1.某人在打靶中,連續(xù)射擊2次,至多有一次中靶的對立事件是( )
A.至少有一次中靶B.兩次都中靶
C.兩次都不中靶D.恰有一次中靶
2.一批瓶裝純凈水,每瓶標注的凈含量是550 mL,現(xiàn)從中隨機抽取10瓶,測得各瓶的凈含量為(單位:mL):
若用頻率分布估計總體分布,則該批純凈水每瓶凈含量在547.5 mL~552.5 mL之間的概率估計為( )
A.0.3B.0.5C.0.6D.0.7
3.(2022·新高考Ⅰ,5)從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),則這2個數(shù)互質的概率為( )
A.B.C.D.
4.已知隨機事件A,B,C中,A與B互斥,B與C對立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,則P(A∪B)=( )
A.0.3B.0.6C.0.7D.0.9
5.(2024·廣東東莞模擬)“春雨驚春清谷天,夏滿芒夏暑相連,秋處露秋寒霜降,冬雪雪冬小大寒,每月兩節(jié)不變更,最多相差一兩天.”中國農歷的“二十四節(jié)氣”,凝結著中華民族的智慧,是中國傳統(tǒng)文化的結晶,如五月有立夏、小滿,六月有芒種、夏至,七月有小暑、大暑,現(xiàn)從五月、六月、七月的六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣,則這兩個節(jié)氣不在同一個月的概率為( )
A.B.C.D.
6.(多選題)下列關于概率的命題,正確的是( )
A.對于任意事件A,都有P(A)>0
B.必然事件的概率為1
C.如果事件A與事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1
D.若A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
7.(多選題)已知某養(yǎng)老院75歲及以上的老人占60%.75歲以下的老人中,需要有人全天候陪同的占10%;75歲及以上的老人中,需要有人全天候陪同的占30%.如果從該養(yǎng)老院隨機抽取一位老人,則以下結論中正確的是( )
A.抽到的老人年齡在75歲以下的概率為35%
B.抽到的老人需要有人全天候陪同的概率為22%
C.抽到的老人年齡在75歲以下且需要有人全天候陪同的概率為4%
D.抽到的老人年齡大于等于75歲且不需要有人全天候陪同的概率為40%
8.(2024·山東省實驗中學模擬)某學校門口現(xiàn)有2輛共享電動單車,8輛共享自行車.現(xiàn)從中一次性隨機租用3輛,則恰好有2輛共享自行車被租用的概率為 .
9.(2024·浙江寧波高一統(tǒng)考期末)據浙江省新高考規(guī)則,每名同學在高一學期結束后,需要從七門選考科目中選擇其中三門作為高考選考科目.某同學已經選擇了物理、化學兩門學科,還需要從生物學、技術這兩門理科學科和思想政治、歷史、地理這三門文科學科共五門學科中再選擇一門,設事件E=“選擇生物學學科”,F=“選擇一門理科學科”,G=“選擇政治學科”,H=“選擇一門文科學科”,現(xiàn)給出以下四個結論:
①G和H是互斥事件但不是對立事件;
②F和H是互斥事件也是對立事件;
③P(F)+P(G)=1;
④P(E∪H)=P(E)+P(H).
其中,正確結論的序號是 .(請把你認為正確結論的序號都寫上)
10.(2024·黑龍江佳木斯模擬)學校安全工作事關學生的健康成長,關系到千萬個家庭的幸福和安寧,關系到整個社會的和諧穩(wěn)定.為了普及安全教育,某市準備組織一次安全知識競賽.某學校為了選拔學生參賽,按性別采用分層隨機抽樣的方法抽取200名學生進行安全知識測試,根據200名同學的測試成績得到如下表格:
(1)現(xiàn)從得分超過85分的學生中根據性別采用分層隨機抽樣抽取6名學生進行安全知識培訓,再從這6名學生中隨機抽取3名學生去市里參加競賽,求這3名學生中至少有一名女生的概率;
(2)根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否推斷該校男生和女生在了解安全知識的程度與性別有關?
附:參考公式χ2=,其中n=a+b+c+d.
下表是χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值
綜合 提升練
11.(2024·山東濟南模擬)從正六邊形的6個頂點中任取3個構成三角形,則所得三角形是直角三角形的概率為( )
A.B.C.D.
12.(2024·河北邢臺模擬)為了進一步提升員工素質,某公司人力部門從本公司2 600名一線員工中隨機抽取100人,進行理論知識和實踐技能兩項測試(每項測試結果均分為A,B,C三等),取得各等級的人數(shù)如下表:
已知理論知識測試結果為A的共40人.在參加測試的100人中,從理論知識測試結果為A或B,且實踐技能測試結果均為C的人中隨機抽取2人,則這2人理論知識測試結果均為A的概率是( )
A.B.C.D.
13.有5個形狀大小相同的球,其中3個紅色、2個藍色,從中一次性隨機取2個球,則下列說法正確的是( )
A.“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球”是互斥事件
B.“恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”是互斥事件
C.“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率
D.“至多取到1個紅球”的概率大于“至多取到1個藍球”的概率
14.(2024·廣東韶關模擬)已知甲、乙、丙、丁四位高三學生拍畢業(yè)照,這四位同學排在同一行,則甲、乙兩位學生相鄰的概率為 .
15.袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流取球,甲先取,乙后取,然后甲再取,……,取后不放回,直到兩人中有1人取到白球時終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的.
(1)求袋中原有白球的個數(shù);
(2)求取球2次即終止的概率;
(3)求甲取到白球的概率.
創(chuàng)新 應用練
16.(2024·廣東惠州模擬)已知(n∈N*)的展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大,現(xiàn)從展開式中任取2項,則取到的項都是有理項的概率為( )
A.B.C.D.
17.(2024·山東煙臺模擬)已知集合U={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20},若從U的所有子集中,等可能地抽取滿足條件“A∪B=U,A∩B=?”和“若x∈A,則22-x∈B”的兩個非空集合A,B,則集合A中至少有三個元素的概率為( )
A.B.C.D.
課時規(guī)范練79 隨機事件的概率與古典概型
1.B 解析 某人在打靶中,連續(xù)射擊2次的所有可能結果為:
①第一次中靶,第二次中靶;②第一次中靶,第二次未中靶;
③第一次未中靶,第二次中靶;④第一次未中靶,第二次未中靶.
至多有一次中靶包含了②③④三種可能結果,故其對立事件為①,即兩次都中靶.
2.D 解析 從數(shù)據可知,在隨機抽取的10瓶水中,凈含量在547.5mL~552.5mL之間的瓶數(shù)為7,頻率為=0.7,以樣本頻率估計概率,可知該批純凈水每瓶凈含量在547.5mL~552.5mL之間的概率估計為0.7.
3.D 解析 從2至8的7個整數(shù)中隨機取2個不同的數(shù),共有=21種不同的取法,若兩數(shù)不互質,則不同的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7種,故所求概率P=故選D.
4.C 解析 因為P(C)=0.6,事件B與C對立,所以P(B)=1-0.6=0.4,又P(A)=0.3,A與B互斥,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.
5.A 解析 由題意,從五月、六月、七月的六個節(jié)氣中任選兩個節(jié)氣,∴樣本點有=15個,其中任取兩個在同一個月的有3個,∴這兩個節(jié)氣不在同一個月的概率為P=1-
6.BD 解析 對于A,對于任意事件A,都有P(A)≥0,故A錯誤;
對于B,必然事件的概率為1,顯然正確,故B正確;
對于C,如果事件A與事件B對立,那么一定有P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定對立,故C錯誤;
對于D,若A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)正確,故D正確.故選BD.
7.BC 解析 不妨設共有100名老人,則根據題意可作出如下表格:
所以如果從該養(yǎng)老院隨機抽取一位老人,抽到的老人年齡在75歲以下的概率為40%,故A錯誤;抽到的老人需要有人全天候陪同的概率為22%,故選項B正確;抽到的老人年齡在75歲以下且需要有人全天候陪同的概率為4%,故選項C正確;抽到的老人年齡在75歲及以上且不需要有人全天候陪同的概率為42%,故選項D錯誤,故選BC.
8 解析 恰好有2輛共享自行車被租用的概率為P=
9.②④ 解析 事件H=“選擇一門文科學科”,包含“選擇思想政治學科”“選擇歷史學科”“選擇地理學科”,所以事件G=“選擇思想政治學科”,包含于事件H,故事件G,H可以同時發(fā)生,不是互斥事件,故①錯誤;
事件F=“選擇一門理科學科”,與事件H=“選擇一門文科學科”,不能同時發(fā)生,且必有一個事件發(fā)生,故F和H是互斥事件也是對立事件,故②正確;
由題意可知P(F)=,P(G)=,所以P(F)+P(G)=1,故③錯誤;
事件E=“選擇生物學學科”,與事件H=“選擇一門文科學科”,不能同時發(fā)生,故E和H是互斥事件,所以P(E∪H)=P(E)+P(H),故④正確.
10.解 (1)200名學生中得分超過85分的人數(shù)為150人,其中男生人數(shù)為100人,女生人數(shù)為50人,因此按性別進行分層隨機抽樣得:
樣本中男生人數(shù)為6=4人,樣本中女生人數(shù)為6=2人,
設這3名學生中有至少一名女生為事件A,則P(A)=1-=1-
(2)零假設為H0:了解安全知識的程度與性別無關.由表可得,χ2=11.11>10.828,
根據小概率值α=0.001的獨立性檢驗,推斷H0不成立,因此可以認為性別與了解安全知識的程度有關.
11.C 解析不妨以點A為例,以點A為其中一個頂點的三角形有△ABC,△ABD,△ABE,△ABF,△ACD,△ACE,△ACF,△ADE,△ADF,△AEF,共10個,其中直角三角形為△ABD,△ABE,△ACD,△ACF,△ADE,△ADF,共6個,故所得三角形是直角三角形的概率為
12.B 解析 由題知理論知識測試結果為A,且實踐技能測試結果為C的有4人,理論知識測試結果為B,且實踐技能測試結果為C的有2人,所以所求概率為P=
13.C 解析 當取出的兩球為一紅一藍時,可得“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球”均發(fā)生,即A錯誤;當取出的兩球為一紅一藍時,可得“恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”均發(fā)生,即B錯誤;記“至少取到1個紅球”為事件A,“至少取到1個藍球”為事件B,“至多取到1個紅球”為事件C,“至多取到1個藍球”為事件D,故P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,顯然P(A)>P(B),P(C)

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