考試滿分：150分 考試時間：120分鐘
注意事項：
1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。
2．全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無效。
3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案用0.5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上。
4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
2．集合，則下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列的前項和為．若，則（ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
4．若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（ ）
A．0 B．2 C．9 D．11
5．甲、乙、丙三人被隨機的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中一天值班．則甲、乙被安排在同一天值班的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．在中，是的中點，與相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知，則（ ）
A． B． C． D．
9．側(cè)棱長與底面邊長均為的正三棱柱的外接球的表面積為，則（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
10．已知直線與橢圓在第四象限交于兩點，與軸，軸分別交于兩點，若，則的傾斜角是（ ）
A． B． C． D．
11．折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）．圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧所在圓的半徑分別是6和12，且，則該圓臺的體積為（ ）
圖1 圖2
A． B． C． D．
12．在平面直角坐標系中，曲線與坐標軸的交點都在圓上，為圓的直徑，點是直線上任意一點，則的最小值為（ ）
A．4 B．12 C．16 D．18
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．寫出一個對稱中心為的奇函數(shù)___________．
14．已知數(shù)列的前項和為，且，則___________．
15．直線與拋物線交于兩點，若，則___________．
16．已知函數(shù)，都有，則的取值范圍為___________．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
（一）必考題：共60分。
17．（12分）作為一個基于大型語言處理模型的文字聊天工具，ChatGPT走紅后，大模型的熱度持續(xù)不減，并日漸形成了“千模大戰(zhàn)”的局面。百度的文心一言、阿里的通義千問、華為的盤古、騰訊的混元以及科大訊飛的星火等多種大模型正如火如茶的發(fā)布上線。現(xiàn)有某大模型給出了會員有效期30天的兩種不同費用，100次的使用費為6元，500次的使用費為24元。后臺調(diào)取了購買會員的200名用戶基本信息，包括個人和公司兩種用戶，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)購買24元的用戶數(shù)是140，其中個人用戶數(shù)比公司用戶數(shù)少20，購買6元的公司用戶數(shù)是個人用戶數(shù)的一半．
（1）完成如下用戶類別與購買意向的列聯(lián)表；
（2）能否有的把握認為購買意向與用戶類別有關(guān)?（運算結(jié)果保留三位小數(shù)）
附：，臨界值表如下：
19．（12分）在三邊均不相等的中，角對應(yīng)的邊分別為，若．點在線段上，且平分角．
（1）求；
（2）若，求的長度．
19．（12分）如圖，在四棱雉中，底面是邊長為2的正方形，且，，點分別為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求點到平面的距離．
20．（12分）已知函數(shù)的反函數(shù)為，令
（1）求曲線在處的切線的方程；
（2）證明：．
21．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，兩條漸近線的夾角為是雙曲線上一點，且的面積為．
（1）求該雙曲線的標準方程；
（2）若直線與雙曲線交于兩點，且坐標原點在以為直徑的圓上，求的最小值．
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。
22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
（1）分別求曲線和直線的直角坐標方程；
（2）若直線交曲線于兩點，過線段的中點作軸的平行線交于一點，求點的橫坐標．
23．[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若為正實數(shù)，且，求的最小值．
2023-2024學(xué)年安康市高三年級第三次質(zhì)量聯(lián)考
文科數(shù)學(xué)參考答案
1．【答案】D
【解析】由條件可得，所以，即．故選D．
2．【答案】A
【解析】由條件可得，所以，故選A．
3．【答案】B
【解析】由題可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，所以，又，故選B．
4．【答案】D
【解析】由約束條件，畫出可行域，
，化為斜截式方程得，
聯(lián)立得，即．
由題意可知，當直線過點時，直線在軸上的截距最小，此時最大．
把點代入目標函數(shù)可得最大值，即最大值．故選D．
5．【答案】C
【解析】由題意可知將3人分成兩組，其中一組只有1人，另一組有2人．分別安排在周六、周日值班共有6種情況：（甲乙，丙）、（甲丙，乙）、（乙丙，甲）、（甲，乙丙）、（乙，甲丙）、（丙，甲乙）．顯然甲、乙被安排在同一天有2種情況，所以甲、乙被安排在同一天的概率為．故選C．
6．【答案】B
【解析】設(shè)，由是的中點，得，由，得．
所以，且
由與相交于點可知，點在線段上，也在線段上，由三點共線的條件可得，解得，所以，故選B．
7．【答案】A
【解析】由，得且，所以方程的實根為，方程的實根為，在同一坐標系下畫出的圖象，顯然，故選A．
8．【答案】A
【解析】由，解得，所以
，所以．故選A．
9．【答案】C
【解析】由球的表面積公式，解得外接球半徑．因為底面三角形是邊長為的等邊三角形，所以此三角形的外接圓半徑為，由正三棱柱的外接球的特點可得，，解得．故選C．
10．【答案】C
【解析】由可得線段的中點，也是線段的中點，設(shè)，線段的中點坐標為，則．又點在橢圓上，所以，兩式相減可得，，所以，所以
，即．
又因為四點共線，所以，綜上可得，由在第四象限得即，所以直線的傾斜角為．故選C．
11．【答案】D
【解析】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，
，解得，作出圓臺的軸截面，如圖所示：
圖中，
過點向作垂線，垂足為，則，
所以圓臺的高，
則上底面面積，由圓臺的體積計算公式可得：
故選：D．
12．【答案】B
【解析】曲線與坐標軸的交點分別為，設(shè)圓心，由得，所以圓方程為，其圓心，半徑為圓心到直線的距離設(shè)為，則，所以最小值為4，則最小值為．故選B．
13．【答案】
【解析】因為奇函數(shù)關(guān)于原點對稱，且此函數(shù)又關(guān)于點對稱，所以此函數(shù)可類比于正弦函數(shù)，因為正弦函數(shù)是奇函數(shù)，且關(guān)于點對稱，所以可聯(lián)想到．
14．【答案】
【解析】當時，，解得．
當時，，兩式相減得，
因為，所以，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即數(shù)列是，故，所以．
15．【答案】
【解析】由，聯(lián)立得，
所以，且
顯然直線過拋物線的焦點．
所以，解得．
16．【答案】
【解析】由，不妨設(shè)，則，所以，
可變形化簡為，
構(gòu)造函數(shù)，則，
所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以恒成立，
即在上恒成立，
當時，，
又時，，而，所以，
所以，
所以的取值范圍為．
故答案為：
17．【解析】（1）設(shè)購買24元的個人用戶數(shù)為，則購買24元的公司用戶數(shù)為，
設(shè)購買6元的公司用戶數(shù)為，則購買6元的個人用戶數(shù)為，
則有，解得，
所以用戶類別與購買意向列聯(lián)表如下：
（2）由（1）中列聯(lián)表得
所以有的把握認為用戶類別與購買意向有關(guān)系．
18．【解析】（1）由，得
化簡得
因為三邊均不相等，所以，即
由余弦定理得
在中，由，得
（2）在中，，故
由得，易得
在中，，所以
在中，由，得
19．【解析】（1）證明：因為底面為正方形，所以，又因為平面，
所以平面
因為平面，所以，
同理，又因為平面，所以平面，
（2）解：顯然由（1）可得，在直角中，同理，點分別為的中點，所以在中，
所以，
在直角中，
由（1）得平面，所以平面，所以點到平面的距離為
設(shè)點到平面的距離為，由
得，解得．所以點到平面的距離為．
20．【解析】（1）函數(shù)的反函數(shù)為
則，所以
所以曲線在處的切線的方程為，即．
（2）證明：由（1）可知，顯然為上的增函數(shù)．
因為，所以存在唯一的，使．
從而有．
因為時，時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
所以
當且僅當時，等號成立，而，即．
21．【解析】（1）由題可知雙曲線的漸近線方程為，
因為，所以，所以直線的斜率大于1．
由兩條漸近線的夾角為可得，因為，所以即雙曲線方程為，
因為的面積為，所以，所以．
因為點在雙曲線上，所以將點的坐標代人方程可得，解得，或．因為
條件，所以，即雙曲線的方程為．
（2）因為以為直徑的圓過坐標原點，所以，所以，即：
①當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由可得，
又點在雙曲線上，代人可得，解得．
所以．
②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，
由聯(lián)立消去整理得，
因為直線與雙曲線交于兩點，所以，
即判別式．
設(shè)，
則，
由得到：，所以，即
，
即，
所以，
化簡得．
所以。
當時上式取等號，且方程（*）有解．
綜上可得的最小值是．
22．【解析】（1）由可得，代入
消去參數(shù)，可得的直角坐標方程為：
化簡可得，所以．
將代入的極坐標方程，可得的直角坐標方程為：．
（2）曲線是拋物線，其焦點，準線，
直線，恰好過拋物線的焦點．
由消去并整理得，
設(shè)，
則，線段的中點的橫坐標，中點的縱坐標，
過點作軸的平行線交于一點，則點的縱坐標也等于，所以點的橫坐標為．
23．【解析】（1），
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即當時，函數(shù)取得最小值1
（2）由（1）可得當為正實數(shù)時，，
則由可得：，
所以
當且僅當時，又，即當時，等號成立．
所以的最小值為9購買6元
購買24元
個人用戶
公司用戶
總計
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
購買6元
購買24元
總計
個人用戶
40
60
100
公司用戶
20
80
100
總計
60
140
200

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