一、選擇題
1．若集合,,則( )
A.B.C.D.
2．在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)zi對應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．在四邊形ABCD中,,且,則( )
A.B.C.D.
4．設(shè)A,B為任意兩個(gè)事件,且,,則下列選項(xiàng)必成立的是( )
A.B.
C.D.
5．動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與M到定直線的距離的比等于,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是( )
A.B.C.D.
6．已知數(shù)列滿是,,則的最小值為( )
A.B.C.16D.18
7．已知,則的值為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù),,若成立,則的最小值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．在一次數(shù)學(xué)考試中,某班成績的頻率分布直方圖如圖所示,則下列說法正確的是( )
A.圖中所有小長方形的面積之和等于1B.中位數(shù)的估計(jì)值介于100和105之間
C.該班成績眾數(shù)的估計(jì)值為97.5D.該班成績的極差一定等于40
10．已知,,若,則( )
A.ab的最大值為B.的最小值為1
C.的最小值為8D.的最小值為
11．已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,P為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),過P作兩漸近線的垂線,垂足分別為A,B.若圓與雙曲線C的漸近線相切,則下列命題正確的是( )
A.雙曲線C的離心率
B.為定值
C.的最小值為3
D.若直線與雙曲線C的漸近線交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D為MN的中點(diǎn),OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率為,則
12．已知是等比數(shù)列,是其前n項(xiàng)和,滿足,則下列說法中正確的有( )
A.若是正項(xiàng)數(shù)列,則是單調(diào)遞增數(shù)列
B.,,一定是等比數(shù)列
C.若存在,使對都成立,則是等差數(shù)列
D.若存在,使對都成立,則是等差數(shù)列
三、填空題
13．如圖,的二面角的棱上有A,B兩點(diǎn),直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且都垂直于AB.已知,,,則CD的長為________
14．在的展開式中,的系數(shù)為________.
15．已知函數(shù),則直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為________.
16．已知一個(gè)圓臺的上?下底面半徑為,若球O與該圓臺的上?下底面及側(cè)面均相切,且球O與該圓臺體積比為,則________.
四、解答題
17．已知在中,三條邊a,b,c所對的角分別為A,B,C,向量,,且滿足.
（1）求角的大小;
（2）若,,成等比數(shù)列,且,求邊c的值并求外接圓的面積.
18．如圖,四棱錐的底面是正方形,平面平面ABCD,,E為BC的中點(diǎn).
（1）若,證明:;
（2）求直線AE與平面PAD所成角的余弦值的取值范圍.
19．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（2）記,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明:.
20．已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為.
（1）求拋物線C的方程;
（2）過拋物線上一點(diǎn)P(異于坐標(biāo)原點(diǎn))作切線,過作直線,交拋物線于A,B兩點(diǎn).記直線PA,PB的斜率分別為,,求的最小值.
21．在數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)課上,小明設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn):在盒子中裝有紅球,白球等多種不同顏色的小球,現(xiàn)從盒子中一次摸一個(gè)球,不放回.
（1）若盒子中有8個(gè)球,其中有3個(gè)紅球,從中任意摸兩次.
①求摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球的概率;
②記摸出的紅球個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
（2）若1號盒中有4個(gè)紅球和4個(gè)白球,2號盒中有2個(gè)紅球和2個(gè)白球,現(xiàn)甲,乙,丙三人依次從1號盒中摸出一個(gè)球并放入2號盒,然后丁從2號盒中任取一球.已知丁取到紅球,求甲,乙,丙三人中至少有一人取出白球的概率.
22．已知函數(shù).
（1）是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增;
（2）若函數(shù)存在極大值M,極小值N,證明:.(其中是自然對數(shù)的底數(shù))
參考答案
1．答案：C
解析:在單調(diào)遞增,
,則.
故選:C.
2．答案：B
解析:由于復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,可設(shè),其中,,則,
所以,,復(fù)數(shù)zi對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.
故選:B
3．答案：A
解析:因?yàn)?所以且,
故四邊形ABCD為平行四邊形,
設(shè),,都是單位向量,且,
兩邊平方得,即,
所以,解得,
故,
又,,均為單位向量,故,
即,且AC平分,
故四邊形ABCD為菱形,且,
故為等邊三角形,,
,兩邊平方得
,
故.
故選:A
4．答案：D
解析:由,則,故,
而,則,又,
所以.
故選:D
5．答案：A
解析:根據(jù)題意可得,平方化簡可得,
進(jìn)而得,
故選:A
6．答案：C
解析:,
,
數(shù)列是以10為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列
,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),取最小值16.
故選:C
7．答案：D
解析:由已知,,則,
從而,所以,
故選:D.
8．答案：A
解析:令,則,,
,,所以,
若,則,
,有,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,,
即的最小值為.
故選:A.
9．答案：ABC
解析:對于A,由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知,圖中所有小長方形的面積之和等于1,即A正確;
對于B,易知組距為5,前兩組成績所占的頻率為,
前三組成績所占的頻率為,由中位數(shù)定義可得其估計(jì)值介于100和105之間,即B正確;
對于C,由圖可知頻率最高的成績區(qū)間,取中間值為代表可知班成績眾數(shù)的估計(jì)值為97.5,即C正確;
對于D,由圖可知成績最高區(qū)間為,最低區(qū)間為,但最高分和最低分不一定分別為130,90,所以其成績極差不一定為40,即D錯(cuò)誤;
故選:ABC
10．答案：ACD
解析:對于A,由,即,
當(dāng)且僅當(dāng),且,即,時(shí),取等號,所以A正確;
對于B,因?yàn)?
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取到最小值,所以B錯(cuò)誤;
對于C,因?yàn)?,所以,
當(dāng)且僅當(dāng),且,即,時(shí),取等號,所以C正確;
對于,當(dāng)且僅當(dāng),且,
即時(shí),取等號,所以正確.
故選:ACD.
11．答案：ABD
解析:雙曲線的漸近線方程為,圓與漸近線相切,則,即,所以,則,故A正確;
由A選項(xiàng)可得雙曲線的兩條漸近線方程為,設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn),則,所以P點(diǎn)到兩漸近線的距離,,所以為定值,故B正確;
過與漸近線垂直的方程分別與漸近線組成方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),,解得交點(diǎn),同理得,因?yàn)镻為雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),所以,則,故C錯(cuò)誤;
對D選項(xiàng),設(shè),,則,又M,N在雙曲線的兩條漸近線上,則,兩式相減可得,即,兩式相加可得,即,又,,所以,故D正確.
故選:ABD
12．答案：AC
解析:A選項(xiàng),設(shè)公比為q,故,解得或,
若是正項(xiàng)數(shù)列,則,,故,故是單調(diào)遞增數(shù)列,A正確;
B選項(xiàng),當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí),,,均為0,不合要求,B錯(cuò)誤:
C選項(xiàng),若,則單調(diào)遞增,此時(shí)不存在,使對都成立,
若,此時(shí),故存在,使得對都成立,
此時(shí)為常數(shù)列,為公差為0的等差數(shù)列,C正確;
D選項(xiàng),由C選項(xiàng)可知,,故當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,顯然不是等差數(shù)列,D錯(cuò)誤.
故選:AC.
13．答案：
解析:由條件,知,,
所以
,
所以,
故答案為:
14．答案：210
解析:因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)為,
所以的展開式中沒有這一項(xiàng),
的展開式中沒有這一項(xiàng),
的展開式中的系數(shù)為,
的展開式中的系數(shù)為,
……
的展開式中的系數(shù)為,
所以所求的系數(shù)為
.
故答案為:210.
15．答案：12
解析:由可得,
令,,則函數(shù)的定義域?yàn)?
其最小正周期,令,解得,
當(dāng)時(shí),,即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱,
函數(shù)的定義域?yàn)?
對任意,,
所以函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)對稱,
由于函數(shù)與在上均為增函數(shù),
則函數(shù)在上也為增函數(shù),
當(dāng)時(shí),,,,,
作出與圖象如下:
由圖可知,函數(shù)與的圖象有6個(gè)交點(diǎn),其中這6個(gè)交點(diǎn)滿足三對點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱,
因此直線與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.
故答案為:12
16．答案：
解析:作出圓臺的軸截面,如圖所示:E為切點(diǎn),DF為圓臺的高.
圓臺的母線,
所以圓臺的高
球的半徑,由球O與該圓臺體積比為得:
,整里得:
方程兩邊同除,解得或3(舍去)
故答案為:
17．答案：（1）;
（2）;外接圓的面積為.
解析:（1）向量,,,
,
,,
,,
;
（2）,,成等比數(shù)列,
,
,
,即,
,
,,
設(shè)外接圓的半徑為R,由正弦定理可知:,
,
外接圓的面積為.
18．答案：（1）證明見解析;
（2）.
解析:（1）取AB的中點(diǎn)F,連接.
因?yàn)?,則為正三角形,所以.
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,則平面.
因?yàn)槠矫鍭BCD,則.①
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,E為BC的中點(diǎn),則
,所以,
從而,
所以.②
又,PF,平面PDF,
結(jié)合①②知,平面PDF,所以.
（2）分別取PA,PD的中點(diǎn)G,H,則,.
又,,則,,
所以四邊形BGHE為平行四邊形,從而.
因?yàn)?則.
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,,則平面PAB,
從而,因?yàn)?PA,平面PAD,
所以平面PAD,從而平面PAD.
連接AH,則為直線AE與平面PAD所成的角.
設(shè)正方形ABCD的邊長為1,,則.
從而,.
在中,.
因?yàn)楫?dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則,
所以直線AE與平面PAD所成角的余弦值的取值范圍是.
19．答案：（1）
（2）證明見解析
解析:（1）當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),①
②
①②可得:,即,
當(dāng)時(shí),,對上式也成立,
所以
（2）由（1）可得,
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為,
因?yàn)閷θ我庹麛?shù)n單調(diào)遞增,且,
所以,即,得證.
20．答案：（1）
（2）
解析:（1）由題可得的焦點(diǎn)坐標(biāo),由于點(diǎn)在拋物線,所以,
點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為,即,解得(舍去),
所以拋物線C的方程為
（2）由題可得,設(shè),,
由于拋物線方程為,即,則,所以切線的斜率,
由于,所以直線的斜率為,則直線的方程為:,即,
聯(lián)立,化簡得:,則,,
所以,同理
所以,
由于(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等),
所以,故的最小值為
21．答案：（1）①;
②分布列見解析,
（2）
解析:（1）①設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球中恰好有一個(gè)紅球”,
,
②X可取0,1,2,則,其中,1,2.
故X的分布列為
則;
（2）設(shè)事件“丁取到紅球”,事件“甲,乙,丙三人中至少有1人取出白球”.
當(dāng)甲,乙,丙三人取得1個(gè)白球,則丁取到紅球概率為;
當(dāng)甲,乙,丙三人取得2個(gè)白球,則丁取到紅球概率為;
當(dāng)甲,乙,丙三人取得3個(gè)白球,則丁取到紅球概率為;
當(dāng)甲,乙,丙三人取得3個(gè)紅球,則丁取到紅球概率為.
則所求概率為.
22．答案：（1）存在
（2）證明見解析
解析:（1）因?yàn)?則的定義域?yàn)?
進(jìn)一步化簡得:
令,則在上單調(diào)遞增,
且,所以時(shí),時(shí),
要使得單調(diào)遞增,則在上恒成立
當(dāng)時(shí),恒成立
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,不合題意
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,不合題意
綜上:.
（2）由（1）可得且,極值點(diǎn)為與1,
所以
令
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,
所以,即成立.
X
0
1
2
P

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