1. 用配方法解方程，則方程可變形為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先把常數(shù)項移到方程右側(cè)，然后配方即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了解一元二次方程——配方法；能夠?qū)⒁辉畏匠膛涑蓸?biāo)準(zhǔn)形式，再利用直接開平方法求解是解題的關(guān)鍵．
2. 菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的周長是（ ）
A. 10B. 40C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，作出圖形，在圖形中，結(jié)合菱形性質(zhì)，對角線互相垂直平分，利用勾股定理得到菱形邊長即可得到菱形周長．
【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下：
，
，
在中，，則，
菱形的周長為，
故選：C．
【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理求線段長，涉及菱形四條邊相等、對角線相互垂直平分等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
3. 矩形、菱形、正方形都一定具有的性質(zhì)是( )
A. 鄰邊相等B. 四個角都是直角
C. 對角線相等D. 對角線互相平分
【答案】D
【解析】
【詳解】矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，所以一定都具有的性質(zhì)是平行四邊形的性質(zhì)，即對角線互相平分.
故選：D.
4. 某學(xué)校在八年級開設(shè)了數(shù)學(xué)史、詩詞賞析、陶藝三門課程，若小波和小睿兩名同學(xué)每人隨機選擇其中一門課程，則小波和小睿選到同一門課程的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先畫樹狀圖（數(shù)學(xué)史、詩詞賞析、陶藝三門課程分別用A、B、C表示）展示所有9種可能的結(jié)果數(shù)，再找出小波和小春選到同一課程的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
【詳解】解：畫樹狀圖為：（數(shù)學(xué)史、詩詞賞析、陶藝三門課程分別用A、B、C表示）
由樹狀圖可知共有9種可能的結(jié)果數(shù)，其中小波和小春選到同一課程的結(jié)果數(shù)為3，
所以小波和小春選到同一課程的概率，
故選：B．
【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法求解概率：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率．
5. 臨近春節(jié)的三個月，某干果店迎來了銷售旺季，第一個月的銷售額為萬元，第三個月的銷售額為萬元，設(shè)兩個月銷售額的月平均增長率為，則根據(jù)題意可列方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，即可得答案；
【詳解】解：設(shè)這兩個月銷售額的月平均增長率為，則第二個月的銷售額是萬元，第三個月的銷售額為萬元，
，
故選：C．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是能夠求出第二個月的銷售額和第三個月的銷售額．
6. 已知，和是它們的對應(yīng)中線，若，，則與△面積的比是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：∵，和是它們的對應(yīng)中線，，，
∴，
∴與的面積比是：．
故選：D．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)中線、高線、角平分線的比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，熟知相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7. 關(guān)于的一元二次方程的兩根為，．那么下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，確定出根的判別式的符號即可．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的兩根為，，
即方程有兩個不相等的實數(shù)解，
△．
故選：A．
【點睛】本題考查了根的判別式的性質(zhì)，理解根的判別式是解決問題的關(guān)鍵．
8. 如圖，在中，，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，，可得再建立方程即可．
【詳解】解： ，，

，

解得：經(jīng)檢驗符合題意
故選C
【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明“”是解本題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點坐標(biāo)分別是，，，，已知矩形與矩形位似，位似中心是原點，且矩形的面積等于矩形面積的，則點的坐標(biāo)為（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得矩形與矩形位似比為，即可求解．
【詳解】解：矩形與矩形位似，矩形的面積等于矩形面積的，
矩形與矩形位似比為，
位似中心是原點，，
點的坐標(biāo)為，或，，即或，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，在中，，于點，若，，則的長為（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先證，然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出的長．
【詳解】解：中，，；
；
又于，
，
；
，
，
．
故選：A．
【點睛】此題主要考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠正確判定三角形相似，利用性質(zhì)建立比例式時解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11. 方程是關(guān)于的一元二次方程，則___________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義知，，且，據(jù)此可以求得的值．
【詳解】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，
，且，
解得；
故答案是：．
【點睛】本題考查了一元二次方程的定義．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．
12. 三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣6x+8＝0的解，則此三角形的周長是_____．
【答案】13
【解析】
【分析】先求出方程的兩根，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到合題意的邊，進而求得三角形周長即可．
【詳解】解：x2﹣6x+8＝0，
(x﹣2)(x﹣4)＝0，
x﹣2＝0，x﹣4＝0，
x1＝2，x2＝4，
當(dāng)x＝2時，2+3＜6，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，所以x＝2舍去，
當(dāng)x＝4時，符合三角形的三邊關(guān)系定理，三角形的周長是3+6+4＝13，
故答案為：13．
【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三邊關(guān)系，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否構(gòu)成三角形的好習(xí)慣，熟練掌握一元二次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．
13. 一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后放回盒子，通過大量重復(fù)摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在，那么估計盒子中小球的個數(shù)是_______．
【答案】30
【解析】
【分析】根據(jù)利用頻率估計概率得到摸到黃球的概率為30%，然后根據(jù)概率公式計算n的值．
【詳解】解：根據(jù)題意得＝30%，
解得n＝30，
所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球．
故答案為30．
【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．
14. 如圖，，點P在上移動，當(dāng)以P，C，D為頂點的三角形與相似時，求的長．
【答案】當(dāng)BP為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．
【解析】
【分析】設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，根據(jù)垂直的定義得到∠B=∠D=90°，再根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，當(dāng)時，△ABP∽△CDP，即；當(dāng)時，△ABP∽△PDC，即；然后分別解方程求出x即可．
【詳解】解：設(shè)DP=x，則BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴當(dāng)時，△ABP∽△CDP，即，
解得；
當(dāng)時，△ABP∽△PDC，即，
整理得x2-14x+24=0，
解得x1=2，x2=12，
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴當(dāng)BP為8.4或2或12時，以C、D、P為頂點的三角形與以P、B、A為頂點的三角形相似．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．
15. 如圖，為駕駛員的盲區(qū)，駕駛員的眼睛點處與地面的距離為1.6米，車頭近似看成一個矩形，且滿足，若盲區(qū)的長度是6米，則車寬的長度為________米．
【答案】
【解析】
【分析】通過作高，利用相似三角形的對應(yīng)高的比等于相似比，列方程求解即可．
【詳解】解：如圖，過點P作PM⊥BE，垂足為M，交AF于點N，則PM=1.6，
設(shè)FA=x米，由3FD=2FA得，F(xiàn)D=x=MN，
∵四邊形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴，即，
∴，
∵PN+MN=PM，
∴，
解得，x=，
故答案為：．
【點睛】本題考查視點、視角、盲區(qū)的意義，此類問題可以轉(zhuǎn)化為相似三角形的知識進行解答．
16. 如圖，在邊長為2的正方形中，點E、F分別是邊的中點，連接，點G、H分別是的中點，連接，則的長度為________．
【答案】
【解析】
【分析】連接CH并延長交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=CF=1，根據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．
詳解】解：連接CH并延長交AD于P，連接PE，
∵四邊形ABCD正方形，
∴∠A=90°，AD//BC，AB=AD=BC=2，
∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點，
∴AE=CF=×2=1，
∵AD//BC，
∴∠DPH=∠FCH，
∵H是DF的中點，
∴DH=FH，
在△PDH和△CFH中
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD=CF=1，
∴AP=AD-PD=1，
∴PE==，
∵點G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點，
∴GH=EP=；
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的中位線等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（第17小題8分，第18小題6分，第19小題8分，共22分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用配方法得到，然后利用直接開平方法解方程；
【小問1詳解】
，
，
或，
，，
【小問2詳解】
，
整理得：，
，
，
，．
【點睛】本題主要考查了解一元二次方程的方法，主要有直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，掌握以上方法是解題關(guān)鍵．
18. 如圖，在平行四邊形中，點，分別在邊，上，且四邊形為正方形．
（1）求證：；
（2）若平行四邊形的面積為，，直接寫出線段的長為 ___________．
【答案】（1）見解析；
（2）3．
【解析】
【分析】（1）直接根據(jù)已知條件，利用正方形和平行四邊形的性質(zhì)求解即可．
（2）由平行四邊形的面積公式求出高，然后即可得出答案．
【小問1詳解】
證明：四邊形為正方形，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
即；
【小問2詳解】
解：平行四邊形的面積為，，四邊形為正方形，
，，，
，
，
故答案為：3．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能靈活運用．
19. 一只不透明的袋子中裝有1個白球，2個紅球，1個黃球，這些球除顏色外都相同．
（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球是白球的概率為 ___________；
（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色質(zhì)不放回，再從中任意摸出1個球，用畫樹狀圖或列表的方法求2次摸到的球恰好是1個白球和1個黃球的概率．
【答案】（1）
（2）見解析，
【解析】
【分析】（1）利用概率公式求解即可
（2）畫出樹狀圖，可知共有種等可能結(jié)果數(shù)，其中恰好是1個白球和1個黃球的有2種，利用概率公式即可求解
【小問1詳解】
一只不透明的袋子中裝有1個白球，2個紅球，1個黃球，這些球除顏色外都相同，
攪勻后從中任意摸出1個球，則摸出白球的概率為：．
故答案為：；
【小問2詳解】
畫樹狀圖如圖所示：
共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好是1個白球和1個黃球的有2種，
恰好是1個白球和1個黃球的概率為
【點睛】本題考查了列舉法求概率，熟練掌握畫樹狀圖和列表的方法求概率是解決問題的關(guān)鍵
四、（每小題8分，共16分）
20. 如圖，某小區(qū)居委會打算把一塊長20m，寬8m的長方形空地修建成一個矩形花圃，供居民休閑散步，若三面修成寬度相等的花磚路，中間花圃的面積是126m2．請計算花磚路面的寬度．
【答案】花磚路面的寬度為1米
【解析】
【分析】設(shè)花磚路的寬度為x m，根據(jù)面積關(guān)系即可列一元二次方程，解一元二次方程即可．
【詳解】設(shè)花磚路的寬度為x m，中間花圃的長為（20－2x）m，寬為（8－x）m，
由題意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化簡，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合題意，舍去）
即花磚路面的寬度為1米．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系并正確列出方程．
21. 小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．
【答案】旗桿的高AB為3米．
【解析】
【分析】證明△AOD∽△EFG，利用相似比計算出AO的長，再證明△BOC∽△AOD，然后利用相似比計算OB的長，進一步計算即可求解．
【詳解】解：∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA?OB=3（米）．
∴旗桿的高AB為3米．
【點睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．
22. 已知在中，是邊上的一點，的角平分線交于點，且，求證：．
【答案】證明見解析.
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可求得∠ABD＝∠C，可證明△ABD∽△ABC，即可解題．
【詳解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)．
23. 2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運動會在北京舉行，吉祥物“冰墩墩”備受人民的喜愛，某商店經(jīng)銷吉祥物“冰墩墩”玩具，銷售成本為每件40元，據(jù)市場分析，若按每件50元銷售，一個月能售出500件；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10件，針對這種玩具的銷售情況，請解答以下問題：
（1）求當(dāng)銷售單價漲多少元時，月銷售利潤能夠達到8000元；
（2）商店想在月銷售成本不超過9000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，求銷售定價應(yīng)為多少元？
【答案】（1）漲10元或30元
（2）80元
【解析】
【分析】（1）設(shè)銷售單價漲x元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件,利用月銷售利潤=每件的銷售利潤×月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）利用月銷售成本=每件的銷售成本×月銷售量，可分別求出取各x值的月銷售成本，結(jié)合月銷售成本不超過9000元，即可得出銷售定價應(yīng)為80元．
【小問1詳解】
解：設(shè)銷售單價漲元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，
依題意得：，
整理得：，
解得：，
當(dāng)銷售單價漲10元或30元時，月銷售利潤能夠達到8000元
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，月銷售成本為，不合題意，舍去；
當(dāng)時，月銷售成本為，符合題意，此時．
銷售定價應(yīng)為80元
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出取各值的月銷售成本．
24. 在菱形中，對角線，交于點，且，；點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為每秒2個單位長度；點從點出發(fā)，沿向點勻速運動，速度為每秒1個單位長度；若，兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點停止運動時，另一個點也停止運動．過點作，交于點，交于點，設(shè)運動時間為，解答下列問題：
（1）直接寫出菱形的邊長為 ___________，并直接用含的代數(shù)式表示的長度 ___________；
（2）求當(dāng)為何值時，線段；
（3）是否存在某一時刻，使得以，，為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）或4或
【解析】
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計算菱形邊長，利用表示長度即可；
（2）當(dāng)時，四邊形為平行四邊形，利用可得出答案；
（3）三角形為等腰時分三種情況討論．
【小問1詳解】
解：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
故答案為：10，；
小問2詳解】
四邊形菱形，
，
當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，此時，
，
，
即當(dāng)為時，線段；
【小問3詳解】
分三種情況：
①如圖2，，
，
，
，
，
，
，即，
；
②如圖3，，
，，
，
；
③如圖4，，過點作于，
，
，，
，
，即，
，
，
，
；
綜上所述，當(dāng)或4或4.5，以，，為頂點的三角形是等腰三角形．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要涉及到菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及數(shù)形結(jié)合思想的綜合運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似比求出相關(guān)線段．
25. 如圖，已知四邊形和四邊形都是正方形，是對角線．
（1）如圖1，已知點在正方形的對角線上，于點，于點．
①求證：四邊形是正方形；
②直接寫出的值為 ___________；
（2）如圖2，將正方形繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，寫出線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，正方形在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)，，三點在一條直線上時，延長交于點．若，，直接寫出正方形和正方形的邊長．
【答案】（1）①見解析，②
（2），理由見解析
（3）正方形的邊長為3，正方形的邊長為
【解析】
【分析】（1）①先證明四邊形是矩形，再證明，即可證明四邊形是正方形；②先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，并證明，再由平行線分線段成比例定理即可得到；
（2）連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，得到，由此即可得到結(jié)論；
（3）由，推出，由此可證，得到，設(shè)，則，可求出，則，，再由，求出，即，則，，由此即可得到答案．
【小問1詳解】
解：①證明：四邊形是正方形，
，，
、，
，
四邊形是矩形，，
，
四邊形是正方形；·
②解：由①知四邊形是正方形，
，，
，，
，
故答案為：；
【小問2詳解】
解：，理由如下：
連接，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，
在和中，，，
，
，
，
線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；
【小問3詳解】
解：，點、、三點共線，
，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
則由，得，
，
∴，
∴，
，
，
解得：，即，，
，
四邊形是正方形，
，
綜上，正方形的邊長為3，正方形的邊長為．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，正確理解題意作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．

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