注意事項(xiàng)：
1．本試卷共6頁(yè)，三個(gè)大題，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘．
2．本試卷上不要答題，請(qǐng)按答題卡上注意事項(xiàng)的要求直接把答案填寫(xiě)在答題卡上．答在試卷上的答案無(wú)效．
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是正確的．
1．的相反數(shù)是（ ）
A．B．C．3D．
2．自從學(xué)校開(kāi)展“雙減”工作，很大地減輕了學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)，同學(xué)們有了更多的時(shí)間進(jìn)行課外活動(dòng)，增強(qiáng)體質(zhì)，將“落實(shí)雙減政策”六個(gè)字分別寫(xiě)在一個(gè)正方體的六個(gè)面上，這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖如圖所示，那么在這個(gè)正方體中，與“減”字所在面相對(duì)的面上的漢字是（ ）
A．落B．實(shí)C．政D．策
3．根據(jù)Verizn的測(cè)試模型，5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度為每秒1300000KB左右，已知某個(gè)視頻按5G網(wǎng)絡(luò)理論下載速度需花費(fèi)20秒完成下載，則該視頻的大小用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
4．下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．一副直角三角板按如圖所示的位置擺放（90°角的頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合），若，則的度數(shù)是（ ）
A．10°B．15°C．20°D．25°
6．關(guān)于x的方程的根的情況是（ ）
A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．無(wú)實(shí)數(shù)根
7．某公司決定招聘一名職員，一位應(yīng)聘者三項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試的成績(jī)?nèi)缦卤恚?br>這三項(xiàng)成績(jī)按照如圖所示的比例確定綜合成績(jī)，則這位應(yīng)聘者最后的得分為（ ）
A．78分B．79.5分C．80.5分D．82分
8．七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，李約瑟稱它是“東方最古老的消遣品之一”．圖1是邊長(zhǎng)為4的大正方形，圖2是王林同學(xué)將其分割制作的七巧板擺拼而成的“奔跑者”圖，則圖2中陰影部分的面積為（ ）
A．4B．C．6D．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC為矩形，點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸上，且點(diǎn)，D為邊BC上一點(diǎn)，將沿AD所在直線翻折，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在對(duì)角線AC上時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
10．某教材《閱讀與思考》中的部分內(nèi)容如下：
某數(shù)學(xué)社團(tuán)通過(guò)查閱資料，了解到放射性物質(zhì)的質(zhì)量減為原來(lái)的一半所用的時(shí)間是一個(gè)不變的量，我們把這個(gè)時(shí)間稱為此種放射性物質(zhì)的半衰期．結(jié)合鐳的放射規(guī)律的函數(shù)圖象，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．該函數(shù)圖象為反比例函數(shù)圖象
B．鐳的半衰期是1620年
C．鐳的質(zhì)量由縮減到需6480年
D．64mg鐳縮減至4mg所用的時(shí)間大約是8100年
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．已知y是x的一次函數(shù)，且函數(shù)圖象過(guò)，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合條件的函數(shù)解析式________．
12．關(guān)于x的不等式組的解集為_(kāi)_______．
13．《水滸傳》是中學(xué)生必讀名著之一．王林將水滸人物宋江和李逵的畫(huà)像及其綽號(hào)制成4張無(wú)差別卡片（除圖案和文字不同外，其他完全相同）．將卡片背面朝上洗勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的卡片人物畫(huà)像與綽號(hào)完全對(duì)應(yīng)的概率是________．
14．如圖，扇形OAB中，，以點(diǎn)A為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)C，若，則陰影部分的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
15．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P為AB邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，D是PC的中點(diǎn)，將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段PE，連接BE．當(dāng)為直角三角形時(shí)，線段AP的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）
16．（1）（5分）計(jì)算：．
（2）（5分）化簡(jiǎn)：．
17．（9分）盛夏來(lái)臨，防溺水任務(wù)成為重中之重，某中學(xué)為了解學(xué)生對(duì)防溺水知識(shí)的掌握情況，舉辦了以“珍愛(ài)生命，預(yù)防溺水”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，從全校1800名學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，并將測(cè)試結(jié)果整理如下：
其中，成績(jī)?cè)谶@一組的是（單位：分）：
70，78，72，79，71，74，75，72，79．
請(qǐng)根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題：
（1）表中的_______，這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________分．
（2）這次測(cè)試成績(jī)的平均分是79分，甲的成績(jī)是78分，乙說(shuō)：“甲的成績(jī)低于平均分，所以甲的成績(jī)低于一半學(xué)生的成績(jī)．”你認(rèn)為乙的說(shuō)法正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）請(qǐng)根據(jù)以上信息，估計(jì)全校學(xué)生測(cè)試成績(jī)不合格的人數(shù)，并提出一條合理化的建議．
18．（9分）鶴壁市玄天洞石塔，原名玲瓏塔，始建于元朝，重建于明代，是河南省現(xiàn)存最大的一座樓閣式石塔，也是中原地區(qū)保存最完整的大型青石塔．此塔坐東朝西，為九級(jí)重檐平面四角樓閣式建筑，塔身自下而上逐層收斂．某數(shù)學(xué)社團(tuán)打算運(yùn)用“解直角三角形”的知識(shí)來(lái)計(jì)算玲瓏塔的高度AB，如圖，先將無(wú)人機(jī)豎直上升至30m高的點(diǎn)P處，在點(diǎn)P處測(cè)得玲瓏塔頂端A的俯角為25°，將無(wú)人機(jī)沿水平方向繼續(xù)飛行7.5m到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得塔底端B的俯角為45°．求玲瓏塔的高度AB．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）
19．（9分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式．
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值均大于反比例函數(shù)的值，求b的取值范圍．
20．（9分）某開(kāi)發(fā)商對(duì)即將交付的樓盤(pán)進(jìn)行綠化，擬從花木基地購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種景觀樹(shù)，經(jīng)詢問(wèn)，若購(gòu)買(mǎi)甲種景觀樹(shù)10棵、乙種景觀樹(shù)20棵，需花費(fèi)1320元；若購(gòu)買(mǎi)甲種景觀樹(shù)20棵、乙種景觀樹(shù)50棵，需花費(fèi)3120元．
（1）求這兩種景觀樹(shù)每棵的售價(jià)各是多少元．
（2）若開(kāi)發(fā)商需購(gòu)進(jìn)這批景觀樹(shù)共450棵，且要求甲種景觀樹(shù)的數(shù)量不超過(guò)乙種景觀樹(shù)數(shù)量的2倍，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一種花費(fèi)最低的購(gòu)買(mǎi)方案，并求出最低費(fèi)用．
21．（9分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)時(shí)，y有最小值，求m的值．
22．（10分）機(jī)動(dòng)車(chē)輪降溫淋水獨(dú)立自動(dòng)控制裝置，由儲(chǔ)水箱、導(dǎo)水管、淋水噴頭、可變流量電磁水閘、車(chē)載電源等組成．在車(chē)輛上使用該裝置，可對(duì)各個(gè)車(chē)輪的給水溫度、時(shí)間及水量大小進(jìn)行獨(dú)立自動(dòng)控制，同時(shí)具有高溫報(bào)警、一定范圍內(nèi)整車(chē)制動(dòng)力不平衡報(bào)警功能，給行車(chē)帶來(lái)方便、安全可靠．如圖，是淋水器安裝模型，已知AB是⊙O（車(chē)輪）的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，安裝設(shè)計(jì)要求噴水線與車(chē)輪上的C點(diǎn)相切（噴水嘴安裝在車(chē)體PQ上）．
（1）尺規(guī)作圖：在PQ上找一點(diǎn)D，使得直線CD與⊙O相切．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．
（2）在（1）的條件下，設(shè)射線AB與直線CD交于點(diǎn)E，若，求機(jī)動(dòng)車(chē)輪胎直徑AB的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）
23．（10分）綜合與實(shí)踐
【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】
在學(xué)習(xí)了“特殊的四邊形”后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：
如圖1，已知正方形為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的射線，點(diǎn)在射線上，且，連接．
通過(guò)觀察圖形，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積不變．
根據(jù)上述猜想，興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了證明，過(guò)程如下：
四邊形是正方形，
，
，
，即．
．
．
又，
．
（依據(jù)：________）．
……
（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是________，上述猜想中正確的有________（填序號(hào)）．
【類(lèi)比探究】
（2）興趣小組的同學(xué)在探究了正方形中的結(jié)論后，將正方形換成矩形繼續(xù)探究．
如圖2，已知矩形ABCD，，E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作垂直于AC的射線CG，點(diǎn)F在射線CG上，且，連接EF．
①請(qǐng)判斷線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②點(diǎn)E在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BECF的面積是否改變？________．（填“不變”或“改變”）
【拓展應(yīng)用】
（3）在（2）的條件下，若，點(diǎn)E在AC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形BECF為軸對(duì)稱圖形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BF的長(zhǎng)．
永城市2023年第二次中招模擬試卷
數(shù)學(xué)試題參考答案
一、選擇題
1．【答案】A
【考點(diǎn)】相反數(shù)
【解析】根據(jù)“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”，可知的相反數(shù)是，故選A．
2．【答案】A
【考點(diǎn)】正方體的展開(kāi)圖．
【解析】根據(jù)“Z字兩端處的兩個(gè)面互為相對(duì)面”，可知“落”與“減”相對(duì)，故選A．
3．【答案】D
【考點(diǎn)】用科學(xué)記數(shù)法表示較大數(shù)．
【解析】，故選D．
4．【答案】C
【考點(diǎn)】整式的運(yùn)算．
【解析】，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選C．
5．【答案】B
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．
【解析】記交于點(diǎn)，如解圖所示．由題意，可知，．．，故選B．
6．【答案】A
【考點(diǎn)】一元二次方程根的判別式．
【解析】將方程化為一般式為該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故選A．
7．【答案】B
【考點(diǎn)】加權(quán)平均數(shù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖．
【解析】（分），故選B．
8．【答案】C
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)．
【解析】對(duì)圖1中的部分圖形進(jìn)行編號(hào)，如解圖所示．由題意，大正方形的邊長(zhǎng)為4，則其對(duì)角線長(zhǎng)為小正方形①的邊長(zhǎng)為．易得．又大正方形的面積為題圖2中陰影部分的面積為，故選C．
9．【答案】B
【考點(diǎn)】折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理．
【解析】易得．由折疊的性質(zhì)，可知，，．設(shè)，則．在中，由勾股定理，得，解得．點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選B．
10．【答案】B
【考點(diǎn)】函數(shù)圖象的分析．
【解析】該函數(shù)圖象與縱軸有交點(diǎn)，故不是反比例函數(shù)圖象；根據(jù)題意，結(jié)合圖象可得鐳的半衰期是1620年；由圖象，易得鐳的質(zhì)量由縮減到需1620年，由縮減到需1620年，一共需3240年；鐳縮減至需一個(gè)半衰期，縮減至需兩個(gè)半衰期，縮減至需三個(gè)半衰期，再縮減至需四個(gè)半衰期，即（年），
故選B．
二、填空題
11．【答案】（答案不唯一）
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【解析】設(shè)該一次函數(shù)的解析式為不等于0即可．
12．【答案】
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．
【解析】解不等式，得；解不等式，得．故原不等式組的解集為．
13．【答案】
【考點(diǎn)】用列舉法求簡(jiǎn)單事件的概率．
【解析】方法一：將四張卡片從左到右依次記作，根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
由樹(shù)狀圖，可知共有12種等可能的結(jié)果，其中抽取的卡片人物畫(huà)像與綽號(hào)完全對(duì)應(yīng)的結(jié)果有4種，故（抽取的卡片人物畫(huà)像與綽號(hào)完全對(duì)應(yīng)）．
方法二：將四張卡片從左到右依次記作．隨機(jī)抽取兩張，則出現(xiàn)的結(jié)果有6種，分別為，，其中人物畫(huà)像與綽號(hào)完全對(duì)應(yīng)的結(jié)果有2種，分別是和，故（抽取的卡片人物畫(huà)像與幛號(hào)完全對(duì)應(yīng)）．
14．【答案】
【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)．
【解析】連接，如解圖所示．由題意，易得是等邊三角形．陰影部分的周長(zhǎng)為．
15．【答案】2或
【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．
【解析】．故可分以下兩種情況討論．①當(dāng)時(shí)，連接，如解圖1所示．，是等邊三角形．．易得三點(diǎn)共線，即此時(shí)點(diǎn)落在邊上，則．．又．②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如解圖2所示．．設(shè)，則．在中，易得，解得．綜上所述，線段的長(zhǎng)為2或．
三、解答題
16．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)．
【答案】解：（1）原式．
（2）原式
．
17．【考點(diǎn)】頻數(shù)分布表，中位數(shù)，樣本估計(jì)總體
【答案】解：（1）12，76.5．
（2）不正確．理由：因?yàn)榧椎某煽?jī)78分高于中位數(shù)76.5分，所以甲的成績(jī)不可能低于一半學(xué)生的成績(jī)．
（3）（名）．
答：估計(jì)全校學(xué)生測(cè)試成績(jī)不合格的人數(shù)為270．
建議：學(xué)校多開(kāi)展“防溺水安全教育”專題活動(dòng)，提高學(xué)生的安全防范意識(shí)和自護(hù)自救技能．（答案不唯一，合理即可）
18．【考點(diǎn)】解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用．
【答案】解：延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如解圖所示，則．
由題意，可知．
在中，，
．
．
在中，，
．
．
答：玲瓏塔的高度約為．
19．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【答案】解：（1）將點(diǎn)代入中，得．
反比例函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）將代入反比例函數(shù)中，得．
將代入函數(shù)中，得，解得．
根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，直線均在反比例函數(shù)的圖象上方．
結(jié)合圖象，可得．
20．【考點(diǎn)】二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．
【答案】解：（1）設(shè)甲種景觀樹(shù)每棵的售價(jià)是元，乙種景觀樹(shù)每棵的售價(jià)是元．
根據(jù)題意，得解得
答：甲種景觀樹(shù)每棵的售價(jià)是36元，乙種景觀樹(shù)每棵的售價(jià)是48元．
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種景觀樹(shù)棵，則購(gòu)進(jìn)乙種景觀樹(shù)棵．
由題意，得，解得．
設(shè)購(gòu)進(jìn)這批景觀樹(shù)的費(fèi)用為元．
則．
，
隨的增大而減?。?br>當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．
此時(shí)．
答：購(gòu)進(jìn)甲種景觀樹(shù)300棵、乙種景觀樹(shù)150棵時(shí)花費(fèi)最低，最低費(fèi)用為18000元．
21．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
【答案】解：（1）將點(diǎn)分別代入二次函數(shù)中，
得解得
二次函數(shù)的表達(dá)式為．
，
拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（2）令，解得或．
拋物線開(kāi)口向上，
在對(duì)稱軸左側(cè)，隨的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，隨的增大而增大．
當(dāng)時(shí)，的最小值為，而頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
或．
的值為或3．
22．【考點(diǎn)】尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，圓周角定理及其推論，等邊三角形的判定與性質(zhì)．
【答案】解：（1）如解圖所示，點(diǎn)即為所求．
（2）如解圖所示．是的切線，
．
．
，
．
．
．
又．
，即是等邊三角形．
．
是的直徑
．
．
答：機(jī)動(dòng)車(chē)輪胎直徑的長(zhǎng)為．
23．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)
【答案】解：（1）ASA（或“兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等）；①②③．
【提示】由，可知，
猜想①、猜想②正確．，．．點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積不變．猜想③正確．
（2）①．
理由如下：四邊形是矩形，
．
，
．
，
，即．
．
，
．
又，
．
．
．
．
②改變．
【提示】由（2），可知，且相似比為，．．點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積改變．
（3）2或．
【提示】分兩種情況討論．①當(dāng)四邊形關(guān)于所在直線對(duì)稱時(shí)，如解圖1所示，此時(shí)．易得．．易得．②當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，如解圖2所示，此時(shí)．綜上所述，線段的長(zhǎng)為2或．
測(cè)試項(xiàng)目
創(chuàng)新能力
專業(yè)知識(shí)
語(yǔ)言表達(dá)
測(cè)試成績(jī)（分）
70
80
92
科學(xué)家如何測(cè)算巖石的年齡
你知道科學(xué)家如何測(cè)算巖石的年齡嗎？解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)也用到函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)工具．
1903年，英國(guó)物理學(xué)家盧瑟福通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)，放射性物質(zhì)放出射線后，這種物質(zhì)的質(zhì)量將減少，減少的速度開(kāi)始較快，后來(lái)較慢．物質(zhì)所剩的質(zhì)量與時(shí)間成某種函數(shù)關(guān)系．圖1為表示鐳的放射規(guī)律的函數(shù)圖象．
成績(jī)x（分）
等次
頻數(shù)
頻率
不合格
3
0.05
6
0.10
合格
15
0.25
良好
9
0.15
優(yōu)秀
15
0.25
a
0.20

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