （x﹣y）3＝（5﹣2）3＝27，x3﹣y3，53﹣23＝117， ∴（x﹣y）3＝x3﹣y3不成立． （2）（x﹣y）3 ＝（x﹣y）（x﹣y）2 ＝（x﹣y）（x2﹣2xy+y2）＝x3﹣2x2y+xy2﹣x2y+2xy2﹣y3 ＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3； （3）∵（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3， ∴當(dāng)﹣3x2y+3xy2＝0時，（x﹣y）3＝x3﹣y3， ∴﹣3xy（x﹣y）＝0， ∴x＝0或y＝0或x＝y(tǒng)時，（x﹣y）3＝x3﹣y3成立． 【點評】本題考查了多項式乘以多項式，正確運用完全平方公式和乘法公式是解題的關(guān)鍵． 30．（2021春?姑蘇區(qū)期中）學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號的卡片，如圖1：A型卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是邊長為b的正方形，C型卡片是長和寬分別為a，b的長方形． （1）選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照圖2的方式拼成一個為（a+b）的大正方形，通過不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式?。╝+b）2＝a2+2ab+b2　； （2）請用這3種卡片拼出一個面積為a2+5ab+6b2的長方形（數(shù)量不限），在圖3的虛線框中畫出示意圖，并在示意圖上按照圖2的方式標(biāo)注好長方形的長與寬； （3）選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長方形DEFG框架內(nèi)，圖中兩陰影部分（長方形）為沒有放置卡片的部分．已知GF的長度固定不變，DG的長度可以變化，圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為S1，S2．若S＝S2﹣S1，則當(dāng)a與b滿足　a＝2b　時，S為定值，且定值為　a2　．（用含a或b的代數(shù)式表示） 【分析】（1）用兩種方法表示圖2的面積，即可得出公式； （2）由a2+5ab+6b2可得A型卡片1張，B型卡片6張，C型卡片5張； （3）設(shè)DG長為x，求出S1，S2即可解決問題． 【解答】解：（1）方法1：大正方形的面積為（a+b）2， 方法2：圖2中四部分的面積和為：a2+2ab+b2， 因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）如圖， （3）設(shè)DG長為x． ∵S1＝a[x﹣（a+2b）]＝ax﹣a2﹣2ab，S2＝2b（x﹣a）＝2bx﹣2ab， ∴S＝S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣a2﹣2ab）＝（2b﹣a）x+a2， 由題意得，若S為定值，則S將不隨x的變化而變化， 可知當(dāng)2b﹣a＝0時，即a＝2b時，S＝a2為定值， 故答案為：a＝2b，a2． 【點評】本題考查完全平方公式，正方形、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．