專題06 概率與統(tǒng)計
（2023?新高考Ⅰ）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．
（1）求第2次投籃的人是乙的概率；
（2）求第次投籃的人是甲的概率；
（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，，，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．
（2023?新高考Ⅱ）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：
利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性，此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為（c）．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．
（1）當(dāng)漏診率（c）時，求臨界值和誤診率（c）；
（2）設(shè)函數(shù)（c）（c）（c）．當(dāng)，，求（c）的解析式，并求（c）在區(qū)間，的最小值．
（2022?新高考Ⅰ）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：
（1）能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
（2）從該地的人群中任選一人，表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”， 表示事件“選到的人患有該疾病”， 與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為．
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計值，并利用（?。┑慕Y(jié)果給出的估計值．
附：．
（2022?新高考Ⅱ）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：
（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率；
（3）已知該地區(qū)這種疾病患者的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間，的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘模畯脑摰貐^(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001 ．
（2023?上海）2023年6月7日，21世紀(jì)汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示：
（1）若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件為小明取到紅色外觀的模型，事件為小明取到棕色內(nèi)飾的模型，求（B）和，并判斷事件和事件是否獨立；
（2）該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型，給出以下假設(shè)：
假設(shè)1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；
假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎項越高；
假設(shè)3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；
請你分析獎項對應(yīng)的結(jié)果，設(shè)為獎金額，寫出的分布列并求出的數(shù)學(xué)期望．
（2023屆四省聯(lián)考）一個池塘里的魚的數(shù)目記為N，從池塘里撈出200尾魚，并給魚作上標(biāo)識，然后把魚放回池塘里，過一小段時間后再從池塘里撈出500尾魚，表示撈出的500尾魚中有標(biāo)識的魚的數(shù)目．
（1）若，求的數(shù)學(xué)期望；
（2）已知撈出的500尾魚中15尾有標(biāo)識，試給出N的估計值（以使得最大的N的值作為N的估計值）．
（2023?海南·昌江縣二模）擺地攤的某攤（賭）主拿了8個白的，8個黑的圍棋子放在一個口袋里，并規(guī)定凡愿意摸彩者每人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，中彩情況如下：
（1）某人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，求獲得彩金20元的概率；
（2）某人交一元錢作手續(xù)費，然后一次從口袋摸出5個棋子，求無任何獎品的概率；
（3）按每天摸彩1000次統(tǒng)計，賭主可望凈賺約多少錢？
（2023?廣州?模擬）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時的中等強度運動．已知A社區(qū)有56%的居民每周運動總時間超過5小時，B社區(qū)有65%的居民每周運動總時間超過5小時，C社區(qū)有70%的居民每周運動總時間超過5小時，且A，B，C三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為5：6：9．
（1）從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；
（2）假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量X（單位：小時），且X～N（5.5，σ2）．現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率．
（2023?福建晉江·校級模擬）某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分．已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為．
（1）在一場比賽中，甲的積分為X，求X的概率分布列；
（2）求甲在參加三場比賽后，積分之和為5分的概率．
（2023?海淀區(qū)校級三模）人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來，理論和技術(shù)日益成熟．某校成立了A，B兩個研究性小組，分別設(shè)計和開發(fā)不同的AI軟件用于識別音樂的類別：“古典音樂”、“流行音樂”、“民族音樂”．為測試AI軟件的識別能力，計劃采取兩種測試方案．
方案一：將100首音樂隨機分配給A，B兩個小組識別，每首音樂只被一個AI軟件識別一次，并記錄結(jié)果；
方案二：對同一首音樂，A，B兩組分別識別兩次，如果識別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測試通過．
（Ⅰ）若方案一的測試結(jié)果顯示：正確識別的音樂數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識別的音樂數(shù)中，A組占；在錯誤識別的音樂數(shù)中，B組占．
（?。┯妙l率估計概率，兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為多少？
（ⅱ）利用（?。┲械慕Y(jié)論，求方案二在一次測試中獲得通過的概率；
（Ⅱ）若方案一的測試結(jié)果如下：
在A小組、B小組識別的歌曲中各任選一首，記X1，X2分別為A小組、B小組正確識別的數(shù)量，試比較E（X1）和E（X2）的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）
（2023?陜西西安·校級模擬）為弘揚奧林匹克精神，普及冰雪運動知識，助力2022年冬奧會和冬殘奧會，某校組織全體學(xué)生參與“激情冰雪﹣相約冬奧”冰雪運動知識競賽．從參加競賽的學(xué)生中，隨機抽取若干名學(xué)生的競賽成績，均在50到100之間，將樣本數(shù)據(jù)分組為[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并將成績繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知成績在區(qū)間70到90的有60人．
（1）求樣本容量，并估計該校本?競賽成績的中位數(shù)及平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；
（2）全校學(xué)生有1000人，抽取學(xué)生的競賽成績的標(biāo)準(zhǔn)差為11，用頻率估計概率，記全校學(xué)生的競賽成績的標(biāo)準(zhǔn)差為σ，估計全校學(xué)生中競賽成績在內(nèi)的人數(shù)．
（2023?湖南·統(tǒng)考模擬）民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村要振興，合作社助力鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興，農(nóng)民專業(yè)合作社已成為新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營主體和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)建設(shè)的中堅力量，為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略作出了巨大的貢獻(xiàn)．已知某主要從事手工編織品的農(nóng)民專業(yè)合作社共有100名編織工人，該農(nóng)民專業(yè)合作社為了鼓勵工人，決定對“編織巧手”進(jìn)行獎勵，為研究“編織巧手”是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)從所有編織工人中抽取40周歲以上（含40周歲）的工人24名，40周歲以下的工人16名，得到的數(shù)據(jù)如表所示．
（1）請完成答題卡上的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，分析“編織巧手”與“年齡”是否有關(guān)；
（2）為進(jìn)一步提高編織效率，培養(yǎng)更多的“編織巧手”，該農(nóng)民專業(yè)合作社決定從上表中的非“編織巧手”的工人中采用分層抽樣的方法抽取6人參加技能培訓(xùn)，再從這6人中隨機抽取2人分享心得，求這2人中恰有1人的年齡在40周歲以下的概率．
參考公式：，其中n＝a+b+c+d．
參考數(shù)據(jù)：
（2023·福建廈門·?？家荒＃┲袊栉幕┐缶?，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，某數(shù)學(xué)建模小組為了獲得茶水溫度y（單位：）關(guān)于時間x（單位：min）的回歸方程模型，通過實驗收集在室溫，用同一溫度的水沖泡的條件下，茶水溫度隨時間變化的7組數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)做初步處理得到如圖所示散點圖以及如表所示數(shù)據(jù).

表中：，
(1)根據(jù)散點圖判斷，①與②哪一個更適宜作為該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）請根據(jù)你的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立該茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程；
(2)已知該茶水溫度降至口感最佳，根據(jù)（1）中的回歸方程，求在相同條件下沖泡的茶水，大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感？
附：（1）對于一組數(shù)據(jù)，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，
（2）參考數(shù)據(jù)：，，，，
（2023·江西景德鎮(zhèn)·模擬階段）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.
（1）求的分布列；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求的期望.
（2024·北京·?？茧A段練習(xí)）離散型隨機變量X和Y有相同的可能取值，它們的分布列分別為，，，，．指標(biāo)可用來刻畫X和Y的相似程度，其定義為．設(shè)．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值；
(3)對任意與有相同可能取值的隨機變量，證明：，并指出取等號的充要條件
題型訓(xùn)練
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
紅色外觀
藍(lán)色外觀
棕色內(nèi)飾
12
8
米色內(nèi)飾
2
3
摸棋子
5個白
4個白
3個白
其它
彩金
20元
2元
紀(jì)念品（價值5角）
同樂一次（無任何獎品）
音樂類別
A小組
B小組
測試音樂數(shù)量
正確識別比例
測試音樂數(shù)量
正確識別比例
古典音樂
10
40%
24
50%
流行音樂
10
40%
20
50%
民族音樂
20
80%
16
87.5%
“編織巧手”
非“編織巧手”
總計
年齡≥40歲
19
_____
_____
年齡＜40歲
_____
10
_____
總計
_____
_____
40
α
0.100
0.050
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
73.5
3.85
答案&解析
【1】
【解析】（1）設(shè)第2次投籃的人是乙的概率為，
由題意得；
（2）由題意設(shè)為第次投籃的是甲，
則，
，
又，則是首項為，公比為0.4的等比數(shù)列，
，即，
第次投籃的人是甲的概率為；
（3）由（2）得，
由題意得甲第次投籃次數(shù)服從兩點分布，且，
，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
綜上所述，，．
【2】
【解析】（1）當(dāng)漏診率（c）時，
則，解得；
（c）；
（2）當(dāng)，時，
（c）（c）（c），
當(dāng)，時，（c）（c）（c），
故（c），
所以（c）的最小值為0.02．
【3】
【解析】（1）補充列聯(lián)表為：
不夠良好
良好
合計
病例組
40
60
100
對照組
10
90
100
合計
50
150
200
計算，
所以有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．
（2）證明：；
（ⅱ）利用調(diào)查數(shù)據(jù)，，，，，
所以．
【4】
【解析】（1）由頻率分布直方圖得該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為：
歲．
（2）該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的頻率為：
，
估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間，的概率為0.89．
（3）設(shè)從該地區(qū)中任選一人，此人的年齡位于區(qū)間，為事件，此人患這種疾病為事件，
則．
【5】
【解析】（1）若紅色外觀的模型，則分棕色內(nèi)飾12個，米色內(nèi)飾2個，則對應(yīng)的概率（A），
若小明取到棕色內(nèi)飾，分紅色外觀12，藍(lán)色外觀8，則對應(yīng)的概率（B）．
取到紅色外觀的模型同時是棕色內(nèi)飾的有12個，即，
則．
（A）（B），（A）（B），
即事件和事件不獨立．
（2）由題意知，300，150，
則外觀和內(nèi)飾均為同色的概率、
外觀和內(nèi)飾都異色的概率、
僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率，
，
，，，
則的分布列為：
150
300
600
則（元．
【6】
【解析】（1）依題意X服從超幾何分布，且，故．
（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，，記，則．由，當(dāng)且僅當(dāng)，則可知當(dāng)時，；當(dāng)時，，故時，最大，所以N的估計值為6666．
【7】
【解答】解：（1）獲得彩金20元的概率為；
（2）無任何獎品的概率為；
（3）中2元的概率，中5角的概率，
按摸彩1000次統(tǒng)計，賭主可望凈賺的錢數(shù)．
【8】
【解答】解：（1）設(shè)這3個社區(qū)的人數(shù)分別為5x，6x，9x，
則A，B，C社區(qū)超過5h的人數(shù)分別為5x×56%＝2.8x，6x×65%＝3.9x，9x×70%＝6.3x，
故從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率P＝＝；
（2）因為X～N（5.5，σ2），
所以P（X＞5.5）＝，
由（1）P（X＞5）＝0.65，
故P（5＜X＜5.5）＝0.15，
所以P（5＜X＜6）＝0.3，P（X≥6或X≤5）＝0.7，
故從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率P＝+0.33＝0.216．
【9】
【解答】解：（1）由題意可知，X可能取值為0，1，2，3，
當(dāng)X＝0時，則前三場比賽都輸或前三場比賽贏一場且第四場比賽輸，
則P（X＝0）＝（1﹣）3+××（1﹣）2（1﹣）＝，
當(dāng)X＝1時，前四場比賽贏兩場且第五場比賽輸，
則P（X＝1）＝×（）2×（1﹣）2（1﹣）＝；
當(dāng)X＝2時，前四場比賽贏兩場且第五場比賽贏，
則P（X＝2）＝×（）2（1﹣）2×＝，
當(dāng)X＝3時，前三場比賽都贏或前三場比賽贏兩場且第四場比賽贏，
則P（X＝3）＝（）3+×（）2（1﹣）×＝，
故X的概率分布列如下：
X
0
1
2
3
P
（2）設(shè)甲在參加三場比賽后，積分之和為5分為事件A，
則甲的三場比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，
故P（A）＝3×××+×××+3×××＝，
故甲在參加三場比賽后，積分之和為5分為．
【10】
【解答】解：（Ⅰ）（i）對于方案一，設(shè)A、B兩個研究性小組的AI軟件每次能正確識別音樂類別的概率分別為P1、P2，
100首音樂中，正確被識別的數(shù)量為首，錯誤被識別數(shù)量為100﹣60＝40首，
其中A組識別正確的數(shù)量為首，B組識別正確的數(shù)量為60﹣40＝20首，
其中A組識別錯誤的數(shù)量為 首，B組識別錯誤的數(shù)量為 首，
故 ，．
（ii）記事件D：方案二在一次測試中獲得通過，則P（D）＝（）2××（）2+×××（）2+（）2×（）2＝．
（Ⅱ）由題意可知，A小組識別正確的歌曲數(shù)量為首，
B小組識別正確的歌曲數(shù)量為首，
由題意可知，X1、X2均服從超幾何分布，且X1～H（3，24，40），X2～H（3，36，60），
根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，，
因此，E（X1）＝E（X2）．
【11】
【解答】解：（1）設(shè)樣本容量為n，則，
得n＝100，樣本容量為100，
設(shè)本次競賽成績的中位數(shù)為x，
則0.08+0.2+（x﹣70）×0.032＝0.5，得x＝76.875，
抽取的學(xué)生競賽成績的平均數(shù)；
（2），，
則抽取學(xué)生在內(nèi)的頻率為（70﹣65.6）×0.02+0.32+（87.6﹣80）×0.028＝0.6208，
全校學(xué)生有1000人，競賽成績在內(nèi)的人數(shù)1000×0.6208＝620.8≈621．
【12】
【解答】解：（1）年齡在40周歲以上（含40周歲）的非“編織巧手”有5人，年齡在40周歲以下的“編織巧手”有6人．列聯(lián)表如下：
“編織巧手”
非“編織巧手”
總計
年齡≥40歲
19
5
24
年齡＜40歲
6
10
16
總計
25
15
40
零假設(shè)為H0：“編織巧手”與“年齡”無關(guān)聯(lián)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，
根據(jù)小概率值α＝0.010的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為“編織巧手”與“年齡”有關(guān)，此推斷犯錯的概率不大于0.010；
（2）由題意可得這6人中年齡在40周歲以上（含40周歲）的人數(shù)是2；年齡在40周歲以下的人數(shù)是4．
從這6人中隨機抽取2人的情況有種，
其中符合條件的情況有種，
故所求概率．
【13】
【答案】(1)②更適宜，；
(2)7.5min.
【分析】（1）根據(jù)散點圖選擇②，取對數(shù)，再利用最小二乘法公式求出回歸直線方程即可.
（2）利用（1）中回歸方程，列出關(guān)于的方程求解即得.
【詳解】（1）由散點圖知，更適宜的回歸方程為②，即.
由，得，兩邊取自然對數(shù)，得，
令，則，
，
結(jié)合表中數(shù)據(jù)，得，
結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，由，得，
所以茶水溫度y關(guān)于時間x的回歸方程為.
（2）依題意，室溫下，茶水溫度降至口感最佳，
即，整理得，
于是，解得，
所以在相同條件下，剛泡好的茶水大約需要放置7.5min才能達(dá)到最佳引用口感.
【14】
解析：（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：
;;，
故的分布列如下表：
0
1
2
（2）由全概率公式可知：
，
即：，所以，所以，
又，所以，數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.
（3）由全概率公式可得：
,
即：,又,所以,
所以,又,
所以,所以,所以,
所以.
【15】
【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析
【詳解】（1）不妨設(shè)，則.所以.
（2）當(dāng)時，，記，則，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，則單調(diào)遞增，而，所以在為負(fù)數(shù)，在為正數(shù)，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為.
（3）令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則當(dāng)時，，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)對所有的時等號成立.

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