（滿分 150 分，考試用時 120 分鐘）
★?？荚図樌?br>單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.設z=i(2+i)，則在復平面內對應的點位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.設是任意向量,則下列結論一定正確的是( )
A． B．
C． D．
3.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面積是( )
A. 2B. 2
C D.
4.設l是直線，，是兩個不同的平面，下列選項中是真命題的為（ ）
A. 若，，則B.若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
5．“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間[0,10]內的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示滿意度越高.現(xiàn)隨機抽取10位嘉祥縣居民，他們的幸福感指數(shù)為 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.則這組數(shù)據(jù)的 80%分位數(shù)是（ ）
A． 7.5B．8C． 8.5D．9
6.在本次數(shù)學考試中，第二大題為多項選擇題.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5 分，部分選對的得 3 分，有選錯的得 0 分，小明因某原因網(wǎng)課沒有學習，導致題目均不會做，那么小明做一道多選題得5分的概率為（ ）
A. QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D. QUOTE
7．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間．紫砂壺的壺型眾 多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等．其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺 (即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的)．下圖給出了一個石瓢壺的相關數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺的容量約為（ ）
A．100 B． C．300 D．400
8.△ABC所在的平面內有一點P,滿足+2+=2,則△PBC與△ABC的面積之比是( )
A.B.C.D.
多項選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得 5 分，部分選對的得 3 分，有選錯的得 0 分．
9.拋擲一枚骰子 1 次,記“向上的點數(shù)是 1,2”為事件 A,“向上的點數(shù)是 1,2,3”為事件B,“向上的點數(shù)是 1,2,3,4”為事件C,“向上的點數(shù)是 4,5,6”為事件D,則下列關于事件 A， B，C，D 判斷正確的有（）
A．A與D是互斥事件但不是對立事件 B．B與D是互斥事件也是對立事件
C．C與D是互斥事件
D．B與C 不是對立事件也不是互斥事件
10．下列說法正確的有( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，則△ABC為等腰三角形
C．△ABC中，sin A＞sin B是A ＞B的充要條件
D．在△ABC中，若sin A=，則A=
11若平面向量，，兩兩夾角相等，，為單位向量，=2，則=( )
A.1B.2C.3D.4
12．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E、F，且，則下列結論中正確的是
A． B．
C．三棱錐的體積為定值
D．
填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分．
13.設是虛數(shù)單位，復數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為 ______ .
14．已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱高為4，體積為4，則這個球的表面積為
15.在?ABCD中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝3，N為DC的中點，eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MC,\s\up6(→))，則eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝________．
16.1996年嘉祥被國家命名為“中國石雕之鄉(xiāng)”。2008年6月，嘉祥石雕登上了國家文化部公布的“第二批國家級非物質文化遺產(chǎn)名錄”，嘉祥石雕文化產(chǎn)業(yè)園被國家文化部命名為“國家級文化產(chǎn)業(yè)示范基地”。近年來，嘉祥石雕產(chǎn)業(yè)發(fā)展十分迅猛，產(chǎn)品暢銷全國各地及美國、日本、東南亞國家和地區(qū)。嘉祥某石雕廠為嚴把質量關，對制作的每件石雕都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件石雕3位行家都認為質量過關，則該石雕質量為優(yōu)秀級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該石雕質量為良好級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該石雕需返工重做.已知每一次質量把關中一件石雕被1位行家認為質量不過關的概率均為，且每1位行家認為石雕質量是否過關相互獨立.則一件石雕質量為優(yōu)秀級的概率為______ ；一件石雕質量為良好級的概率為______.(第一空2分，第二空3分）
四、解答題：本題共 6 小題，共 70 分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(10分)已知是同一平面內的三個向量，；
（1）若，且、共線反向，求的坐標；
（2）若，且（）（），求與的夾角.
18.(12分)在銳角中，分別是角所對的邊，且.
（1）求角的大??；
（2）如果a+b=6，,求的值。
19.(12分)袋子中裝有除顏色外其他均相同的編號為a，b的2個黑球和編號為c，d，e的3個紅球．
(1)若從中一次性（任意）摸出2個球，求恰有一個黑球和一個紅球的概率；
(2)若從中任取一個球給小朋友甲，然后再從中任取一個球給小朋友乙，求甲、乙兩位小朋友拿到的球中恰好有一個黑球的概率．
(3)若從中連續(xù)取兩次，每次取一球后放回，求取出的兩個球恰好有一個黑球的概率．
20. (12分)網(wǎng)絡直播是一種新興的網(wǎng)絡社交方式，網(wǎng)絡直播平臺也成為了一種嶄新的社交媒體。很多人選擇在快手、抖音等網(wǎng)絡直播平臺上分享自己的生活點滴.2020年的寒假，注定不凡.因為新冠病毒疫情的影響，開學延遲了。老師們停課不停教，在網(wǎng)絡上直播授課；同學們停課不停學，在家上網(wǎng)課.某網(wǎng)絡社交平臺為了了解網(wǎng)絡直播在大眾中的熟知度，對15-65歲的人群隨機抽樣調查，調查的問題是“你直播過嗎？”其中，回答“直播過”的共有個人.把這個人按照年齡分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，然后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.其中，第一組的頻數(shù)為20.
（1）求 和的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；
（2）從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取6人，求第1，3，4組抽取的人數(shù)；
（3）在（2）抽取的6人中再隨機抽取2人，求所抽取的2人來自同一個組的概率.
21．(12分)如圖，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，垂直于底面，，.
（1）求證；
（2）求平面與平面所成二面角的大??；
（3）設棱的中點為，求異面直線與所成角的大小
（如需要做輔助線，在上傳的答題卡中作出.）
22.(12分)如圖，已知AF面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，
（1）求證：AF//面BCE；
（2）求證：AC面BCE；
（3）求三棱錐F-BCE的體積．
（如需要做輔助線，在上傳的答題卡中作出.）
2019-2020學年嘉祥一中高一（下）期中數(shù)學參考答案
1【答案】D
【解析】，
所以對應點（-1，-2）位于第四象限．故選D
2答案：D
答案解析：∵,∴A中結論錯誤；
向量的數(shù)量積不滿足結合律,∴B中結論錯誤；
當時,與的夾角為90°或,、至少一給為零向量∴C中結論錯誤；
D中結論正確.
3【答案】B
【解析】
由題圖可知原△ABC的高為AO＝ 2，
∴S△ABC＝×BC×OA＝×2× 2＝ 2，故答案為B
4【答案】A
【解析】
A.若，，由線面平行的性質過的平面與相交于，則，又.所以，所以有，所以正確.
B.若，，則與可能平行，也可能相交，所以不正確.
C.若，，則可能，所以不正確.
D.若，，則與可能的位置關系有相交、平行或,所以不正確.
5【答案】C
由題意，這 10 個人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列， 因為 80% ?10??8 ，
所以這 10 個人的 80% 分位數(shù)是從小到大排列后第 8個人與第 9個人的幸福指數(shù)的平均數(shù)，即 8.5.故選：C
6【答案】C
【解析】小明做一道多選題得5分為事件A，多選題的樣本空間共有AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD共11個樣本點，P(A)=1/11
【答案】B
【解析】設大圓錐的高為，所以，解得，故．
8【解析】選C.因為+2+=2,所以+2+=2-2,所以=-3=3,即P是AC邊的一個四等分點,且PC= QUOTE AC,由三角形的面積公式知,==.
9【答案】ABD
10答案：A，C
答案解析：
由正弦定理易知A，C正確．對于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝eq \f(π,2)，∴a＝b，或a2＋b2＝c2，故B錯誤. D中A為
11．AD【解析】夾角為0時為4；夾角為時為1
12．ABC
【解析】
可證，故A正確；由∥平面ABCD，可知，B也正確；連結BD交AC于O，則AO為三棱錐的高，，三棱錐的體積為為定值，C正確；D錯誤。選ABC。
13【解析】，
14【答案】
【解析】由題可得正四棱柱的底面邊長為：．4S=4,S=1,a=1而它的外接球的直徑為它的體對角線長：2R=，則球的表面積為：
15解析：法一：eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))·(eq \(NC,\s\up6(→))＋eq \(CM,\s\up6(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(AD,\s\up6(→))))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(AB,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \f(2,9)eq \(AD,\s\up6(→))2＝6.
法二(特例圖形)：若?ABCD為矩形，建立如圖所示坐標系，
則N(2，3)，M(4，2)．
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝(4，2)，eq \(NM,\s\up6(→))＝(2，－1)，
所以eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(NM,\s\up6(→))＝(4，2)·(2，－1)＝6.
答案：24
16.一件石雕質量為A 級的概率為（2分）
一件石雕質量為B級的概率為.（3分）
17.解：(Ⅰ)由可設
又、共線反向，則
=. ………………5分
(Ⅱ)與垂直,
即而，
………………8分
因為
………………10分
18【詳解】（1）因為
所以由正弦定理得, ………………2分
因為，
所以, ………………4分
因為是銳角，所以. ………………6分
12分

19解：(1)從5個小球中一次性取2個，所有可能的結果為{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共10個樣本點，
設恰有一個黑球和一個紅球為事件A,則A有{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，共6個樣本點
………………4分
(2)從5個小球中任取2個，一個給甲，一個給乙的所有可能的結果為(括號內第一個給甲，第二個給乙)(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，共20個樣本點.
設甲、乙兩位小朋友拿到的球中恰好有一個黑球為事件B則B有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共12個樣本點.
………………8分
(3)從5個小球中連續(xù)取倆次，每次取一球后放回，所有可能的結果為(a，a)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，b)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，c)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，d)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，(e，e)，共25個樣本點.
設取出的兩個球恰好有一個黑球為事件C則C有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共12個樣本點.
………………12分
20.解：（1）由題意可知，，………………1分
由，
解得， ………………3分
由頻率分布直方圖可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為30；………………4分
（2）第1，3，4組頻率之比為0.020：0.030：0.010=2：3：1
則從第1組抽取的人數(shù)為,
從第3組抽取的人數(shù)為，
從第4組抽取的人數(shù)為； ………………7分
（2）設第1組抽取的2人為，第3組抽取的3人為，第4組抽取的1人為，則從這6人中隨機抽取2人有如下種情形：，，共有15個樣本點.………………9分
其中符合“抽取的2人來自同一個組”的基本事件有共4個樣本點， ………………11分
所以抽取的2人來自同一個組的概率.………………12分
21．
（I）∵底面是正方形， ∴，
∵底面，底面，∴，又， ∴平面，∵平面，∴. ………………4分
（II）由（I）知，又,∴為所求二面角的平面角，………6分
在中，∵SD=DC=1，∴.………………8分
（III）取中點，連結，
在，由中位線定理得 ，
或其補角是異面直線與所成角，………………10分
∵
所以中，有，.………………12分
22. 解：
證明：四邊形ABEF為矩形，，………………1分
平面BCE，平面BCE，………………2分
面BCE．………………3分
證明：面ABCD，四邊形ABEF為矩形，
平面ABCD，平面ABCD，
， ………………4分
四邊形ABCD為直角梯形，，，，，
，
，在中，
，
，， ………………6分
，，面BCE，面BCE，………………7分
面BCE． ………………8分
（3）……………12分

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