目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc31243" 【典型例題】 PAGEREF _Tc31243 \h 1
\l "_Tc28361" 【考點一 數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】 PAGEREF _Tc28361 \h 1
\l "_Tc21472" 【考點二 數(shù)軸上的動點中求定值問題】 PAGEREF _Tc21472 \h 9
\l "_Tc9498" 【考點三 數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】 PAGEREF _Tc9498 \h 15
\l "_Tc4250" 【考點四 數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】 PAGEREF _Tc4250 \h 23
【典型例題】
【考點一 數(shù)軸上的動點中求運動的時間問題】
例題：（2023秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上有、、三個點，分別表示有理數(shù)，，，動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，設移動時間為秒．
(1)當時，點到點的距離 ______ ；此時點所表示的數(shù)為______ ；
(2)當點運動到點時，點同時從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，點到達點后也停止運動，則點出發(fā)秒時與點之間的距離 ______ ；
(3)在（2）的條件下，當點到達點之前，請求出點移動幾秒時恰好與點之間的距離為個單位？
【變式訓練】
1．（2022秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上有、兩個動點，點以3個單位長度/秒作勻速移動，點以2個單位長度/秒作勻速移動，兩點初始位置是：點對應的數(shù)是、點對應的數(shù)是3．
(1)若點分別到、兩點的距離相等，那么點對應的數(shù)是幾?
(2)若、兩點同時出發(fā)且相向移動，則經過幾秒兩點相遇?
(3)若、兩點同時出發(fā)向右移動，則經過幾秒兩點相距3個單位長度?
2．（2023秋·安徽安慶·七年級統(tǒng)考期末）已知數(shù)軸上點A表示的數(shù)為6，B是數(shù)軸上在點A左側的一點，且A，B兩點間的距離為10，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為秒．
(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是 ；當點P運動到的中點時，它所表示的數(shù)是 ．
(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā)，問：經過多少秒，
①點P追上點Q？
②點P與點Q間的距離為8個單位長度？
3．（2023春·黑龍江哈爾濱·六年級哈爾濱風華中學?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)為、19，動點P從點A出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒3個單位長度勻速向右運動，動點Q從點B出發(fā)，沿數(shù)軸以每秒2個單位長度勻速向左運動，且兩點同時出發(fā)，設運動時間為t秒．

(1)求點A與點B兩點間的距離；
(2)當t為何值時，P、Q兩點相遇，求此時點P表示的數(shù)；
(3)若點P、Q相遇后，點Q按原路立即返回，速度變?yōu)樵瓉淼?倍，點P繼續(xù)按原速原方向運動，在整個運動過程中，t為何值時？
4．（2023秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】
定義：A，B，C為數(shù)軸上三點，若點C到點A的距離是點C到點B的距離一半，則稱點C是（A，B）的相伴點．
例如：如圖1，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為1，點C表示的數(shù)為，點D表示的數(shù)為0．點C到點A的距離是1，到點B的距離是2，那么點C是（A，B）的相伴點；又如，點D到點A的距離是2，到點B的距離是1，那么點D就不是（A，B）的相伴點，但點D是（B，A）的相伴點．
【知識應用】
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點，點M所表示的數(shù)為，點N所表示的數(shù)為1．
(1)點E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，，，其中___________是（M，N）的相伴點；
(2)現(xiàn)有一個動點P從點M出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右運動，當運動時間t為何值時，點P是（N，M）的相伴點？
【拓展提升】
(3)如圖3，A，B為數(shù)軸上兩點，若點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，現(xiàn)有兩個動點P、Q分別從點A，B開始，同時出發(fā)，均以每秒3個單位長度的速度向右運動．當點P，Q和B中恰有一個點為其余兩點的相伴點時，運動時間為___________秒（直接寫出答案）．
【考點二 數(shù)軸上的動點中求定值問題】
例題：點在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為，且滿足．
(1)如圖，求線段的長；
(2)若點C在數(shù)軸上對應的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應的數(shù)，若不存在，說明理由；
(3)如圖，點P在B點右側，的中點為為靠近于B點的四等分點，當P在B的右側運動時，有兩個結論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結論正確，請判斷正確的結論，并求出其值．
【變式訓練】
1．（2023秋·湖南婁底·七年級統(tǒng)考期末）如圖，為數(shù)軸的原點，點A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a，b，且滿足，點C為數(shù)軸上一動點且對應的數(shù)為x．

(1)求a，b的值；
(2)若點C在點A的左側運動，M是的中點，式子的值是否變化？若不變化，請求出其值；若變化，請說明理由；
(3)若點P以每秒2個單位長度的速度，點Q以每秒3個單位長度的速度，分別從A，B兩點同時向左運動了t秒，當時，請求出此時t的值．
2．（2023秋·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）已知點A、在數(shù)軸上對應的數(shù)分別為、，且，，點A、之間的距離記作，
(1)線段的長為___________；（直接寫出結果）
(2)若動點在數(shù)軸上對應的數(shù)為，
①當點是線段上一點，，則點表示的數(shù)為__________；
此時____________；（直接寫出結果）
②當時，求的值；
③當動點在點A的左側，、分別是、的中點，在運動過程中的值是否發(fā)現(xiàn)變化？若不變，求出其值，若變化，請求出變化范圍．
3．（2023秋·重慶巴南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點表示數(shù)，點表示數(shù)，且，我們把數(shù)軸上任意兩點、之間的距離記作．
(1)求和的值，并求點、之間的距離；
(2)設動點從數(shù)對應的點開始向右運動．速度為每秒2個單位長度．同時點、在數(shù)軸上運動，點的速度是每秒3個單位長度，點是每秒4個單位長度，設運動時間為秒．
①若點向右運動，點向左運動，且．求的值：
②若點向左運動，點向右運動，若的值不隨時間的變化而改變，求的值．
【考點三 數(shù)軸上的動點中找點的位置問題】
例題：已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）．
(1)操作一：折疊紙面，使表示數(shù)1的點與表示數(shù)﹣1的點重合，則此時表示數(shù)4的點與表示數(shù) 的點重合；
(2)操作二：折疊紙面，使表示數(shù)6的點與表示數(shù)﹣2的點重合，回答下列問題：
①表示數(shù)9的點與表示數(shù) 的點重合；
②若這樣折疊后，數(shù)軸上的A，B兩點也重合，且A，B兩點之間的距離為10（點A在點B的左側），求A，B兩點所表示的數(shù)分別是多少？
③在②的條件下，在數(shù)軸上找到一點P，設點P表示的數(shù)為x．當PA+PB＝12時，直接寫出x的值．
【變式訓練】
1．已知在數(shù)軸上A，B兩點對應數(shù)分別為﹣2，6．
(1)請畫出數(shù)軸，并在數(shù)軸上標出點A、點B；
(2)若同一時間點M從點A出發(fā)以1個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向右運動，點N從點B出發(fā)以3個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上向左運動，點P從原點出發(fā)以2個單位長度/秒的速度在數(shù)軸上運動．
①若點P向右運動，幾秒后點P到點M、點N的距離相等？
②若點P到A的距離是點P到B的距離的三倍，我們就稱點P是【A，B】的三倍點．當點P是【B，A】的三倍點時，求此時P對應的數(shù)．
2．如圖，已知為數(shù)軸上的兩個點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是20．
(1)直接寫出線段的中點對應的數(shù)；
(2)若點在數(shù)軸上，且，直接寫出點對應的數(shù)；
(3)若熊大從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向右前進8個單位長度；同時熊二從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進12個單位長度它們在點處相遇，求點對應的數(shù)；
(4)若熊大從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進8個單位長度；同時熊二從點出發(fā)，在數(shù)軸上每秒向左前進12個單位長度，當它們在數(shù)軸上相距20個單位長度時，求熊大所在位置點對應的數(shù)．
3．（2023春·上?！ち昙墝ｎ}練習）定義：對于數(shù)軸上的三點，若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系．如下圖，數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B就是點A，C的一個“關聯(lián)點”．
(1)寫出點A，C的其他三個“關聯(lián)點”所表示的數(shù)：______、______、______．
(2)若點M表示數(shù)，點N表示數(shù)4，數(shù)，，0，2，10所對應的點分別是，，，，，其中不是點M，N的“關聯(lián)點”是點______．
(3)若點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是10，點P為數(shù)軸上的一個動點．
①若點P在點N左側，且點P是點M，N的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．
②若點P在點N右側，且點P，M，N中，有一個點恰好是另外兩個點的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)．
4．（2022秋·山東濟南·七年級統(tǒng)考期中）已知關于x的代數(shù)式不含三次項，且二次項系數(shù)為，數(shù)軸上兩點所對應的數(shù)分別是和．
(1)＝ ，＝ ，兩點之間的距離為 ；
(2)有一動點從點出發(fā)第一次向左運動1個單位長度，然后在新的位置第二次運動，向右運動2個單位長度，在此位置第三次運動，向左運動3個單位長度……按照如此規(guī)律不斷地左右運動，求點運動到第2023次時所對應的有理數(shù)；
(3)在（2）的條件下，點會不會在某次運動時恰好到達某一個位置，使點到點的距離是點到點的距離的3倍？若可能請求出此時點的位置，若不可能請說明理由．
【考點四 數(shù)軸上的動點中幾何意義最值問題】
例題：（2023春·湖北武漢·七年級校聯(lián)考階段練習）數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離．因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與所對應的點之間的距離．
(1)探究問題：如圖，數(shù)軸上，點A，B，P分別表示數(shù)，2，x．

填空：因為的幾何意義是線段與的長度之和，而當點P在線段上時，，當點P在點A的左側或點B的右側時，．所以的最小值是______；
(2)解決問題：
①直接寫出式子的最小值為_______；
②直接寫出不等式的解集為_______；
③當a為_______時，代數(shù)式的最小值是2．（直接寫出結果）
【變式訓練】
1．（2022秋·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與－1所對應的點之間的距離．
（ⅰ）發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？
（ⅱ）探究問題：如圖，點A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3
∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，
∴當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA＋PB＞3
∴的最小值是3
請你根據(jù)上述自學材料，探究解決下列問題：
(1)的最小值是______；
(2)利用上述思想方法解不等式：；
(3)當a為何值時，代數(shù)式的最小值是2
3．（2023·全國·七年級專題練習）在數(shù)學問題中，我們常用幾何方法解決代數(shù)問題，借助數(shù)形結合的方法使復雜問題簡單化．
材料一：我們知道|a|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離；|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，b的兩點之間的距離；|a+b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a，﹣b的兩點之間的距離；根據(jù)絕對值的幾何意義，我們可以求出以下方程的解．
（1）|x﹣3|＝4
解：由絕對值的幾何意義知：
在數(shù)軸上x表示的點到3的距離等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1
（2）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其絕對值的幾何意義為：在數(shù)軸上x表示的點到﹣2的距離等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．
由|x﹣1|+|x+2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)1和﹣2兩點的距離的和，要使和最小，則表示數(shù)x的這點必在﹣2和1之間（包括這兩個端點）取值．
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把數(shù)軸上表示x的點記為點P，由絕對值的幾何意義知：當﹣2≤x≤1時，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，則點P必在﹣2的左邊或1的右邊，且到表示數(shù)﹣2或1的點的距離均為0.5個單位．
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解為：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．
閱讀以上材料，解決以下問題：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值為 ；
（2）已知有理數(shù)x滿足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理數(shù)y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．
（3）試找到符合條件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此時的最小值及x的取值范圍．

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