專項素養(yǎng)綜合全練(二) 平行線中的拐點(diǎn)問題 類型一　只有一個拐點(diǎn) 1.(2023河北石家莊四十二中測評)如圖,已知直線l1∥l2,一個含30°角的直角三角板按如圖所示的位置放置,若∠2=35°,則∠1=(　　) A.25°　　　　B.35°　　　　C.40°　　　　D.45° 2.(2023河北邯鄲叢臺人和中學(xué)月考)如圖,已知直線AB∥CD,AE⊥CE于點(diǎn)E.若∠EAB=140°,則∠ECD的度數(shù)是(　　) A.120°　　　　B.130°　　　　C.150°　　　　D.160° 3.(2022河北邢臺五中月考)如圖,若AB∥CD,則∠α,∠β,∠γ之間的關(guān)系是(　　) A.∠α+∠β+∠γ=180° B.∠α+∠β-∠γ=360° C.∠α-∠β+∠γ=180° D.∠α+∠β-∠γ=180° 4.(2023河北唐山豐南月考)如圖,已知AB∥CD,點(diǎn)M在直線AB,CD之間,連接MB,MD. (1)若∠B=25°,∠D=40°,則∠BMD=　　　;? (2)若∠B=α,∠D=β,則∠BMD=　　　　(用含α,β的式子表示).? 5.閱讀下列解題過程: 如圖1,已知AB∥CD,∠B=38°,∠D=35°,求∠BED的度數(shù). 解:過E作EF∥AB,則CD∥EF(平行于同一直線的兩直線平行), 因為AB∥EF,所以∠1=∠B=38°, 因為CD∥EF,所以∠2=∠D=35°, 所以∠BED=∠1+∠2=38°+35°=73°(等量代換). 解答下列問題: 圖2和圖3是明明設(shè)計的智力拼圖玩具的一部分,現(xiàn)在明明遇到兩個問題,請你幫他解決: (1)∠D=29°,∠ACD=66°,為了保證AB∥DE,則∠A=　　　　;? (2)∠G+∠F+∠H=　　　　時,GP∥HQ,并說明理由.? 類型二　有兩個拐點(diǎn) 6.(2023河北石家莊十四中期中)如圖,直線l1∥l2,∠α=∠β,若∠1=40°,則∠2=　　　　.? 7.如圖所示,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.試說明AB∥EF. 8.【豬蹄模型】閱讀小明同學(xué)在學(xué)習(xí)平行線這部分內(nèi)容時的一段筆記,然后解決問題. 小明:老師說在解決有關(guān)平行線的問題時,如果無法直接得到角的關(guān)系,就需要借助輔助線來幫助解答,今天老師介紹了一個模型——“豬蹄模型”. 已知:如圖1,AB∥CD,E為AB,CD之間一點(diǎn),連接AE,CE,得到∠AEC; 求證:∠AEC=∠A+∠C. 圖1 證明:過點(diǎn)E作EF∥AB,如圖1, 則∠1=∠A. ∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,∴∠2=∠C. ∵∠AEC=∠1+∠2,∴∠AEC=∠A+∠C. 請你利用“豬蹄模型”得到的結(jié)論或解題方法,回答下面的兩個問題. (1)如圖2,若AB∥CD,∠E=60°,則∠B+∠C+∠F=　　　　;? (2)如圖3,若AB∥CD,BE平分∠ABG,CF平分∠DCG,∠G=∠H+27°, E,B,H三點(diǎn)共線,F,C,H三點(diǎn)共線,則∠H的度數(shù)是多少? 圖2 圖3 答案全解全析 1.A　如圖,過點(diǎn)C作CM∥l1, 則∠2=∠ACM=35°, ∵l1∥l2,∴CM∥l1∥l2, ∴∠1=∠BCM, ∵∠MCB=∠ACB-∠ACM=60°-35°=25°, ∴∠1=25°.故選A. 2.B　如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB, ∵AB∥CD,∴EF∥CD. ∵EF∥AB, ∴∠EAB+∠AEF=180°. ∵∠EAB=140°,∴∠AEF=40°. ∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°, ∵∠AEF+∠CEF=∠AEC, ∴∠CEF=90°-40°=50°. ∵EF∥CD, ∴∠CEF+∠ECD=180°, ∴∠ECD=180°-50°=130°.故選B. 3.D　如圖,過點(diǎn)E作EF∥AB, ∵AB∥CD, ∴EF∥CD, ∵EF∥AB, ∴∠α+∠AEF=180°, ∵EF∥CD, ∴∠γ=∠DEF, ∵∠AEF+∠DEF=∠β, ∴∠α+∠β=180°+∠γ, ∴∠α+∠β-∠γ=180°.故選D. 4.(1)65°　(2)α+β 解析　(1)如圖,過點(diǎn)M作MN∥AB, ∵AB∥CD, ∴MN∥AB∥CD, ∴∠BMN=∠B,∠DMN=∠D, ∴∠BMD=∠BMN+∠DMN=∠B+∠D=25°+40°=65°. (2)已知∠B=α,∠D=β, 同(1)可得∠BMD=∠B+∠D=α+β. 5.解析　(1)37°. (2)∠G+∠F+∠H=360°時,GP∥HQ. 理由:如圖,過F作FE∥GP, ∴∠1+∠G=180°, ∵∠G+∠GFH+∠H=360°, ∴∠2+∠H=180°, ∴FE∥HQ,∴GP∥HQ. 6.140° 解析　如圖,延長AE交直線l2于點(diǎn)B, ∵l1∥l2, ∴∠3=∠1=40°, ∵∠α=∠β,∴AB∥CD, ∴∠2+∠3=180°, ∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°. 7.解析　如圖,在∠BCD的內(nèi)部作∠BCM=25°, 在∠CDE的內(nèi)部作∠EDN=10°. 因為∠B=25°,∠E=10°, 所以∠B=∠BCM,∠E=∠EDN, 所以AB∥CM,EF∥ND. 又因為∠BCD=45°,∠CDE=30°, 所以∠DCM=20°,∠CDN=20°, 所以∠DCM=∠CDN. 所以CM∥ND,所以AB∥EF. 8.解析　(1)分別過點(diǎn)E,F作EM∥AB,FN∥CD,如圖所示: ∵AB∥CD,∴AB∥EM∥FN∥CD, ∴∠1=∠B,∠2=∠3,∠4+∠C=180°, 又∵∠BEF=∠1+∠2=60°,∠EFC=∠3+∠4, ∴∠B+∠C+∠EFC=∠1+∠C+∠3+∠4=(∠1+∠2)+(∠4+∠C) =60°+180°=240°.故答案為240°. (2)分別過點(diǎn)G,H作JI∥AB,MN∥AB,如圖所示: ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥MN∥JI. ∵BE平分∠ABG,CF平分∠DCG, ∴∠ABG=2∠1,∠DCG=2∠4, ∵JI∥AB,∴2∠1+∠7=180°, ∵JI∥CD,∴2∠4+∠8=180°, ∴∠7+∠8=360°-2(∠1+∠4), 又∵∠7+∠8+∠BGC=180°, ∴2(∠1+∠4)=∠BGC+180°, ∵M(jìn)N∥AB,∴∠1=∠5, ∵M(jìn)N∥CD,∴∠4=∠6, ∴2(∠5+∠6)=2(∠1+∠4)=∠BGC+180°, 又∵∠5+∠6+∠BHC=180°, ∴∠BGC+2∠BHC=180°, ∵∠BGC=∠BHC+27°, ∴3∠BHC+27°=180°, ∴∠BHC=51°.

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