1.(2024·廣東湛江模擬)的展開式中,x4的系數(shù)是( )
A.40B.-40C.80D.-80
2.(2024·河北唐山高三期末)的展開式共有七項(xiàng),且常數(shù)項(xiàng)為20,則a=( )
A.1B.-1C.2D.-2
3.(2024·河北邢臺(tái)模擬)已知的二項(xiàng)展開式中,第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為( )
A.212B.312C.310D.210
4.(2024·河北滄州模擬)的展開式中x5y2的系數(shù)為( )
A.-10B.10C.-30D.30
5.(2024·廣東江門模擬)已知多項(xiàng)式(x-1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,則a7=( )
A.-960B.960
C.-480D.480
6.(2024·湖北四市聯(lián)考)(1+)(1-2x)5的展開式中,常數(shù)項(xiàng)是( )
A.-9B.-10C.9D.10
7.(2024·浙江杭州、寧波4月聯(lián)考)設(shè)(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)7+(1+x)8=a0+a1x+a2x2+…+a7x7+a8x8,則a2=( )
A.84B.56C.36D.28
8.(多選題)(2024·河北衡水中學(xué)模擬)的展開式中( )
A.常數(shù)項(xiàng)是第4項(xiàng)
B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1
C.第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
D.第4項(xiàng)的系數(shù)最小
9.(2024·廣東汕頭模擬)(-1)(2x+y)5的展開式中,x2y3的系數(shù)為 .
10.(2024·河北石家莊模擬)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .(用數(shù)字作答)
+0.9982+0.9983+0.9984+0.9985≈ .(精確到0.01)
綜 合 提升練
12.(2024·江蘇泰州模擬)若7n+7n-1+…+7+是9的倍數(shù),則自然數(shù)n為( )
A.4的倍數(shù)B.3的倍數(shù)
C.奇數(shù)D.偶數(shù)
13.(2024·山東德州模擬)若(2x-3)12=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11+a12(x-1)12,則( )
A.a0=-1
B.a0-a1+a2-a3+…+a10-a11+a12=-312
C.a1+a2+…+a12=-2
D.+…+=-1
14.(多選題)已知的二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,下列結(jié)論正確的是( )
A.二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36
B.二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為160
C.二項(xiàng)展開式中無常數(shù)項(xiàng)
D.二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為90x3
15.(2024·江蘇南通模擬)若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為64,則該二項(xiàng)展開式中所有有理項(xiàng)的系數(shù)之和為 .
16.(2024·河北秦皇島模擬)的展開式中,x3y2的系數(shù)為10,則a= .
創(chuàng) 新 應(yīng)用練
17.若今天(第一天)是星期二,則第1510天是( )
A.星期三B.星期日
C.星期二D.星期五
18.某公司2022年實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)100萬元,計(jì)劃在以后5年中每年比前一年利潤(rùn)增長(zhǎng)8%,則該公司2027年的利潤(rùn)是 萬元.(結(jié)果精確到1萬元)
課時(shí)規(guī)范練78 二項(xiàng)式定理
1.C 解析 (2x2-)5展開式的通項(xiàng)為Tk+1=25-k(-1)kx10-3k,令10-3k=4,得k=2.所以x4的系數(shù)是23×(-1)2=80.
2.B 解析 因?yàn)榈恼归_式共有七項(xiàng),故n=6,且展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x6-rx6-2r(-a)r,
令6-2r=0,解得r=3,因?yàn)槌?shù)項(xiàng)為20,故T4=(-a)3=20,解得a=-1.
3.C 解析 因?yàn)?且第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得n=10,令x=1,得所有項(xiàng)的系數(shù)之和為310.
4.C 解析 展開式的通項(xiàng)為(x2-x)ry5-r=x2(r-n)·(-1)nxny5-r=(-1)nx2r-ny5-r,由題意可得,2r-n=5,5-r=2,所以r=3,n=1,所以x5y2的系數(shù)為-30.
5.A 解析 因?yàn)?x-1)10=(-2+x+1)10,所以第8項(xiàng)為T8=(-2)3(x+1)7,
所以a7=(-2)3=-960.
6.A 解析 ∵(1+)(1-2x)5=(1-2x)5+(1-2x)5,
(1-2x)5展開式第r+1項(xiàng)為Tr+1=(-2x)r=(-2)rxr(r=0,1,…,5),
(1-2x)5的展開式第k+1項(xiàng)為Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk-1(k=0,1,…,5),∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)T=(-2)0+(-2)1=1-10=-9.
7.A 解析 依題意,a2=+…++…++…+=…==84.
8.BCD 解析 的展開式的通項(xiàng)為Tk+1==(-1)k28-kx4-k.
對(duì)于A,令4-k=0,則k=4,故常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng),故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,令x=1,則所有項(xiàng)的系數(shù)和是(2-1)8=1,故B正確;
對(duì)于C,該展開式共9項(xiàng),則由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,故C正確;
對(duì)于D,設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值最大,則解得2≤k≤3,
又k∈Z,所以k=2或k=3.
當(dāng)k=2時(shí),T3=(-1)226x2=1792x2;
當(dāng)k=3時(shí),T4=(-1)325x=-1792x,所以第4項(xiàng)的系數(shù)最小,故D正確.
故選BCD.
9.40 解析 (2x+y)5展開式的通項(xiàng)為Tr+1=(2x)5-r·yr,所以x2y3的系數(shù)為23+(-1)22=40.
10.-540 解析 由題意及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n-1=32,解得n=6,所以其展開式的通項(xiàng)為Tr+1=x6-r=(-3)rx6-2r,依題意令6-2r=0,解得r=3,所以展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(-3)3=-540.
解析 原式=(1+0.998)5-1=(2-0.002)5-1=25-24×0.002+23×0.0022-22×0.0023+2×0.0024-0.0025-1≈32-0.16-1=30.84.
12.C 解析 因?yàn)?n+7n-1+…+7+(7n+1+7n+…+72+7+)-(7+1)n+1-(8n+1-1)=[9n+1-9n+…+(-1)n9+(-1)n+1-1],又7n+7n-1+…+7+是9的倍數(shù),∴n+1為偶數(shù),即n為奇數(shù).
13.D 解析 由(2x-3)12=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a11(x-1)11+a12(x-1)12,令x=1,可得a0=(2×1-3)12=1,A錯(cuò)誤;
令x=0,可得a0-a1+a2-a3+…+a10-a11+a12=312,B錯(cuò)誤;
令x=2,則a0+a1+a2+…+a12=(4-3)12=1,故a1+a2+…+a12=1-a0=1-1=0,C錯(cuò)誤;
令x=,則=a0++…+=0,故+…+=0-a0=-1,D正確.
14.AB 解析 因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,所以2n=64,解得n=6,所以二項(xiàng)式為,其展開式的通式為Tr+1=(2x)6-r26-r
對(duì)于選項(xiàng)A,令x=1,可得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為36,所以A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B,由n=6,可得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,此時(shí)r=3,則二項(xiàng)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T4=26-3=160,所以B正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,令6-r=0,則r=4,所以二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為26-4=60,所以C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則解得r,因?yàn)閞∈N*,所以r=2,則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T3=24x3=240x3,所以D錯(cuò)誤.故選AB.
15.32 解析 令x=1,可得(1+1)n=64,解得n=6,即二項(xiàng)式為()6.展開式的通項(xiàng)為Tk+1=)k=,令3-k∈Z,則k可以取0,2,4,6.
當(dāng)k=0時(shí),T1=x3=x3,當(dāng)k=2時(shí),T3=x0=15,
當(dāng)k=4時(shí),T5=x-3=15x-3,當(dāng)k=6時(shí),T7=x-6=x-6,所以有理項(xiàng)系數(shù)之和為1+15+15+1=32.
16.-1 解析 由題得,其展開式的通項(xiàng)為y5-r(x2-ax)r=x2(r-k)·(-a)rxry5-r=(-a)rx3r-2ky5-r,由題意可得,5-r=2,3r-2k=3,所以r=3,k=3,所以x3y2的系數(shù)10=(-a)3,解得a=-1.
17.C 解析 由1510=(14+1)10,其展開式的通項(xiàng)為Tr+1=1410-r,而14可被7整除,所以當(dāng)10-r≠0時(shí),Tr+1均可被7整除,當(dāng)10-r=0時(shí),T11=1,所以第1510天是星期二.
18.147 解析 由題意可知,100×(1+8%)5=100×[8%+(8%)2+(8%)3+(8%)4+(8%)5]≈100×1.46933=146.933≈147(萬元),即該公司2027年的利潤(rùn)大約是147萬元.

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