一、單選題
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)集合的交集運算求解即可>
【詳解】解：，，
．
故選：B．
2．命題“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.
【詳解】因為全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，
所以命題“，”的否定是，.
故選：C.
3．下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，再結(jié)合指數(shù)冪的意義即可得到答案
【詳解】對于A，由有意義可知，而當(dāng)時，無意義，故A錯誤；
對于B，當(dāng)時，，而無意義，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤．
對于D，．故D正確．
故選：D.
4．已知，，，均為實數(shù)，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，則
【答案】D
【分析】利用特殊值判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B、C、D.
【詳解】對于A：若、、、，滿足，，
但是，，即，故A錯誤；
對于B：因為，，故，故B錯誤；
對于C：，而，故，故C錯誤；
對于D：因為，所以，，所以，故D正確.
故選：D.
5．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函數(shù)的奇偶性化簡，再根據(jù)單調(diào)性比較出三者的大小關(guān)系.
【詳解】由于是偶函數(shù)，故.由于在是增函數(shù)，所以，即.
故選D.
【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.
6．已知函數(shù)，關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（ ）
A．B．的值域為
C．的解集為D．若，則x的值是1或
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象一一判斷即可；
【詳解】解：因為，函數(shù)圖象如下所示：
由圖可知，故A錯誤；
的值域為，故B正確；
由解得，故C錯誤；
，即，解得，故D錯誤；
故選：B
7．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)滿足
是周期為的周期函數(shù)，
當(dāng)時，
故
故選
點睛：本題考查了函數(shù)的奇偶性與周期性，要求較大的數(shù)的函數(shù)值只需利用周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后再運用函數(shù)是奇函數(shù)求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型
8．若函數(shù)且滿足對任意的實數(shù)都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)是上的增函數(shù)，需要滿足指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)都是增函數(shù)，且在分割點處函數(shù)值滿足對應(yīng)關(guān)系，據(jù)此列出不等式求解即可.
【詳解】函數(shù)滿足對任意的實數(shù)都有，
所以函數(shù)是上的增函數(shù)，
則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)單調(diào)性可知應(yīng)滿足，
解得，
所以數(shù)的取值范圍為
故選：.
【點睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，涉及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬綜合基礎(chǔ)題.
二、多選題
9．下列給出的各選項，正確的是（ ）
A．函數(shù)與是相同函數(shù)
B．是的一個必要不充分條件
C．若的定義域是，則函數(shù)的定義域是
D．若函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則
【答案】ABCD
【分析】A選項，有定義域和對應(yīng)法則均相同得到A正確；B選項，根據(jù)推出關(guān)系得到B正確；C選項，根據(jù)抽象函數(shù)定義域和具體函數(shù)定義域得到不等式，求出答案；D選項，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到，結(jié)合定義域得到，故D正確.
【詳解】A選項，函數(shù)與定義域與對應(yīng)法則均相同，故是相同函數(shù)，A正確；
B選項，因為，，故是的一個必要不充分條件，B正確；
C選項，令，解得，故定義域為，C正確；
D選項，因為且，所以在上單調(diào)遞減，
要想函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，
則要在定義域上單調(diào)遞增，
故，且此時在時恒成立，
由于在上的最小值為，
故，解得，所以，D正確.
故選：ABCD
10．已知，都為正數(shù)，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為B．的最小值為
C．的最大值為D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式一一判斷即可.
【詳解】對于A：，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
即的最大值為，故A正確，
對于B：，，，
，
由A可知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，
即的最小值為，故B正確，
對于C：，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
顯然不成立，所以的最大值取不到，故C錯誤，
對于D，，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，
即的最小值為，故D正確，
故選：ABD．
11．下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)（且）的圖像恒過定點
B．若，則
C．函數(shù)的值域為
D．關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為
【答案】BC
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)判斷B，利用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，關(guān)于方程的根為和，且，即可得到、、的關(guān)系，從而求出不等式的解集，即可判斷D.
【詳解】對于A：因為，所以函數(shù)（且）的圖像恒過定點，故A錯誤；
對于B：因為，所以，則（負(fù)值舍去），故B正確；
對于C：令，則，，
令，，
當(dāng)時，函數(shù)有最大值，
所以函數(shù)的值域為，故C正確；
對于D：因為關(guān)于的不等式的解集為，
所以關(guān)于方程的根為和，且，
即，且，解得，
∴由，得，
由化簡得，解得，
即不等式的解集為，故D錯誤.
故選：BC
12．對任意兩個實數(shù)，定義若，，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．函數(shù)是偶函數(shù)
B．方程有三個解
C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．函數(shù)有4個單調(diào)區(qū)間
【答案】ABD
【分析】結(jié)合題意作出函數(shù)的圖象，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解即可.
【詳解】解：根據(jù)函數(shù)與，，畫出函數(shù)的圖象，如圖．
由圖象可知，函數(shù)關(guān)于y軸對稱，所以A項正確；
函數(shù)的圖象與x軸有三個交點，所以方程有三個解，所以B項正確；
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以C項錯誤，D項正確．
故選：ABD
三、填空題
13．已知集合與集合是兩個相等的集合，求的值是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)集合相等可得答案.
【詳解】因為集合與集合是兩個相等的集合，
所以，，，
解得，，
所以兩個集合分別為，
.
故答案為：.
14．已知，則 .
【答案】
【分析】利用換元法求解即可
【詳解】令，則，
所以，
即，
故答案為：
15． ．
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)及對數(shù)運算律計算化簡即可.
【詳解】.
故答案為： .
四、雙空題
16．若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，函數(shù)的解析式為 ；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為
【答案】
【分析】第一空利用奇函數(shù)的性質(zhì)計算即可，第二空利用單調(diào)性結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.
【詳解】令，即，則；
由題意可得：.
故答案為：；
五、解答題
17．已知集合.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分別求解集合，再求解的值；
（2）由條件可知，利用子集關(guān)系，分和列式求解實數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：（1）當(dāng)時，
或
（2），，
①當(dāng)時，，此時滿足；
②當(dāng)時，要使成立，
則需滿足，
綜上，實數(shù)的取值范圍是
18．已知二次函數(shù)滿足條件，及.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）設(shè)，，利用已知條件列出方程，求出，，即可得到解析式．
（2）依題意可得，再分、、三種情況討論，分別求出不等式的解集.
【詳解】（1）設(shè)，，
則，
又，，
所以，恒成立，
，解得，所以；
（2）不等式，即，
即，即，
當(dāng)時,解得，
當(dāng)時,解得，
當(dāng)時,解得，
綜上可得,當(dāng)時,不等式的解集為，
當(dāng)時,不等式的解集為，
當(dāng)時,不等式的解集為.
19．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù).
(1)當(dāng)時，記、的值域分別為集合，，設(shè)：，：，若是成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
(2)設(shè)，且在上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用冪函數(shù)定義及單調(diào)性求出并求出集合，再利用單調(diào)性求出集合，借助集合的包含關(guān)系求解作答.
（2）求出函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式求解作答.
【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則有，解得，所以，當(dāng)時，，即，
函數(shù)是上的增函數(shù)，當(dāng)時，，即，
因，是成立的必要條件，則，顯然，
則，解得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
（2）由（1）可得，
又在上單調(diào)，所以或，
解得或，
即實數(shù)的取值范圍為.
20．設(shè)，且.
（1）求的值及的定義域；
（2）求在區(qū)間上的最小值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）由函數(shù)值可求得參數(shù)值，由真數(shù)大于0可得定義域；
（2）把函數(shù)式變形為，然后確定函數(shù)的單調(diào)性，從而得最小值．
【詳解】（1）由得，解得，
由得，因此，函數(shù)的定義域為；
（2）由（1）得，
令，由得，
則原函數(shù)為，，由于該函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，因此，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.
【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解題關(guān)鍵：（前提條件：在函數(shù)定義域內(nèi)）
21．為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm（宣傳欄中相鄰兩個三角形板塊間在水平方向上的留空寬度也都是10cm），設(shè).
(1)當(dāng)時，求海報紙（矩形）的周長；
(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？
【答案】(1)900cm
(2)選擇長、寬分別為350cm，140cm的海報紙，可使用紙量最少
【分析】（1）根據(jù)宣傳欄的面積以及可計算出直角三角形的高，再根據(jù)留空寬度即可求得矩形的周長；
（2）根據(jù)陰影部分面積為定值，表示出矩形面積的表達(dá)式利用基本不等式即可求得面積的最小值，驗證等號成立的條件即可得出對應(yīng)的長和寬.
【詳解】（1）設(shè)陰影部分直角三角形的高為cm，
所以陰影部分的面積，所以，
又，故，
由圖可知cm，cm.
海報紙的周長為cm.
故海報紙的周長為900 cm.
（2）由（1）知，，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即cm，cm時等號成立，
此時，cm，cm.
故選擇矩形的長、寬分別為350 cm，140 cm的海報紙，可使用紙量最少.
22．設(shè)函數(shù)，是定義域為的奇函數(shù).
(1)確定的值.
(2)若，判斷并證明的單調(diào)性；
(3)若，使得對一切恒成立，求出的范圍.
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
（2）首先求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再利用單調(diào)性的定義證明即可；
（3）依題意可得對恒成立，由，即可得到，從而得解.
【詳解】（1）因為是定義域為的奇函數(shù)，
則，
而，解得，
所以的值是.
（2）由（1）得，是定義域為的奇函數(shù)，
又，則，即，又，解得，
則
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)且，
則，
因為，則，即，，
于是得，即，
所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.
（3）當(dāng)時，，
因為，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以，解得，所以的取值范圍為.
增
增
增
減
增
減
減
增
減
減
減
增

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