2020.04
一、單項選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．復數(shù)的虛部為（ ）．
A．2B．C．D．
2．已知向量，，且，則的值是（ ）．
A．B．C．3D．
3．如圖正方形的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積為（ ）．
A．B．1C．D．
4．設兩個單位向量，的夾角為，則（ ）．
A．1B．C．D．7
5．圓錐的高和底面半徑之比，且圓錐的體積，則圓錐的表面積為（ ）．
A．B．C．D．
6．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式是（ ）．
A．B．
C．D．
7．一艘海輪從處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達處，在處有一座燈塔，海輪在處觀察燈塔，其方向是南偏東，在處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么、兩點間的距離是（ ）海里．
A．B．C．D．
8．設，，是三條不同的直線，，是兩個不重合的平面，給定下列命題：
①；②；③；
④；⑤；⑥．
其中為真命題的個數(shù)為（ ）．
A．1B．2C．3D．4
二、多項選擇題：在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．
9．有下列說法，其中錯誤的說法為（ ）．
A．若，，則
B．若，則是三角形的垂心
C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向
D．若，則存在唯一實數(shù)使得
10．將函數(shù)的圖像向左平移個單位．若所得圖象與原圖象重合，則的值可能等于（ ）．
A．4B．6C．8D．12
11．在中，根據(jù)下列條件解三角形，其中無解的是（ ）．
A．，，B．，，
C．，，D．，，
12．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，，分別是，的中點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）．
A．B．平面
C．三棱錐的體積為定值D．存在點，使得平面平面
三、填空題：
13．已知函數(shù)，則的值為______．
14．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為______．
15．函數(shù)在處取得最大值，則______．
16．如圖，邊長為2的菱形的對角線相交于點，點在線段上運動，若，則的最小值為______．
四、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．已知復數(shù)滿足：，且在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限．
（Ⅰ）求復數(shù)；
（Ⅱ）求的值．
18．已知，，且向量與不共線．
（Ⅰ）若與的夾角為，求；
（Ⅱ）若向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍．
19．如圖所示，在正方體中，是的中點，、、分別是、和的中點．求證：
（Ⅰ）直線平面；
（Ⅱ）平面平面．
20．已知：復數(shù)，，且，其中，，為的內(nèi)角，，，為角，，所對的邊．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）若地，求的面積．
21．如圖，在四棱錐中，平面，，，．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面；
（Ⅲ）在棱上是否存在點，使平面，若存在，確定點的位置，若不存在，請說明理由．
22．在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，三點滿足．
（Ⅰ）求值；
（Ⅱ）已知，，，，若的最小值為，求的最大值．
參考答案
1．B2．A3．A4．B5．D6．B7．A8．B
9．AD10．ACD11．AC12．ABC
13．114．215．16．
17．解：（Ⅰ）設，則，
∴，解得或（舍去），∴．
（Ⅱ）∵，∴，
．
18．解：（Ⅰ）∵與的夾角為，∴．
∴．
（Ⅱ）∵向量與的夾角為鈍角，
∴，且不能反向共線，
∴，解得，，
∴實數(shù)的取值范圍是，且．
19．解：（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)，
∵、分別是、的中點，∴，
又平面，不包含于平面，
∴直線平面．
（Ⅱ）如圖，連結(jié)，
∵，分別是、的中點，∴，
又平面，不包含于平面，∴平面，
又直線平面，且直線平面，
直線平面，，∴平面平面．
20．解：（Ⅰ）∵，∴①
，②
由①得，
即，∴，
∵，∴．
（Ⅱ）∵，由余弦定理得，④
由②得，⑤
由④⑤得，
∴．
21．（Ⅰ）證明：因為平面，平面，所以．
因為，，所以平面．
因為平面，所以．
（Ⅱ）因為，平面，所以．
在直角梯形中，，
由題意可得，所以，所以．
因為，所以平面．
（Ⅲ）解；在棱上存在點，使平面，且是的中點．
證明：取的中點，連接，，
因為是的中點，所以．
因為，所以．
所以是平行四邊形，所以．
因為平面，平面．
所以平面．
22．（Ⅰ）由題意知，，三點滿足，
可得，所以，
即，即，則，所以．
（Ⅱ）由題意，函數(shù)
因為，所以，
當時，取得最小值，
當時，當時，取得最小值，
當時，當時，取得最小值，
綜上所述，，可得函數(shù)的最大值為1，
即的最大值為1
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