時(shí)量：120分鐘滿(mǎn)分：150分
得分__________
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 若集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增，解對(duì)數(shù)不等式，再結(jié)合交集的概念即可.
【詳解】∵在單調(diào)遞增，
∴，則.
故選：C.
2. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由于復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，可設(shè)，其中，，則，
所以，，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.
故選：B
3. 在四邊形中，，且，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】推出四邊形為平行四邊形，且，且平分，得到四邊形為菱形，且，為等邊三角形，，利用，兩邊平方得到.
【詳解】因?yàn)?，所以且?br>故四邊形平行四邊形，
設(shè)都是單位向量，且，
兩邊平方得，即，
所以，解得，
故，
又均為單位向量，故，
即，且平分，
故四邊形為菱形，且，
故為等邊三角形，，
，兩邊平方得
，
故.
故選：A
4. 設(shè)，為任意兩個(gè)事件，且，，則下列選項(xiàng)必成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題設(shè)有，根據(jù)條件概率公式有，結(jié)合，即可得答案.
【詳解】由，則，故，
而，則，又，
所以.
故選：D
5. 動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線：的距離的比等于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)距離公式即可化簡(jiǎn)求解.
【詳解】根據(jù)題意可得，平方化簡(jiǎn)可得，
進(jìn)而得，
故選:A
6. 已知數(shù)列滿(mǎn)是，，則的最小值為（）
A. B. C. 16D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】利用數(shù)列遞推式，可得數(shù)列是以10為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，可得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用基本不等式求的最小值．
【詳解】
，
數(shù)列是以10為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值16.
故選：C
7. 已知，則的值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】切化弦后，由二倍角公式，兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)變形后可得．
【詳解】由已知，，則，
從而，所以，
故選：D．
8. 已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令，得到，關(guān)于的函數(shù)式，進(jìn)而可得關(guān)于的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.
【詳解】令，則，，
，，所以，
若，則，
，有，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
即的最小值為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令確定關(guān)于的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.
二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在一次數(shù)學(xué)考試中，某班成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1B. 中位數(shù)的估計(jì)值介于100和105之間
C. 該班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5D. 該班成績(jī)的極差一定等于40
【答案】ABC
【解析】
【分析】由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知A正確；由中位數(shù)定義以及圖中頻率計(jì)算可知B正確；由眾數(shù)定義可得圖中最高的區(qū)間即代表眾數(shù)即可估計(jì)為97.5，即C正確；由于成績(jī)高分和最低分不一定分別為，因此極差不一定為40，即D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，圖中所有小長(zhǎng)方形的面積之和等于1，即A正確；
對(duì)于B，易知組距為，前兩組成績(jī)所占的頻率為，
前三組成績(jī)所占的頻率為，由中位數(shù)定義可得其估計(jì)值介于100和105之間，即B正確；
對(duì)于C，由圖可知頻率最高的成績(jī)區(qū)間，取中間值為代表可知班成績(jī)眾數(shù)的估計(jì)值為97.5，即C正確；
對(duì)于D，由圖可知成績(jī)最高區(qū)間為，最低區(qū)間為，但最高分和最低分不一定分別為，所以其成績(jī)極差不一定為40，即D錯(cuò)誤；
故選：ABC
10. 已知，若，則（）
A. 的最大值為B. 的最小值為1
C. 的最小值為8D. 的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD選項(xiàng)，由基本不等式求出最值；B選項(xiàng)，化為，求出最小值；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】對(duì)于，由，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以A正確；
對(duì)于，因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以C正確；
對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，且，
即時(shí)，取等號(hào)，所以正確
故選：ACD.
11. 已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列命題正確的是（）
A. 雙曲線的離心率
B. 為定值
C. 的最小值為3
D. 若直線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用點(diǎn)到直線的距離求出，可求出離心率，判斷A，利用點(diǎn)到線距離結(jié)合在雙曲線上證明為定值判斷B，聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)求出的距離的最小值判斷C，對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，由，兩式相加和兩式相減化簡(jiǎn)可得，，從而得到，可判斷D.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，圓與漸近線相切，則，即，所以，則，故A正確；
由A選項(xiàng)可得雙曲線的兩條漸近線方程為，設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則，所以點(diǎn)到兩漸近線的距離，，所以為定值，故B正確；
過(guò)與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，，解得交點(diǎn)，同理得，因?yàn)闉殡p曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，所以，則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，設(shè)、，則，又、在雙曲線的兩條漸近線上，則，兩式相減可得，即，兩式相加可得，即，又，，所以，故D正確.
故選：ABD
12. 已知是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的有（）
A. 若是正項(xiàng)數(shù)列，則是單調(diào)遞增數(shù)列
B. ，，一定是等比數(shù)列
C. 若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列
D. 若存在，使對(duì)都成立，則是等差數(shù)列
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，設(shè)出公比，得到方程，結(jié)合是正項(xiàng)數(shù)列，得到公比，得到是單調(diào)遞增數(shù)列；B選項(xiàng)，舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)都成立，得到，從而得到為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列；D選項(xiàng)，結(jié)合C選項(xiàng)，得到當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，，D錯(cuò)誤.
【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)公比為，故，解得或，
若是正項(xiàng)數(shù)列，則，，故，故是單調(diào)遞增數(shù)列，A正確；
B選項(xiàng)，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，，均為0，不合要求，B錯(cuò)誤：
C選項(xiàng)，若，則單調(diào)遞增，此時(shí)不存在，使對(duì)都成立，
若，此時(shí)，故存在，使得對(duì)都成立，
此時(shí)為常數(shù)列，為公差為0的等差數(shù)列，C正確；
D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，顯然不是等差數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________
【答案】
【解析】
【分析】由向量的線性表示，根據(jù)向量模長(zhǎng)根式即可代入求解.
【詳解】解：由條件，知，,
所以
，
所以,
故答案為：
14. 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_________．
【答案】210
【解析】
【分析】先通過(guò)求出各項(xiàng)二項(xiàng)式中的系數(shù)，再利用組合數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)通項(xiàng)為，
所以的展開(kāi)式中沒(méi)有這一項(xiàng)，
的展開(kāi)式中沒(méi)有這一項(xiàng)，
的展開(kāi)式中的系數(shù)為，
的展開(kāi)式中的系數(shù)為，
……
的展開(kāi)式中的系數(shù)為，
所以所求的系數(shù)為
.
故答案為：210.
15. 已知函數(shù)，則直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)_________．
【答案】12
【解析】
【分析】由可得，令，，分析可知與圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
【詳解】由可得，
令，，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>其最小正周期，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>對(duì)任意，，
所以函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
由于函數(shù)與在上均為增函數(shù)，
則函數(shù)在上也為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，，，
作出與圖象如下：
由圖可知，函數(shù)與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，其中這6個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足三對(duì)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
因此直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.
故答案為：12
16. 已知一個(gè)圓臺(tái)的上?下底面半徑為，若球與該圓臺(tái)的上?下底面及側(cè)面均相切，且球與該圓臺(tái)體積比為，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出圓臺(tái)的軸截面，然后根據(jù)題意可求出圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，從而可求出圓的高，進(jìn)而可求出圓臺(tái)的體積.
【詳解】作出圓臺(tái)的軸截面，如圖所示：為切點(diǎn)，為圓臺(tái)的高.
圓臺(tái)的母線，
所以圓臺(tái)的高
球的半徑，由球與該圓臺(tái)體積比為得：
，整里得：
方程兩邊同除，解得或3（舍去）
故答案為：
四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 已知在中，三條邊所對(duì)的角分別為，向量，，且滿(mǎn)足．
（1）求角的大?。?br>（2）若成等比數(shù)列，且，求邊的值并求外接圓的面積．
【答案】（1）；
（2）；外接圓的面積為.
【解析】
【分析】（1）利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示及三角恒等變換可得，進(jìn)而即得；
（2）利用等比中項(xiàng)及正弦定理可得，利用數(shù)量積定義可得，再由正弦定理可求得外接圓半徑及面積．
【小問(wèn)1詳解】
∵向量，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
∵成等比數(shù)列，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理可知：，
∴，
∴外接圓的面積為．
18. 如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點(diǎn)．
（1）若，證明：；
（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn)F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；
（2）分別取的中點(diǎn)G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，在中，，即得解.
小問(wèn)1詳解】
解：取的中點(diǎn)F，連接．
因?yàn)椋瑒t為正三角形，所以．
因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面．
因?yàn)槠矫?，則．①
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危珽為的中點(diǎn)，則
，所以，
從而，
所以．②
又平 面 ,
結(jié)合①②知，平面，所以．
【小問(wèn)2詳解】
解：分別取的中點(diǎn)G，H，則，．
又,，則，
所以四邊形為平行四邊形，從而．
因?yàn)?，則．
因?yàn)槠矫嫫矫?，，則平面，
從而，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，從而平面．
連接，則為直線與平面所成的角．
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，則．
從而，．
在中，．
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，
所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是．
19. 已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿(mǎn)足．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由，得到：當(dāng)時(shí)，，相減可得，驗(yàn)證時(shí)即可得出；
（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消求和方法可得數(shù)列的前項(xiàng)和為，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明結(jié)論.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，①
②
①②可得：，即，
當(dāng)時(shí)，，對(duì)上式也成立，
所以
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，
因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)單調(diào)遞增，且，
所以，即，得證.
20. 已知拋物線：上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．
（1）求拋物線的方程；
（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）作切線，過(guò)作直線，交拋物線于，兩點(diǎn)．記直線，的斜率分別為，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知條件推導(dǎo)出，由此求出拋物線方程；
（2）設(shè)，，，，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線斜率，由過(guò)作直線，從而得到直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理得到，分別表示出直線，的斜率，，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式即可求得最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由題可得的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)在拋物線，所以，
點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，即，解得（舍去），
所以拋物線的方程為
【小問(wèn)2詳解】
由題可得，設(shè)，，
由于拋物線方程為，即，則，所以切線的斜率，
由于，所以直線的斜率為，則直線的方程為：，即，
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：，則，，
所以，同理
所以，
由于（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），
所以，故的最小值為
21. 在數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)課上，小明設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：在盒子中裝有紅球、白球等多種不同顏色的小球，現(xiàn)從盒子中一次摸一個(gè)球，不放回．
（1）若盒子中有8個(gè)球，其中有3個(gè)紅球，從中任意摸兩次．
①求摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球的概率；
②記摸出紅球個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）若1號(hào)盒中有4個(gè)紅球和4個(gè)白球，2號(hào)盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)甲、乙、丙三人依次從1號(hào)盒中摸出一個(gè)球并放入2號(hào)盒，然后丁從2號(hào)盒中任取一球．已知丁取到紅球，求甲、乙、丙三人中至少有一人取出白球的概率．
【答案】（1）①；②分布列見(jiàn)解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）①摸兩個(gè)球的總情況數(shù)為，恰好有一個(gè)紅球的情況數(shù)為，據(jù)此可得答案；②由題可得摸出紅球個(gè)數(shù)的可能情況有3種，后由題目條件可得分布列及期望；
（2）設(shè)事件“丁取到紅球”，事件C=“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”，則所求概率為，后由題意及條件概率公式可得答案.
【小問(wèn)1詳解】
①設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球”，
，
②X可取0，1，2，則，其中.
故X的分布列為
則；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)事件“丁取到紅球”，事件“甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.
當(dāng)甲，乙，丙三人取得1個(gè)白球，則丁取到紅球概率為；
當(dāng)甲，乙，丙三人取得2個(gè)白球，則丁取到紅球概率為；
當(dāng)甲，乙，丙三人取得3個(gè)白球，則丁取到紅球概率為；
當(dāng)甲，乙，丙三人取得3個(gè)紅球，則丁取到紅球概率為.
則所求概率為.
22. 已知函數(shù).
（1）否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；
（2）若函數(shù)存在極大值，極小值，證明：.（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
【答案】（1）存在
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）首先確定函數(shù)定義域是，求出導(dǎo)函數(shù)，確定出在時(shí)，，時(shí)，，因此確定值使得時(shí)，時(shí)，恒成立，從而恒成立即得；
（2）由（1）得出且時(shí)，的兩個(gè)極值點(diǎn)是1和，因此有，引入函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證得即得證．
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋?br>進(jìn)一步化簡(jiǎn)得：
令，則在上單調(diào)遞增，
且，所以時(shí)，時(shí)，
要使得單調(diào)遞增，則在上恒成立
當(dāng)時(shí)，恒成立
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不合題意
綜上：.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可得且，極值點(diǎn)為與1，
所以
令
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
所以，即成立.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明與極值有關(guān)的不等式，一般先利用導(dǎo)數(shù)求得極值（本題中要求得極大值與極小值的和，可以不必區(qū)分哪個(gè)是極大值，哪個(gè)是極小值），然后引入新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最值，從而證得不等式成立．
X
0
1
2
P

相關(guān)試卷

湖南省永州市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)試題含解析：

這是一份湖南省永州市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)試題含解析，共20頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期自主練習(xí)卷（開(kāi)學(xué)考試） 數(shù)學(xué)試題（含解析）：

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湖南省長(zhǎng)沙市2023_2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析：

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