注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).
2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.
4．保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
一、選擇題：本題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】由不等式，解得，可得，
又由，所以.
故選：B.
2. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由，可得成立，即必要性成立；
反之：若，可得或，即充分性不成立，
所以是的必要不充分條件．
故選：B．
3. 函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，則為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令上的指數(shù)為0即可得到答案.
詳解】對于函數(shù)，令，可得，則，
所以，函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：A
4. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題判斷即可.
【詳解】命題“”為全稱量詞命題，其否定是“”．
故選：D
5. 若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則（ ）
A. B. C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)奇偶性定義和判定方法，列出方程，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
可得，所以，
由，可得，解得，所以．
故選：A
6. 已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)單調(diào)性即可得解.
【詳解】因為，而，所以，所以.
故選：C.
7. 已知，且，則的最小值為（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】依題意可得，再利用乘“1”法及基本不等式計算可得.
【詳解】因為，且，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為．
故選：C．
8. 已知函數(shù)，則（ ）
A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】依題意可得，再倒序相加即可得解.
【詳解】因為，
所以
，
所以
．
所以．
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知是實數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)以及特殊值檢驗求解.
【詳解】對于選項，當(dāng)時，，故A錯誤；
對于選項B，當(dāng)時，兩邊同乘得，則B正確；
對于選項，當(dāng)，則，顯然成立，則C正確；
對于選項，若，當(dāng)，所以，則D錯誤．
故選：.
10. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 直線是圖象的一條對稱軸
C. 點(diǎn)是圖象的一個對稱中心
D. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象讀取周期信息即得A項，根據(jù)周期確定值，根據(jù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)確定，推得函數(shù)解析式，對于B,C,D項只需將看成整體角，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象逐一驗證其對稱性和單調(diào)性等性質(zhì)即得.
【詳解】設(shè)的最小正周期為，
由圖象可知，解得，故A選項正確；
因為，所以，解得，如圖可知：，故．
將代入解析式得，因為，則，得，故．
當(dāng)時，，則點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心，即直線不是其對稱軸，故B選項錯誤；
當(dāng)時，，則點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心，故C選項正確；
因當(dāng)時，取，而在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D選項錯誤．
故選：AC．
11. 已知函數(shù)，若方程有四個不同的零點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作和的圖象，結(jié)合圖象可判斷A，由圖可知，且、，再結(jié)合各選項一一判斷即可.
【詳解】如圖所示，在同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作和的圖象，從圖象可知：
要使方程有四個不同的零點(diǎn)，只需，選項A錯誤；
對于B，因為，，，
且函數(shù)關(guān)于對稱，
由圖可得，
且，，
所以，所以，則，
所以
令，當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值，
所以，故B正確；
對于C，是的兩根，所以，即，
所以，所以；由是的兩根，所以，
所以，即不成立，故C錯誤；
對于D，由得
令，函數(shù)在在上單調(diào)遞增，所以，
即，故D正確．
故選：BD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知函數(shù)是冪函數(shù)，則______．
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入計算可得.
【詳解】因為函數(shù)是冪函數(shù)，
所以，解得，，.
故答案為：
13. 已知扇形的圓心角為，其周長是，則該扇形的面積是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)扇形的弧長和面積公式，即可求解.
【詳解】設(shè)扇形半徑為，弧長為，因為扇形的圓心角為，其周長是，
所以，解得：，所以該扇形的面積．
故答案：2
14. 設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則_________.
【答案】
【解析】
【分析】由為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可求得的周期為4，由為奇函數(shù)，可得（1），結(jié)合（3），可求得，的值，從而得到，時，的解析式，再利用周期性和奇偶性推導(dǎo)出，進(jìn)一步求出的值．
【詳解】為奇函數(shù)，（1），且，
偶函數(shù)，，
，即，
．
令，則，
，．
當(dāng)，時，．
（2），
（3）（1），
又（3），，解得，
（1），，
當(dāng)，時，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是利用條件推導(dǎo)出函數(shù)的奇偶性與周期性，再求值．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 化簡，求值
（1）；
（2）若求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡計算即得；
（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，再運(yùn)用同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得.
【小問1詳解】
；
【小問2詳解】
.
當(dāng)時，原式．
16. 已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．
【答案】（1）；
（2）和．
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，，時，由即可得解；
（2）由配方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可.
【小問1詳解】
依題意，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
又是奇函數(shù)，，
∴的解析式為．
【小問2詳解】
依題意可知當(dāng)時，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
，
所以在區(qū)間上的最小值和最大值分別為和．
17. 已知函數(shù)，
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）把的圖象向右平移個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期公式可得其周期，將看成整體角，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即得；
（2）根據(jù)平移變換求出，取，由求得，作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，須使解之即得.
【小問1詳解】
的最小正周期．
由得
的單調(diào)遞增區(qū)間是
【小問2詳解】
把的圖象向右平移個單位得到，
再向上平移2個單位長度，得到的圖象.
由，得，取，則，
因為在區(qū)間上的最大值為3，
所以在區(qū)間上的最大值為1.
作出在區(qū)間上的圖象，可知須使，即，
所以的取值范圍為．
18. 已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)．
（1）求的值，并證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）求函數(shù)的值域．
【答案】（1），證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由偶函數(shù)的定義即可得關(guān)于的恒等式，由此即可求得，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；
（2）通過換元法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)性質(zhì)即可將原問題轉(zhuǎn)換為閉區(qū)間上的二次函數(shù)最值，由此即可得解.
【小問1詳解】
因為函數(shù)在R上為偶函數(shù)，所以，
解得恒成立，即．
所以，
對任意的，
因為，
所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．
【小問2詳解】
函數(shù)．
令，因為，所以，所以，
令，故函數(shù)在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
則函數(shù)的值域為．
19. 已知函數(shù)，
(1) 判斷的奇偶性并證明；
(2) 令
①判斷在的單調(diào)性（不必說明理由）；
②是否存在，使得在區(qū)間的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）①單調(diào)遞減，②
【解析】
【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，即可證出．
(2) ①求出，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則可知，在上單調(diào)遞減；②根據(jù)在上單調(diào)遞減，可以得到，然后轉(zhuǎn)化得出：和是方程的兩根，再將其轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象在
上有兩個交點(diǎn)，觀察圖象，可求出的取值范圍．
【詳解】奇函數(shù)；證明如下：
由解得或,
所以的定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱．
,
故為奇函數(shù)．
，①在上單調(diào)遞減．
②假設(shè)存在，使在的值域為．
由知，在上單調(diào)遞減．
則有,．
所以,是方程在上的兩根，
整理得在有2個不等根和．
即 ，令，則，，
即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個交點(diǎn)，
所以， ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及函數(shù)、方程與圖象之間的關(guān)系應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與推理能力．

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