湖南省長沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期開學(xué)自主檢測數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

時(shí)量：120分鐘滿分：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解指對(duì)數(shù)不等式化簡集合，再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以.
故選：A.
2. 函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列的哪個(gè)區(qū)間（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由根的存在性定理求端點(diǎn)值的正負(fù)性，可知零點(diǎn)所在區(qū)間．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),是連續(xù)單調(diào)函數(shù)，
且
，
∴函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間.
故選:C．
3. 已知,為非零向量，則“”是“與夾角為銳角”的
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【詳解】根據(jù)向量數(shù)量積的定義式可知，若，則與夾角為銳角或零角，若與夾角為銳角，則一定有，所以“”是“與夾角為銳角”的必要不充分條件，故選B.
4. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則可以為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由圖象得到的定義域、奇偶性與單調(diào)性，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.
【詳解】由圖象可知，是定義在上的奇函數(shù)，則，
同時(shí)，在上先增后減，
對(duì)于A，，，不滿足題意，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，
所以，即，所以在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，顯然，在處無意義，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的定義域?yàn)椋?br>又，則是奇函數(shù)，
經(jīng)檢驗(yàn)，的單調(diào)性也滿足題意，故D正確.
故選：D.
5. 已知，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】做差，利用換底公式，基本不等式，對(duì)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.
【詳解】
所以.
故選：C.
6. 已知，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式分別求出的值，代入兩角差的正弦公式即可求解.
【詳解】因?yàn)?，即?br>所以，
因?yàn)椋?br>即，解得，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握兩角和與差的正弦公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.
7. 如圖，在中，滿足條件，若，則（）
A. 8B. 4C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法的三角形法則，結(jié)合已知條件，可得，求出，從而得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?
所以，
即，
又，
所以，故.
故選：A.
8. 設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為研究在任意一個(gè)長度為的區(qū)間上的零點(diǎn)問題，分別求得相鄰三個(gè)零點(diǎn)之間的距離，相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最小距離，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)闉槿我鈱?shí)數(shù)，故函數(shù)的圖象可以任意平移，
從而研究函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)問題，
即研究函數(shù)在任意一個(gè)長度為的區(qū)間上的零點(diǎn)問題，
令，得，則它在軸右側(cè)靠近坐標(biāo)原點(diǎn)處的零點(diǎn)分別為，，，，，，
則它們相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離分別為，，，，，
故相鄰三個(gè)零點(diǎn)之間的距離為，相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最小距離為，
所以要使函數(shù)在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，
則需相鄰三個(gè)零點(diǎn)之間的距離不大于，相鄰四個(gè)零點(diǎn)之間的最小距離大于，
即，解得，即.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求解復(fù)雜問題時(shí)，要善于將問題進(jìn)行簡單化，本題中的以及區(qū)間是干擾因素，所以排除干擾因素是解決問題的關(guān)鍵所在.
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則B. 若，則
C 若，則D. 若，，，則
【答案】AD
【解析】
【分析】利用作差法可以判斷AC，舉反例可排除B，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性可判斷D，從而得解.
【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，所以，則，故A正確；
對(duì)B，當(dāng)，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)C，因?yàn)椋?br>而，則，
所以，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，因?yàn)?，所以?br>令，則，
易知在上單調(diào)遞增，所以，故D正確.
故選：AD.
10. 汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況．下列敘述中正確的是（）
A. 消耗1L汽油，乙車最多可行駛5km
B. 甲車以80km/h的速度行駛1h消耗約8L汽油
C. 以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多
D. 某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)．相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油
【答案】BD
【解析】
【分析】結(jié)合圖象逐項(xiàng)分析即得.
【詳解】由題可知，當(dāng)乙車速度大于40km/h時(shí)，乙車每消耗1升汽油，行駛里程都超過5km，A錯(cuò)誤；
甲車以km/h的速度行駛時(shí)，燃油效率為10km/L,則行駛1h消耗8L汽油，B正確；
以相同速度行駛相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三輛車中甲車消耗汽油最少，C錯(cuò)誤；
在機(jī)動(dòng)車最高限速km/h在相同條件下，丙車比乙車燃油效率更高，所以更節(jié)油，D正確；
故選：BD
11. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B. 函數(shù)在上單調(diào)遞減
C. 函數(shù)偶函數(shù)
D. 該函數(shù)的圖象可由的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度得到
【答案】BC
【解析】
【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可確定函數(shù)的解析式，利用代入檢驗(yàn)法可判斷AB，利用余弦函數(shù)的奇偶性可判斷C，利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)可判斷D.
【詳解】由圖象可知：，，則，故，
所以，
又，則，所以，
由于所以，故，
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，故B正確，
對(duì)于C，，
顯然偶函數(shù)，故C正確，
對(duì)于D，的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度得
，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
12. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：（1）對(duì)任意，恒成立；（2）當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的有（）
A. 對(duì)任意，有
B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 存在，使得
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減充要條件是：存在，使得.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用條件(1)判斷A；利用條件(2)判斷B；利用反證法判斷C；結(jié)合以上推導(dǎo)判斷D．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，，從而
，所以函數(shù)的值域?yàn)?，B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以?br>假設(shè)存在使，則，所以，滿足條件的整數(shù)不存在，C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，，
若，則，，，與已知矛盾，
若，則，當(dāng)，，
但，與已知矛盾，
故，故，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件是：存在，使得，D正確，
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】本題解決的關(guān)鍵在于分區(qū)間求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)判斷.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】.
故答案為：.
14. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)與的圖象關(guān)于______對(duì)稱.
【答案】
【解析】
【分析】先確定與的圖象關(guān)系，再同時(shí)向右平移一個(gè)單位可得答案.
【詳解】由于，恒有與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
又向右平移一個(gè)單位得，向右平移一個(gè)單位得，
故函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱.
故答案為：.
15. 函數(shù)在區(qū)間上的值域是__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式求出關(guān)于的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.
【詳解】令，
因?yàn)?，，所以?br>，
設(shè)，
顯然一元二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
故答案為：.
16. 已知邊長為的正三角形的中心為，正方形的邊長為，且線段與相交于點(diǎn)，則______.
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合圖形，利用向量的加減運(yùn)算化簡，再在正中求得，從而得解.
【詳解】記中點(diǎn)為，連接，如圖，
因?yàn)樵谡叫沃?，與相交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，
所以，則，
在正中，，為的中心，
所以，
則.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題解決的關(guān)鍵是充分用點(diǎn)的性質(zhì)，利用向量的線性運(yùn)算即可得解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 已知向量，．
（1）求；
（2）已知，且，求向量與向量的夾角．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模即可；（2）由向量的模，根據(jù)向量的數(shù)量積公式轉(zhuǎn)化求向量的夾角即可.
小問1詳解】
由題知，，
所以，
所以.
【小問2詳解】
由題知，，，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>向量與向量的夾角為.
18. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且滿足.
（1）求，的值，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性（不需要證明）；
（2）已知，，且，若，求的取值范圍.
【答案】（1），的單調(diào)性見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)與可求得的值，從而得到的解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得解；
（2）利用得，再分析得，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，從而利用對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，又，則，
所以，解得，所以，此時(shí)其定義域?yàn)椋?br>又，則函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，
此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)，
則，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
同理可證在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>則有，
因?yàn)?，所以，即?br>所以，且，
所以，令，
由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即的取值范圍為.
19. 如圖所示，已知點(diǎn)，，點(diǎn)，在單位圓上，且.
（1）若點(diǎn)，求的值；
（2）設(shè)，四邊形的周長為y，將y表示成x的函數(shù)，并求出y的最大值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)任意角三角函數(shù)定義，由終邊上的，可得，再由余弦的和角公式，可得答案；
（2）根據(jù)圓直徑的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可得弦，根據(jù)周長公式，可得函數(shù)，再根據(jù)三角恒等變換，可得周長關(guān)于的函數(shù).
【小問1詳解】
因?yàn)?，且為終邊上一點(diǎn)，所以，
由，可得：，
【小問2詳解】
由，易知等邊，則，
連接，作圖如下：
易知，
即，
則在中，，
同理，，
則
，
由，可得，
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)，即，則.
20. 某醫(yī)藥公司研發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，由監(jiān)測數(shù)據(jù)可知，服用后6小時(shí)內(nèi)每毫升血液中含藥量（單位：微克）與時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系滿足如圖所示的曲線，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖象的一部分，當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖象的一部分，根據(jù)進(jìn)一步測定，每毫升血液中含藥量不少于2微克時(shí)，治療有效.

（1）試求服藥后6小時(shí)內(nèi)每毫升血液中含藥量與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）問服藥多久后開始有治療效果？治療效果能持續(xù)多少小時(shí)？（精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)）
【答案】（1）
（2）0.3小時(shí)后，5.2小時(shí)
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，再將代入即可求出的值，當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式即可求出的值，則可寫出答案；
（2）分段求出時(shí)，對(duì)應(yīng)的的取值范圍，即可寫出答案.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，由圖象可設(shè)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，解得，
即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)，
得，解得，所以，
故.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
令，即，解得，即，
又，∴，故服藥0.3小時(shí)之后開始有治療效果，
當(dāng)時(shí)，，
令，即，解得，
又，∴，
綜上，，所以服藥后的治療效果能持續(xù)5.2小時(shí).
21. 已知向量.
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，求的最小值及此時(shí)的解析式；
（2）現(xiàn)將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.已知是函數(shù)與圖象上連續(xù)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，若是銳角三角形，求的取值范圍.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式結(jié)合輔助角公式化簡，再根據(jù)余弦函數(shù)的最值即可得解；
（2）先根據(jù)平移變換得到函數(shù)的解析式，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，不妨設(shè)在軸下方，為的中點(diǎn)，根據(jù)，求得，再由為銳角三角形時(shí)，只需要即可，即可得解.
【小問1詳解】
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，
解得，且，則，
此時(shí)；
【小問2詳解】
由函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，
得到，
由（1）知，作出兩個(gè)函數(shù)圖象，如圖：

為連續(xù)三交點(diǎn)，（不妨設(shè)在軸下方），為的中點(diǎn)，
由對(duì)稱性可得是以為頂角的等腰三角形，
根據(jù)圖像可得，即，
由兩個(gè)圖像相交可得，即，化簡得，
再結(jié)合，解得，
故，可得，
當(dāng)為銳角三角形時(shí)，只需要即可，
由，
故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)，求出等腰三角形底邊上的高是解決本題的關(guān)鍵.
22. 已知函數(shù)，.
（1）若存在，對(duì)任意，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】（1）或
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化為不等式有解問題，然后再將有解問題轉(zhuǎn)化為最值求解即可；
（2），令，則，進(jìn)而討論方程大于等于的解的個(gè)數(shù)即可.
【小問1詳解】
由得，
因?yàn)榇嬖冢瑢?duì)任意，，
所以或在上有解，
即或在上有解，
令，所以或在上有解，
又，，
所以或；
【小問2詳解】
，
令，，
則，
故只需要討論方程大于等于的解，
①當(dāng)時(shí)，，方程無大于等于的解，函數(shù)無零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，，
若，即時(shí)，方程無大于等于的解，函數(shù)無零點(diǎn)；
若，即時(shí)，方程有一個(gè)等于的解，此時(shí)，
解得，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；
若，即時(shí)，方程有一個(gè)大于的解，此時(shí)，
即，此時(shí)，方程有2根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)方程無大于等于的解，函數(shù)無零點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).

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