注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上
單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。
1．復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（ A ）
A．B．1C．D．
解：虛部為-1，故選A.
2．在△中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（ A ）
A． B． C．D．
解：根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得
，所以，故選A.
3．某校共有學(xué)生3 000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如表所示,已知高一、高二年級(jí)共有男生1 120人,現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取60名學(xué)生,則應(yīng)在高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為( C )
A．16B．18C．20D．24
解：根據(jù)題意得,高一、高二學(xué)生總數(shù)是1120+(456+424)=2000,∴高三學(xué)生總數(shù)是3000-2000=1000.用分層抽樣法在高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為×60=20.故選C.
4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品,其余為合格品,現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件,恰有一件次品的概率為( B )
A．0.4B．0.6C．0.8D．1
解：件產(chǎn)品中有件次品，記為，，有件合格品，記為，，，從這件產(chǎn)品中任取件，有種，分別是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有種，分別是，，，，，，設(shè)事件“恰有一件次品”，則，故選B．
5．(2015新課標(biāo)全國(guó)I理科)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（ B ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛D．66斛
解：試題分析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B.
6．如圖，平行六面體中，，，，則（D）
A．B．C．D．
解：，
,.故選：D
7．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分別為和的中點(diǎn)，當(dāng)和所成角的余弦值為時(shí)，與平面所成角的正弦值為（ B ）
A．B．C．D．
解：設(shè)，以為原點(diǎn)，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
，，，，，，和所成角的余弦值為，
，
解得．，，，平面的法向量，
與平面所成角的正弦值為：．
故選：B．
8．已知圓的方程為，點(diǎn)在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（B）
A．2B．C．3D．
.故選B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（ CD ）
A．直線的傾斜角是B．若直線則
C．點(diǎn)到直線的距離是D．過與直線平行的直線方程是
解：對(duì)于A．直線的斜率k＝tanθ，故直線l的傾斜角是，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B．因?yàn)橹本€的斜率k′，kk′＝1≠﹣1，故直線l與直線m不垂直，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C．點(diǎn)到直線l的距離d2，故C正確；
對(duì)于D．過與直線l平行的直線方程是y﹣2（x﹣2），整理得：，故D正確．綜上所述，正確的選項(xiàng)為CD．故選：CD．
10．在某次高中學(xué)科知識(shí)競(jìng)賽中，對(duì)4000名考生的參賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說法中正確的是（ABC）
A．成績(jī)?cè)诘目忌藬?shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000
C．考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為70.5分D．考生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)為75分
解：由頻率分布直方圖可得，成績(jī)?cè)诘念l率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；成績(jī)?cè)诘念l率為，因此，不及格的人數(shù)為，故B正確；
考生競(jìng)賽成績(jī)的平均分約為，故C正確；
因?yàn)槌煽?jī)?cè)诘念l率為0.45，在的頻率為0.3，
所以中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.
11．如圖,在棱長(zhǎng)均相等的四棱錐中, 為底面正方形的中心, ,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),有下列結(jié)論正確的有：( ABD )
A．∥平面B．平面∥平面
C．直線與直線所成角的大小為D．
解：選項(xiàng)A,連接BD，顯然O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，所以∥ON,由線面平行的判定定理可得，∥平面；選項(xiàng)B, 由,分別為側(cè)棱,的中點(diǎn),得MN∥AB,又底面為正方形，所以MN∥CD，由線面平行的判定定理可得，CD∥平面OMN,又選項(xiàng)A得∥平面，由面面平行的判定定理可得，平面∥平面；選項(xiàng)C,因?yàn)镸N∥CD，所以∠ PDC為直線與直線所成的角，又因?yàn)樗欣忾L(zhǎng)都相等，所以∠ PDC=，故直線與直線所成角的大小為；選項(xiàng)D，因底面為正方形，所以,又所有棱長(zhǎng)都相等，所以,故,又∥ON，所以，故ABD均正確.
12．設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ACD ）
A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)
B．若，則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上
C．若，則點(diǎn)是的重心
D．若，且，則的面積是的面積的
解：A中：,即：
,則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)
B. ,則點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，所以B錯(cuò)誤.
C.
設(shè)中點(diǎn)D,則,，由重心性質(zhì)可知C成立.
D．且設(shè)，所以，可知三點(diǎn)共線，所以的面積是面積的，故選擇ACD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．如圖，在中，，，D為BC邊上的點(diǎn)，且，，則_1_____．
解：∵
∴，且為的中點(diǎn)，
∴在直角三角形中可求得，
∵∴，故答案為1.
14．已知點(diǎn)，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
解:由直線，即，此時(shí)直線恒過點(diǎn)，
則直線的斜率，直線的斜率，
若直線與線段相交，則，即，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
15．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面ABC外一點(diǎn)，其中若平面的一個(gè)法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為
解:在空間直角坐標(biāo)系中，
所以，而平面的一個(gè)法向量為，
所以，即，解得，
所以，點(diǎn)，則，
則由點(diǎn)到平面距離公式可得，故答案為：.
16．已知空間四邊形中，，，，若平面平面，則該幾何體的外接球表面積為__________．
解:
如圖：由于是等邊三角形，所以到A,B,D三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在重心O且垂直是平面ABD的直線上，又因?yàn)?，所以到B,C,D三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在過BD中點(diǎn)E且與平面BCD垂直的直線上，兩直線的交點(diǎn)是O,所以球心為O.半徑R=，．填．
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17．（本小題10分）已知直線恒過定點(diǎn).
（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線垂直，求直線的方程；
（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離等于3，求直線的方程.
解:直線可化為，
由可得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
（1）設(shè)直線的方程為，
將點(diǎn)A代入方程可得，所以直線的方程為,
（2）①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)A，所以直線方程為，
符合原點(diǎn)到直線的距離等于3.
②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即
因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為3，所以，解得
所以直線的方程為
綜上所以直線的方程為或.
18．（本小題12分）如圖，在中，已知為線段上的一點(diǎn)，.
（1）若，求，的值；
（2）若，，，且與的夾角為時(shí)，求的值.
解:(1)∵,∴,即2,
∴,即x=,y=.
(2)∵=3,∴=3+3,即4+3,
∴.∴x=,y=.
·()
==×22-×42+×4×2×=-9.
19．（本小題12分）如圖，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求△ABC的面積．
解:（1）由題意，設(shè)點(diǎn)，
根據(jù)AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，
根據(jù)中點(diǎn)公式，可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是．
（2）因?yàn)椋?
得．，
所以直線的方程為，即，
故點(diǎn)到直線的距離，
所以的面積．
20．（本小題12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，若為的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）求異面直線和所成角；
（3）設(shè)線段上有一點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的長(zhǎng).
解:（1）∵，，∴，
∵平面平面，
平面平面，平面，∴平面.
（2）∵，，
∴，，
如圖，分別以，，為軸，軸，軸的非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系,
∵，，，，
∴，，
∵，
∴異面直線和所成角為.
（3）設(shè)為平面的法向量，
∵，，
∴，即，設(shè)，，
∴，
設(shè)與平面所成角為，
∵，∴，
，，，
（舍），，∴的長(zhǎng)為.
21．（本小題12分）某校兩個(gè)班級(jí)100名學(xué)生在一次考試中的成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)如下表：
（1）求頻率表分布直方圖中的值；
（2）根據(jù)頻率表分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分；
（3）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三、四、五組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2名，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.
解：（1）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．
（2）由直方圖分?jǐn)?shù)在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分的估計(jì)值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
（3）由直方圖，得：
第3組人數(shù)為0.3×100=30，第4組人數(shù)為0.2×100=20人，
第5組人數(shù)為0.1×100=10人．
所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，
每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：=1人．所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．
設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），
其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于9（0分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5種．所以其中第4組的2位同學(xué)至少有一位同學(xué)入選的概率為.
22．（本小題12分）如圖所示的幾何體中，平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，，點(diǎn)M，N分別在棱FD，ED上.
（1）若平面MAC，設(shè)，求的值；
（2）若，平面AEN平面EDC所成的銳二面角為，求BE的長(zhǎng).
解:（1）解：連接，，設(shè)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以為與的中點(diǎn)，
連接，因?yàn)椤纹矫?，且平面平面?br>所以∥，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，
即；
（2），又四邊形ABCD為菱形，
則四邊形ABCD為正方形，
，又因?yàn)槠矫?，可如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，
設(shè)，則，
因?yàn)椋裕?
所以，設(shè)平面的法向量為，
又，
由 即，取，
設(shè)平面的法向量為，
又
由 得，取，
因?yàn)槠矫媾c平面 所成的銳二面角為，
所以，
解得，即的長(zhǎng)為.
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