最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題22 函數(shù)與平行四邊形的存在性問題-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費馬點經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費馬點問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題22函數(shù)與平行四邊形的存在性問題
解題策略
經(jīng)典例題
【例1】（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，2），B（4，0）．
（1）如圖1，若四邊形OACB為平行四邊形，請寫出圖中頂點C的坐標(biāo) ．
（2）在平面內(nèi)是否存在不同于圖1的點C，使得以O(shè)、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請在圖2中畫出滿足情況的平行四邊形，并在圖上直接標(biāo)出點C的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在直角坐標(biāo)系中，P是x軸上一動點，在直線y＝x上是否存在點Q，使得以O(shè)、A、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，畫出滿足情況的平行四邊形，并求出對應(yīng)的點Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【例2】（2018春?常熟市期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點E、F分別在AC，AB上，連接EF．
（1）將△ABC沿EF折疊，使點A落在AB邊上的點D處，如圖1，若S四邊形ECBD＝2S△EDF，求AE的長；
（2）將△ABC沿EF折疊，使點A落在BC邊上的點M處，如圖2，若MF⊥CB．
①求AE的長；②求四邊形AEMF的面積；
（3）若點E在射線AC上，點F在邊AB上，點A關(guān)于EF所在直線的對稱點為點P，問：是否存在以PF、CB為對邊的平行四邊形，若存在，求出AE的長；若不存在，請說明理由．
【例3】（2022春?濟(jì)南月考）如圖，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，點D是邊AB的中點，反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，交BC邊于點E，直線DE的解析式為y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的解析式和E點坐標(biāo)；
（2）在y軸上找一點P，使△PDE的周長最小，求出此時點P的坐標(biāo)；
（3）若點M在反比例函數(shù)的圖象上，點N在坐標(biāo)軸上，是否存在以D、E、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【例4】（2022?阜新）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣1，0），B（5，0），交y軸于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖1，點M從點B出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段BC向點C運動，點N從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段OB向點B運動，點M，N同時出發(fā)．設(shè)運動時間為t秒（0＜t＜5）．當(dāng)t為何值時，△BMN的面積最大？最大面積是多少？
（3）已知P是拋物線上一點，在直線BC上是否存在點Q，使以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
培優(yōu)訓(xùn)練
一．解答題
1．（2022秋?綦江區(qū)期中）已知拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C，連接AC，有一動點D在線段AC上運動，過點D作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F，AB＝4，設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時，求出△ACE的最大面積和點D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m＝﹣2時，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以B，C，E，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2．（2022秋?漢陰縣期中）如圖，直線y＝﹣x+4與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P，Q，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
3．（2022秋?虹口區(qū)校級月考）若直線y＝x+2分別交x軸、y軸于A、C兩點，點P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點，PB⊥x軸，B為垂足，且S△ABC＝6．
（1）求點B和點P的坐標(biāo)；
（2）點D是直線AP上一點，△ABD是直角三角形，求點D的坐標(biāo)；
（3）y軸上是否存在點Q，以Q、C、P、B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請求出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
4．（2022秋?隨縣校級月考）已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）交x軸于A（1，0）和B（﹣3，0），交y軸于C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若M為拋物線上第二象限內(nèi)一點，求使△MBC面積最大時點M的坐標(biāo)；
（3）D是拋物線的頂點，P為拋物線上的一點，當(dāng)S△PAB＝S△ABD時，請直接寫出點P的坐標(biāo)；
（4）若F是對稱軸上一動點，Q是拋物線上一動點，是否存在F、Q，使以B、C、F、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)．
5．（2022秋?萬州區(qū)月考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+1與y軸交于點A，過B（6，1）的直線l2與直線l1交于點C（m，﹣5）．
（1）求直線l2的解析式；
（2）若點D是第一象限位于直線l2上的一動點，過點D作DH∥y軸交l1于點H．當(dāng)DH＝10時，試在x軸上找一點E，在直線l1上找一點F，使得△DEF的周長最小，求出周長的最小值；
（3）如圖2，直線l2與x軸交于點M，與y軸交于點N，將直線l2繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到直線l3，點P是直線l3上一點，且橫坐標(biāo)為﹣2，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使得以點M，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
6．（2022春?南崗區(qū)校級期中）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A在y軸上，點C在x軸上，OC＞OA且OC和OA長度分別為一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩個根，B為第一象限內(nèi)一點，連接AB、OB、BC，滿足AB∥x軸且∠ABO＝30°．
（1）求點B坐標(biāo)；
（2）如圖2，點P在線段OB上，點Q在OC延長線上，且BP＝CQ＝t，連接PQ交BC于點E，取OP中點D，連接DE，若DE長度為d，用含t的式子表示d；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AP，以AP為邊向上作等邊△APW，當(dāng)點E縱坐標(biāo)為點W橫坐標(biāo)的時，第三象限內(nèi)是否存在點H，使得以點O、A、W、H為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出H點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
7．（2022春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，已知點A（0，﹣6）、C（﹣3，﹣7），點B在第三象限內(nèi)．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）將△ABC以每秒2個單位的速度沿y軸向上平移t秒，若存在某一時刻t，使在第二象限內(nèi)點B、C兩點的對應(yīng)點B'，C'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的情況下，問：是否存在x軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q，使得以P、Q、B'、C'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
8．（2022秋?曲阜市校級月考）如圖，矩形OABC的頂點A，C分別落在x軸，y軸的正半軸上，已知頂點B（2，4），反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與BC，AB分別交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函數(shù)關(guān)系式和點E的坐標(biāo)；
（2）寫出DE與AC的位置關(guān)系并說明理由；
（3）若點F在直線AC上，點G在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，是否存在合適的F、G點，使四邊形BCFG為平行四邊形，若存在，請求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
9．（2021秋?萊西市期末）已知：如圖，菱形ABCD中，AB＝5cm，AC＝6cm，動點P從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動；同時，動點Q從點C出發(fā)，沿CB方向勻速運動，它們的運動速度均為1cm/s．過點P作PM∥BC，過點B作BM⊥PM，垂足為M，連接QP．設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）菱形ABCD的高為 cm，cs∠ABC的值為；
（2）在運動過程中，是否存在某一時刻t，使四邊形MPQB為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在某一時刻t，使四邊形MPQB的面積是菱形ABCD面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）是否存在某一時刻t，使點M在∠PQB的角平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
10．（2022春?五華區(qū)校級期中）如圖，直線l1：y1＝kx+b分別與x軸、y軸交于A（8，0）、B（0，4）兩點，與直線l2：y2＝2x﹣6交于點C．
（1）求直線l1的解析式；
（2）若l2與y軸交于點D，求△BCD的面積；
（3）在線段BC上是否存在一點E，過點E作EF∥y軸與直線CD交于點F，使得四邊形OBEF是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
11．（2022?章丘區(qū)模擬）已知，矩形OCBA在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點C在x軸的正半軸上，點A在y軸的正半軸上，已知點B的坐標(biāo)為（4，2），反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過AB的中點D，且與BC交于點E，設(shè)直線DE的解析式為y＝mx+n，連接OD，OE．
（1）求反比例函數(shù)y＝的表達(dá)式和點E的坐標(biāo)；
（2）點M為y軸正半軸上一點，若△MBO的面積等于△ODE的面積，求點M的坐標(biāo)；
（3）點P為x軸上一點，點Q為反比例函數(shù)y＝圖象上一點，是否存在點P、Q使得以點P，Q，D，E為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
12．（2022秋?明山區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，過點B的直線交x軸于C，且△ABC面積為10．
（1）求點C的坐標(biāo)及直線BC的解析式；
（2）如圖1，設(shè)點F為線段AB中點，點G為y軸上一動點，連接FG，以FG為邊向FG右側(cè)作正方形FGQP，在G點的運動過程中，當(dāng)頂點Q落在直線BC上時，求點G的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若M為線段BC上一點，且滿足S△AMB＝S△AOB，點E為直線AM上一動點，在x軸上是否存在點D，使以點D，E，B，C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
13．（2022秋?倉山區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣2x+c與直線y＝x+1交于點A、C，且點A的坐標(biāo)為（﹣1，0）．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）若點P是直線AC下方的拋物線上一動點，求點P到直線AC距離的最大值；
（3）若點E是拋物線上一點，點F是拋物線對稱軸上一點，是否存在點E使以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
14．（2022?前進(jìn)區(qū)校級開學(xué)）如圖，矩形AOCB的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上，線段OA、OC的長度滿足|OA﹣15|+＝0，點N在OC上，將△BCN沿直線BN折疊，點C恰好落在x軸上的點D處，且OD＝3．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求直線BN的解析式；
（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P，使以B、N，D、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
15．（2022?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝x+b與直線l2：y＝﹣交于點B，直線l1交x軸于點A，交y軸于點C，直線l2交x軸于點E，交y軸于點D，OA＝OD，點D與點P關(guān)于x軸對稱．
（1）求直線l1的解析式；
（2）如圖1，M、N為直線l1上兩動點，且MN＝3，求PM+MN+ND的最小值；
（3）如圖2，點H為直線l1上一動點，在直線l3：y＝x上是否存在一點F，使以E、F、H、P四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
16．（2022秋?合川區(qū)校級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使四邊形ABCP的面積最大？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）將二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到新拋物線，點M在新拋物線上，點N在原拋物線的對稱軸上，直接寫出所有使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形的點N的坐標(biāo)，并把求其中一個點N的坐標(biāo)的過程寫出來．
17．（2022秋?海珠區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0）、B（4，0）、C三點，且OB＝OC，點P是拋物線上的一個動點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P在直線BC下方，P運動到什么位置時，四邊形PBOC面積最大？求出此時點P的坐標(biāo)和四邊形PBOC的最大面積；
（3）直線BC上是否存在一點Q，使得以點A、B、P、Q組成的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
18．（2022?攀枝花）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點），A兩點，且二次函數(shù)的最小值為﹣1，點M（1，m）是其對稱軸上一點，y軸上一點B（0，1）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點P，連結(jié)PA，PB，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在二次函數(shù)圖象上是否存在點N，使得以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
19．（2022?資陽）已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為A（1，4），且與x軸交于點B（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P（m，0）旋轉(zhuǎn)180°，此時點A、B的對應(yīng)點分別為點C、D．
①連結(jié)AB、BC、CD、DA，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，求m的值；
②在①的條件下，若點M是直線x＝m上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點Q，使得以點B、C、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
20．（2022春?九龍坡區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象和x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），與y軸交于點C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）在線段AC上方的拋物線上有一動點P，直線PC與直線BD交于點Q，當(dāng)△PAQ面積最大時，求點P的坐標(biāo)及△PAQ面積的最大值；
（3）在（2）條件下，將拋物線y＝ax2+bx+3沿射線AC平移2個單位長度，得到新二次函數(shù)y′＝ax2+bx+c，點R在新拋物線對稱軸上，在直線y＝﹣x上有一點S，使得以點P，D，R，S為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點R的坐標(biāo)，并寫出求解點R的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．
21．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點A，與x軸交于點E、B．且點A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點M．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若點P是直線AB上方拋物線上的一動點，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；
（3）若點P是拋物線上一點，在直線AB上是否存在一點Q，使得以點M、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
22．（2022春?興寧區(qū)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，﹣2），點C（0，﹣5），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象于點B，連接BC．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式及點M的坐標(biāo)；
（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；
（3）若E為線段AB上一點，且BE：EA＝3：1，P為直線AC上一點，在拋物線上是否存在一點Q，使以B、P、E、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
23．（2022?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，3），對稱軸為直線x＝﹣1，頂點為點D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC＝∠BCO；
（3）如圖②，延長DC交x軸于點M，平移二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象，使頂點D沿著射線DM方向平移到點D1且CD1＝2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點N．如果在y1的對稱軸和y1上分別取點P，Q，使以MN為一邊，點M，N，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點Q的坐標(biāo)．
24．（2022?慶陽二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象交x軸于A（﹣1，0），B兩點，交y軸于點C，且OB＝OC．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）設(shè)點D是y軸右側(cè)拋物線上一點（D不與B重合），過點D作DE⊥x軸，垂足為點E，交直線BC于點F，若DF＝2EF，求點D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，平面內(nèi)是否存在點G，使得以點B，C，D，G為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求直接寫出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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