一、單選題：本題共8個(gè)小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
2.設(shè)兩個(gè)單位向量，的夾角為，則|3+4|＝（ ）
A．1B．C．D．7
3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若，則角A的值為（ ）
A. B. C. D.
4.已知D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若＝x+y，則xy的取值范圍是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
5.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函數(shù)，直線y=與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，則（ ）
A．f（x）在(，)上單調(diào)遞減
B．f（x）在(0，)上單調(diào)遞減
C．f（x）在(0，)上單調(diào)遞增
D．f（x）在(，)上單調(diào)遞增
6.在△ABC中，，，E是邊BC的中點(diǎn).O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則的值為（ ）
A. B. 1C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且B為銳角，若，，，則b=（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
8.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）
A. －6B. －3C. －4D. －2
多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分
9．已知，如下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．；B．四邊形為平行四邊形；
C．與夾角的余弦值為；D．
10.下列各式中，值為的是（ ）
A．B．C．
D．E.
11.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（ ）
A．若，則一定是等邊三角形
B．若，則一定是等腰三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是銳角三角形
12．已知函數(shù)，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)B．的最小正周期為
C．的最大值為2D．在上單調(diào)遞增
第II卷（非選擇題)
三、填空題:本大題共4小題,，每小題5分，共20分。
13.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=，b=2，sinB+csB=，則角A的大小為_____________．
14.已知，則 .
15.已知函數(shù)，若對(duì)任意都有（）成立，則的最小值為__________．
16.設(shè)非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為__________．
四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.
（1）若，，求證:A、B、D三點(diǎn)共線；
試確定實(shí)數(shù)k，使與共線.
18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若角邊上的中線AM的長(zhǎng)為，求△ABC的面積．
19.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為．
（l）求角B的大??；
（2）已知，且△ABC的外接圓的半徑為，若，求的值．
20.（本小題滿分12分）
設(shè)向量，，其中，，函數(shù)
的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的點(diǎn)）為，在原點(diǎn)右側(cè)與軸的第一個(gè)交點(diǎn)為.
（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，若，且，求邊長(zhǎng)．
21.已知兩個(gè)不共線的向量a，b滿足，，．
（1）若，求角θ的值；
（2）若與垂直，求的值；
當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的θ使得成立，求正數(shù)m的取值范圍.
22.已知，，，且，其中
若與的夾角為，求的值；
記，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由.、
高一數(shù)學(xué)期中試題
第I卷（選擇題）
一、單選題：本題共8個(gè)小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
A
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查已知角終邊上一點(diǎn)，利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．
2.設(shè)兩個(gè)單位向量，的夾角為，則|3+4|＝（ ）
A．1B．C．D．7
答案及解析：
2.B
解：兩個(gè)單位向量的夾角為，
則＝9+24?+16＝9×12+24×1×1×cs+16×12＝13，
所以＝．
故選：B．
3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.若，則角A的值為（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
3.C
【詳解】由正弦定理得：


本題正確選項(xiàng)：C
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化的應(yīng)用，涉及到兩角和差正弦公式、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
4.已知D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若＝x+y，則xy的取值范圍是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
答案及解析：
4.
D
【解答】解：D，E是△ABC邊BC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P在線段DE上，若＝x+y，
可得x+y＝1，x，y∈[，]，
則xy≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號(hào)，
并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函數(shù)的開口向下，對(duì)稱軸為：x＝，當(dāng)x＝或x＝時(shí)，取最小值，
xy的最小值為：．
則xy的取值范圍是：[，]．
5.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函數(shù)，直線y=與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，則（ ）
A．f（x）在(，)上單調(diào)遞減
B．f（x）在(0，)上單調(diào)遞減
C．f（x）在(0，)上單調(diào)遞增
D．f（x）在(，)上單調(diào)遞增
答案及解析：
5.A
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），
∵f（x）是奇函數(shù)，，
∴φ+＝0，得φ＝﹣，
則f（x）＝sinωx，
由sinωx＝得sinωx＝1，
∵直線與函數(shù)f（x）的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，
∴T＝，0即＝，得ω＝4，
即f（x）＝sin4x，
由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的 遞增區(qū)間為[﹣，]，k＝1時(shí)，遞增區(qū)間為[，]
由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為[，]，當(dāng)k＝1時(shí)，函數(shù)的遞減區(qū)間為[，]，
6.在△ABC中，，，E是邊BC的中點(diǎn).O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則的值為（ ）
A. B. 1C. D.
6.D
【詳解】為中點(diǎn)
和為等腰三角形
，同理可得：
本題正確選項(xiàng)：D
【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用模長(zhǎng)的等量關(guān)系得到等腰三角形，從而將含夾角的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為已知模長(zhǎng)的向量的運(yùn)算.
7.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，且B為銳角，若，，，則b=（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
7.D
【詳解】由于，有正弦定理可得： ，即
由于在中，，，所以，
聯(lián)立 ，解得：，
由于為銳角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（負(fù)數(shù)舍去）
故答案選D
【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，余弦定理，以及面積公式在三角形求邊長(zhǎng)中的應(yīng)用，屬于中檔題。
8.已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）
A. －6B. －3C. －4D. －2
答案及解析：
8.A
【詳解】由題意，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則，
設(shè)，則，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了平面向量數(shù)量積的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.
多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分
9．已知，如下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．；B．四邊形為平行四邊形；
C．與夾角的余弦值為；D．
【答案】BD
【解析】
【詳解】
由，
所以，，， ,
對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，，則，
即與平行且相等，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確；
故選：BD
10.下列各式中，值為的是（ ）
A．B．C．
D．E.
【答案】BCE
【解析】
【分析】
利用二倍角公式計(jì)算可得.
【詳解】
解：不符合，；
符合，；
符合，；
不符合，；
符合，．
故選：．
11.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，下列四個(gè)命題中正確的命題是（ ）
A．若，則一定是等邊三角形
B．若，則一定是等腰三角形
C．若，則一定是等腰三角形
D．若，則一定是銳角三角形
【答案】AC
【詳解】
由，利用正弦定理可得，即，是等邊三角形，正確；
由正弦定理可得，或，
是等腰或直角三角形，不正確；
由正弦定理可得，即，
則等腰三角形，正確；
由正弦定理可得，角為銳角，角不一定是銳角，不正確，故選AC.
12．已知函數(shù)，則下面結(jié)論正確的是（ ）
A．為偶函數(shù)B．的最小正周期為
C．的最大值為2D．在上單調(diào)遞增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先將化簡(jiǎn)為，選項(xiàng)A，的定義域?yàn)?，，故A正確。根據(jù)的周期和最值可判斷B正確，C不正確。根據(jù)可判定D正確。
【詳解】
，
選項(xiàng)A，的定義域?yàn)椋?br>，故A正確。
B選項(xiàng)，的最小正周期為，故B正確。
C選項(xiàng)，，故C不正確。
D選項(xiàng)， 由的圖像，
由圖可知：在上單調(diào)遞增，故D正確。
故選ABD
【點(diǎn)睛】
本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和周期性，同時(shí)考查三角函數(shù)最值和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題。
第II卷（非選擇題)
三、填空題:本大題共4小題,，每小題5分，共20分。
13.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=，b=2，sinB+csB=，則角A的大小為_____________．
答案及解析：
13.30°
略
14.已知，則 .
答案及解析：
14.
15.已知函數(shù)，若對(duì)任意都有（）成立，則的最小值為__________．
答案及解析：
15.4π
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意成立，所以取最小值，取最大值；
取最小值時(shí)，與必為同一周期內(nèi)的最小值和最大值的對(duì)應(yīng)的，則，且，故.
【點(diǎn)睛】任何一個(gè)函數(shù)，若有對(duì)任何定義域成立，此時(shí)必有：，.
16.設(shè)非零向量，的夾角為，記，若，均為單位向量，且，則向量與的夾角為__________．
答案及解析：
16.【詳解】由題設(shè)知，若向量，的夾角為，則，的夾角為.由題意可得，
，
.
∵，，，，向量與夾角為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了向量數(shù)量積的應(yīng)用，以及向量夾角的求法，平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:(1)求向量的夾角， （此時(shí)往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.
四、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.設(shè)兩個(gè)非零向量與不共線.
（1）若，，求證:A、B、D三點(diǎn)共線；
（2）試確定實(shí)數(shù)k，使與共線.
答案及解析：
17.（1）見解析；（2）.
（1）證明：∵，
∴分
∴與共線，又它們有公共點(diǎn)，∴三點(diǎn)共線分
（2）若和共線
∴存在實(shí)數(shù)，使
即分
∴ 解得分
18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若角邊上的中線AM的長(zhǎng)為，求△ABC的面積．
答案及解析：
.每問6分
19.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為．
（l）求角B的大??；
（2）已知，且△ABC的外接圓的半徑為，若，求的值．
答案及解析：
19.（l）；（2）9.
【詳解】（1）
由余弦定理可得，，分
，
．分
（2），△ABC外接圓的半徑為，
∴由正弦定理可得：，可得：，。。。。。8分
，①
∴由余弦定理可得：，
解得：，②
∴聯(lián)立①②可得：，或，
由，可得：，。。。。。。。。。。。10分
，
．。。。。。。。。。。。。。。。12分
【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
20.（本小題滿分12分）
設(shè)向量，，其中，，函數(shù)
的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)（即函數(shù)取得最大值的點(diǎn)）為，在原點(diǎn)右側(cè)與軸的第一個(gè)交點(diǎn)為.
（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，若，且，求邊長(zhǎng)．
答案及解析：
20.（I）因?yàn)椋? -----------------------------1分
由題意， -----------------------------3分
將點(diǎn)代入，得，
所以，又因?yàn)? -------------------5分
即函數(shù)的表達(dá)式為． ---------------------6分
（II）由，即
又 ------------------------8分
由 ，知，
所以 -----------------10分
由余弦定理知

所以 ----------------------------------------------------12分
21.已知兩個(gè)不共線的向量a，b滿足，，．
（1）若，求角θ的值；
（2）若與垂直，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，存在兩個(gè)不同的θ使得成立，求正數(shù)m的取值范圍.
答案及解析：
21.（1）（2）（3）
【詳解】（1）由題得
所以角的集合為 .。。。。。。。。。。。。。4分
（2）由條件知， ，又與垂直，
所以，所以.
所以，故. 。。。。。。。。。。。。8分
（3）由，得，
即，
即，，
所以.
由得，又要有兩解，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得，
，即，
又因?yàn)椋?
即m的范圍..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標(biāo)表示，考查向量的模的計(jì)算，考查三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.
22.已知，，，且，其中
若與的夾角為，求的值；
記，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，試說明理由.、
22.解：（1），由，
得，即
。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
由（1）得，
，即可得，
，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，又因?yàn)?，。。。。。。?！?分
所以，即對(duì)于任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)。。。。。。。。。。。10分
從而由此可知不存在實(shí)數(shù)使之成立。。。。。。。。12分
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