考點規(guī)范練60　隨機事件的概率基礎鞏固1.從正五邊形的五個頂點中,隨機選擇三個頂點連成三角形,記“這個三角形是等腰三角形”為事件A,則下列推斷正確的是(　　)A.事件A發(fā)生的概率等于 B.事件A發(fā)生的概率等于C.事件A是不可能事件 D.事件A是必然事件答案:D解析:因為從正五邊形的五個頂點中隨機選三個頂點連成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故選D.2.從16個同類產(chǎn)品(其中有14個正品,2個次品)中任意抽取3個,下列事件的概率為1的是(　　)A.三個都是正品B.三個都是次品C.三個中至少有一個是正品D.三個中至少有一個是次品答案:C解析:在16個同類產(chǎn)品中,只有2個次品,可知抽取3個產(chǎn)品,A是隨機事件,B是不可能事件,C是必然事件,D是隨機事件,又必然事件的概率為1,故C正確.3.從1,2,…,9中任取兩個數(shù),其中:①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù);②至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù);③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù);④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù).在上述事件中,是對立事件的是(　　)A.① B.②④ C.③ D.①③答案:C解析:從9個數(shù)字中取兩個數(shù)有三種情況:一奇一偶,兩奇,兩偶,故只有③中兩事件是對立事件.4.從一箱產(chǎn)品中隨機抽取一件,設事件A為“抽到一等品”,事件B為“抽到二等品”,事件C為“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為(　　)A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5答案:C解析:∵“抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對立事件,∴所求概率為1-P(A)=0.35.5.從某班學生中任意找出一人,如果該同學的身高小于160 cm 的概率為0.2,該同學的身高在[160,175](單位:cm)內(nèi)的概率為0.5,那么該同學的身高超過175 cm的概率為(　　)A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8答案:B解析:因為必然事件發(fā)生的概率是1,所以該同學的身高超過175cm的概率為1-0.2-0.5=0.3,故選B.6.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,已知甲奪得冠軍的概率為,乙奪得冠軍的概率為,則中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為　　　　.答案:解析:因為事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”包括事件“甲奪得冠軍”和“乙奪得冠軍”,但這兩個事件不可能同時發(fā)生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式進行計算,即中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為7.下列命題:①對立事件一定是互斥事件;②若A,B為兩個隨機事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A與B是對立事件.其中真命題的序號是　　　　　. 答案:①解析:根據(jù)對立事件與互斥事件的關系,得①正確,②不正確.當A,B是互斥事件時,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),③不正確.P(A)+P(B)+P(C)不一定等于1,還可能小于1,④不正確.例如:袋中有除顏色外,其余均相同的紅、黃、黑、綠4個球,從袋中任摸一個球,設事件A={摸到紅球或黃球},事件B={摸到黃球或黑球},顯然事件A與B不是對立事件,但P(A)+P(B)==1.8.某班選派5人參加學校舉行的數(shù)學競賽,獲獎的人數(shù)及其概率如下:獲獎人數(shù)/人012345概　率0.10.16xy0.2z(1)若獲獎人數(shù)不超過2的概率為0.56,求x的值;(2)若獲獎人數(shù)最多為4的概率為0.96,最少為3的概率為0.44,求y,z的值.解:記“在競賽中,有k人獲獎”為事件Ak(k∈N,k≤5),則事件Ak彼此互斥.(1)∵獲獎人數(shù)不超過2的概率為0.56,∴P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+x=0.56,解得x=0.3.(2)由獲獎人數(shù)最多為4的概率為0.96,得P(A5)=1-0.96=0.04,即z=0.04.由獲獎人數(shù)最少為3的概率為0.44,得P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.44,即y+0.2+0.04=0.44.解得y=0.2.9.在某商場有獎銷售中,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位,設特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎券的中獎概率;(3)1張獎券不中特等獎,且不中一等獎的概率.解:(1)由題意可知P(A)=,P(B)=,P(C)=(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎.設“1張獎券中獎”為事件M,則M=A∪B∪C.∵A,B,C兩兩互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=故1張獎券的中獎概率為(3)設“1張獎券不中特等獎,且不中一等獎”為事件N,則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件,故P(N)=1-P(A∪B)=1-,即1張獎券不中特等獎,且不中一等獎的概率為能力提升10.空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index,簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù),空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級,0~50為優(yōu);51~100為良;101~150為輕度污染;151~200為中度污染;201~300為重度污染;大于300為嚴重污染.一環(huán)保人士從當?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中隨機抽取10個,用莖葉圖記錄如圖.根據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù),估計此地該年AQI大于100的天數(shù)為　　　　.(該年為365天) 答案:146解析:該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4,頻率為,由此估計此地該年AQI大于100的概率為,故估計此地該年AQI大于100的天數(shù)為365=146.11.假設甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上的銷售量相等,為了了解它們的使用壽命,現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進行測試,統(tǒng)計結果如圖所示.(1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200 h的概率;(2)在這兩種品牌產(chǎn)品中,某個產(chǎn)品已使用了200 h,試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率.解:(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的頻率為,用頻率估計概率,可得甲品牌產(chǎn)品壽命小于200h的概率為(2)根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得壽命不低于200h的兩種品牌產(chǎn)品共有75+70=145(個),其中甲品牌產(chǎn)品有75個,所以在樣本中,壽命不低于200h的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是據(jù)此估計已使用了200h的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為12.袋中有除顏色外其他完全相同的12個小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,得到紅球的概率是,得到黑球或黃球的概率是,得到黃球或綠球的概率也是,分別求得到黑球、黃球和綠球的概率各是多少.解:(方法一)從袋中選取一個球,記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A,B,C,D,則P(A)=,P(B∪C)=P(B)+P(C)=,P(C∪D)=P(C)+P(D)=,P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=,因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是(方法二)設紅球有n個,則,即n=4,即紅球有4個.又得到黑球或黃球的概率是,所以黑球和黃球共有5個.又總球數(shù)是12,所以綠球有12-4-5=3個.又得到黃球或綠球的概率也是,所以黃球和綠球共有5個,而綠球有3個,所以黃球有5-3=2個.所以黑球有12-4-3-2=3個.因此得到黑球、黃球、綠球的概率分別是13.電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù),經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指:一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.(1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率;(2)隨機選取1部電影,估計這部電影沒有獲得好評的概率;(3)電影公司為增加投資回報,擬改變投資策略,這將導致不同類型電影的好評率發(fā)生變化.假設表格中只有兩類電影的好評率數(shù)據(jù)發(fā)生變化,那么哪類電影的好評率增加0.1,哪類電影的好評率減少0.1,使得獲得好評的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達到最大?(只需寫出結論)解:(1)由題意知,樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000.第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200×0.25=50,故所求概率為=0.025.(2)設“隨機選取1部電影,這部電影沒有獲得好評”為事件B.沒有獲得好評的電影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628(部).由古典概型概率公式得P(B)==0.814.(3)第五類電影的好評率增加0.1,第二類電影的好評率減少0.1.高考預測14.某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水,計劃調(diào)整居民生活用水收費方案,擬確定一個合理的月用水量標準x(單位:噸),一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費,超出x的部分按議價收費.為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100名居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中a的值;(2)設該市有30萬居民,估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù),并說明理由;(3)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x.估計x的值,并說明理由.解:(1)由頻率分布直方圖知,月均用水量在[0,0.5)中的頻率為0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5)中的頻率分別為0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1,解得a=0.30.(2)由(1),100名居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12.由以上樣本的頻率分布,可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300000×0.12=36000.(3)因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85,而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85,所以2.5≤x<3.由0.3×(x-2.5)=0.85-0.73,解得x=2.9.所以,估計月用水量標準為2.9噸時,85%的居民每月的用水量不超過標準.

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