廣西百色市平果市鋁城中學2024屆高三下學期3月份測試數(shù)學試卷（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 命題“”的否定為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題解答即可；
【詳解】解：因為全稱命題的否定為特稱命題，則命題的否定為，
故選：C．
【點睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，屬于基礎題．
2. 設為虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則在復平面內(nèi)，對應的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復數(shù)的四則運算進行化簡，然后在利用共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的幾何意義求解即可.
【詳解】因為，所以，
由共軛復數(shù)的定義知，，
由復數(shù)的幾何意義可知，在復平面對應的點為，位于第二象限.
故選：B
【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)的定義和復數(shù)的幾何意義；考查運算求解能力；屬于基礎題.
3. 已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性并借助特殊值1為“橋梁”，即可判斷作答.
【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，于是得，
函數(shù)在R上單調(diào)遞減，而，于是得又，
即，所以.
故選：A
4. 如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形，已知直觀圖OA′B′C′中，，則該平面圖形的面積為（）

A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)直觀圖與原平面圖形的關(guān)系作出原平面圖形，求出相應邊長后計算面積．
【詳解】作出原來的平面圖形，如圖，，，
在題設等腰梯形中，，因此，
所以．
故選：D．

5. 若點是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線的定義可得，由可推出或13，反之，由可推出，再利用必要條件，充分條件的定義，即可得出答案．
【詳解】由雙曲線的定義可知，
由雙曲線的標準方程得，，
由可推出或13，
所以“”推不出“”；
反之，由可推出或1，不符合題意舍去，
所以“”可推出“”；
則“”是“”的必要不充分條件．
故選：．
6. 某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為（）
A. 288B. 336C. 576D. 1680
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意,分2步進行分析,由分步計數(shù)原理計算可得答案.
【詳解】解:第一步:排白車,第一行選一個位置,則第二行有三個位置可選,由于車是不相同的,故白車的停法有種,
第二步,排黑車,若白車選,則黑車有共7種選擇,黑車是不相同的,故黑車的停法有種，
根據(jù)分步計數(shù)原理,共有種,
故選：B
7. 若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（2x＋1）為偶函數(shù)，f（x－1）的圖象關(guān)于點（3，3）成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（）
①的一個周期為2 ②
③ ④直線是圖象的一條對稱軸
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得，，且，根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判①的正誤；根據(jù)周期性的應用，可判②的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，進行分組求和，根據(jù)函數(shù)的對稱性，可得，，可判③的正誤；根據(jù)函數(shù)的軸對稱性的性質(zhì)，可判④的正誤.
【詳解】因為偶函數(shù)，所以，則，即函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱，
因為函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位，所以函數(shù)關(guān)于點成中心對稱，則，且，
對于①，，
，則函數(shù)的周期，故①錯誤；
對于②，，故②正確；
對于③，，則，
，則，
由，則，故③正確；
對于④，，而函數(shù)不是偶函數(shù)，所以不恒成立，故④錯誤.
故選：B.
8. 已知，分別為雙曲線：的左，右焦點，點是右支上一點，若，且，則的離心率為
A. B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中，求出，，然后利用雙曲線的定義列式求解．
【詳解】在中，因為，所以，
，，
則由雙曲線的定義可得
所以離心率，故選C.
【點睛】本題考查雙曲線的定義和離心率，解題的關(guān)鍵是求出，，屬于一般題．
二．多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.
9. 展開式中，下列結(jié)論正確的是（）
A. 展開式共6項B. 常數(shù)項為
C. 所有項的二項式系數(shù)之和為64D. 所有項的系數(shù)之和為0
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用二項展開式的特點判斷A；求出指定項判斷B；利用二項式系數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用賦值法求出展開式系數(shù)和判斷D；.
【詳解】對于A，展開式有7項，故A錯誤；
對于B，常數(shù)項為，故B正確；
對于C，所有項的二項式系數(shù)和為，故C正確；
對于D，令，得所有項的系數(shù)和為，故D正確；
故選：BCD.
10. 現(xiàn)有12張不同編碼的抽獎券，其中只有2張有獎，若將抽獎券隨機地平均分給甲、乙、丙、丁4人，則（）
A. 2張有獎券分給同一個人的概率是
B. 2張有獎券分給不同的人的概率是
C. 2張有獎券都沒有分給甲和乙的概率為
D. 2張有獎券分給甲和乙各一張的概率為
【答案】BD
【解析】
【分析】先分組，再分配，結(jié)合分類加法計數(shù)原理以及古典概型的概率公式，即可得出答案.
【詳解】對于A項，
將10張沒有獎的獎券按照1，3，3，3分成三組，不同的分法種數(shù)為，
然后分配給4個人的分法為，
所以，2張有獎券分給同一個人的概率是，故A項錯誤；
對于B項，由A可得，2張有獎券分給不同的人的概率是，故B項正確；
對于C項，由A可知，2張有獎券都分給丙的概率是；
2張有獎券都分給丁的概率是；
若2張有獎券，1張分給丙、1張分給丁
將10張沒有獎的獎券按照2，2，3，3分成四組，不同的分法種數(shù)為，
然后分配給4個人的分法為，
所以，2張有獎券，1張分給丙、1張分給丁的概率是，
所以，2張有獎券都沒有分給甲和乙的概率為，故C項錯誤；
對于D項，因為2張有獎券，1張分給丙、1張分給丁的概率是，
同理可得，2張有獎券分給甲和乙各一張的概率為，故D項正確.
故選：BD
【點睛】方法點睛：根據(jù)已知，先將抽獎券分組，然后再分配.
11. 數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美?寓意獨特的幾何體，“等腰四面體”就是其中之一，所謂等腰四面體，就是指三組對棱分別相等的四面體.關(guān)于“等腰四面體”，以下結(jié)論正確的是（）
A. “等腰四面體”每個頂點出發(fā)的三條棱一定可以構(gòu)成三角形
B. “等腰四面體”的四個面均為全等的銳角三角形
C. 三組對棱長度分別為5，6，7的“等腰四面體”的體積為
D. 三組對棱長度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為
【答案】ABC
【解析】
【分析】將等腰四面體補成長方體，設等腰四面體的對棱棱長分別為，，，與之對應的長方體的長寬高分別為，，，然后結(jié)合長方體的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷．
詳解】如圖，將“等腰四面體”補成一個長方體.
設此“等腰四面體”的對棱棱長分別為，，，
與之對應的長方體的長寬高分別為，，，
則，得，，.
結(jié)合圖形，容易判斷出AB都是正確的；
對于C，由，，，得，，，
因為“等腰四面體”的體積是對應長方體的體積減去四個小三棱錐的體積，
所以“等腰四面體”的體積為，故C正確；
對于D，三組對棱長度分別為，，的“等腰四面體”的外接球直徑為
，故D不正確.
故選：ABC
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 直線 (k∈R)與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則m的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】先求得直線過的定點坐標，再根據(jù)直線與橢圓總有公共點，由點P在橢圓上或在橢圓的內(nèi)部求解.
【詳解】直線，即，直線恒過定點，
直線與橢圓總有公共點等價于點在橢圓內(nèi)或在橢圓上．
所以，即，又，故m∈．
故答案為：.
13. 從拋物線上一點作圓：得兩條切線，切點為，則當四邊形面積最小時直線方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】表示出四邊形面積，，求四邊形面積的最小值即求的最小值，確定最值求出點坐標，則為以圓和以為直徑的圓的公共弦，兩圓方程作差即可求出直線的方程.
【詳解】如圖，由題可知，，由對稱性可知，

所以求四邊形的最小面積即求的最小值
設，，則
當，即時，，四邊形的最小面積為
所以
所以以為直徑的圓的方程為：
則為以圓和以為直徑圓的公共弦
如圖所示
兩圓方程作差得：
所以直線方程為
故答案為：
14. 上海進博會是世界上第一個以進口為主題的國家級展覽會，每年舉辦一次.現(xiàn)有6名志愿者去兩個進博會場館工作，每個場館都需要3人，則甲乙兩人被分配到同一個場館的概率是__________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】先由分組分配求出總情況，再計算出甲乙兩人被分配到同一個場館的情況，由古典概型求解即可.
【詳解】由題意知：總情況有種，其中甲乙兩人被分配到同一個場館的情況有種，故甲乙兩人被分配到同一個場館的概率是.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，滿足，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記，，和分別為數(shù)列和數(shù)列的前n項和，求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，，利用等差數(shù)列的通項公式，進行基本量的計算即可得解；
（2）利用錯位相減法求得，再用作差法比較大小即可得解.
【小問1詳解】
設數(shù)列的公差為d，
則依題意
解得或（舍），
所以，所以數(shù)列的通項公式；
【小問2詳解】
證明：，所以，
，兩式相減得，
，
所以，
因為，
所以，
因為，
所以.
16. 在中，內(nèi)角滿足.
（1）求證：；
（2）求最小值.
【答案】（1）證明見解析
（2）最小值為3
【解析】
【分析】（1）先由正弦定理化角為邊，再用余弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換可證結(jié)論；
（2）利用，得出，結(jié)合基本不等式求得最小值.
【小問1詳解】
因為，由正弦定理得，從而，
則，
所以，
即有.
【小問2詳解】
由（1），有，
則，
故，
當且僅當，即時取等號.
所以的最小值為3.
17. 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，是邊長為2的正三角形， .
（1）求證：；
（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系，證明平面POC即可；
（2）建立空間直角坐標系，運用空間向量求解.
【小問1詳解】
如圖，取中點，連接，，，
∵底面為菱形，，是等邊三角形，
∴，
∵ 是等邊三角形，
∴，
∵ ，平面POC，平面POC，
∴平面，又平面，
∴；
【小問2詳解】
∵ 是邊長為2的正三角形，點為中點，∴，
∵四邊形為菱形，，則，∴，
∴，又，平面ABCD，平面ABCD，且，
∴底面；
如圖，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，
則，
，
設平面的法向量為，由得：，
取，得，∴，
設平面的法向量為，由得：，
取，得，∴，
∴，平面與平面夾角的余弦值為；
綜上，平面與平面夾角的余弦值為.
18. 已知雙曲線的右焦點為，實軸長為.
（1）求雙曲線的標準方程;
（2）過點，且斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點，為坐標原點，若的面積為，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）焦點坐標和實軸長得到，再結(jié)合得到，即可得到雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程，利用韋達定理得到，根據(jù)點到直線的距離公式得到點到直線的距離，然后利用三角形面積公式列方程，解方程即可.
【小問1詳解】
由題意得，，則，，
所以雙曲線的標準方程為.
【小問2詳解】
設直線的方程為，，，，
聯(lián)立得，
令，解得且，
則，，
，
設點到直線的距離為，則，
所以，
解得或0（舍去），即，
所以直線的方程為或.
19. 已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1.
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當a≥1時，ax2+3x-lnx>0.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）先求導，再根據(jù)導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）結(jié)合（1）可知，，化簡得，，所以，則原式可同步放縮為，即可求證.
【詳解】（1）由題意，函數(shù)定義域為，且，
當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）證明：由（1）得在）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，所以，
因為，所以則，
即,即.

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