注意：本試卷分為試題卷和答題卡兩部分。三個大題，考試時間100分鐘，滿分120分。考生應(yīng)首先閱讀試卷上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試卷上作答無效。
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的.
1.在，，1.23，0這四個數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（ ）
A.B.D.0
2.如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小正方體組成的，從左面觀察該幾何體，看到的形狀圖為（ ）
A. B. C. D.
3.據(jù)某市政府公布的工作報告顯示，2023年該市全年接待游客1816萬人次，實現(xiàn)旅游綜合收入99.44億元.連續(xù)三年上榜中國縣域旅游發(fā)展?jié)摿Π購娍h市.用科學(xué)記數(shù)法表示“99.44億”正確的是（ ）
A.B.C.D.億
4.一把直尺和一個含角的直角三角板按如圖方式疊合在一起（三角板的直角頂點在直尺的邊上），若，則的度數(shù)是（ ）
A.B.C.D.
5.化簡的結(jié)果為（ ）
A.1B.C.2D.
6.如圖，為的直徑，、為上的點，，若，則的度數(shù)為（ ）
A.B.C.D.
7.下列關(guān)于方程的結(jié)論正確的是（ ）
A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根
C.有一個實數(shù)根D.無實數(shù)根
8.如圖，菱形的對角線、相交于點，過點作于點，連接.若，菱形的面積為54，則的長為（ ）
A.4B.4.5C.5D.5.5
9.拋物線的部分圖象如圖所示，與軸的一個交點坐標(biāo)為，拋物線的對稱軸是直線.下列結(jié)論：
①；②；③；④方程有兩個不相等的實數(shù)根；⑤若點在該拋物線上，則.其中正確的個數(shù)有（ ）
A.2個B.3個C.4個D.5個
10.如圖①，在中，，動點從點出發(fā)，沿折線勻速運動一周.若點的運動速度為，設(shè)點的運動時間為，的長度為，與的函數(shù)圖象如圖②所示.當(dāng)恰好是的一條三等分線時，的值為（ ）
圖① 圖②
A.或5B.或6C.或5D.或6
二、填空題（每小題3分，共15分）
11.某輪船順?biāo)叫?，已知輪船在靜水中的速度是，水流速度是，輪船共航行________km.
12.已知也互為相反數(shù)，并且，則的值為________.
13.在三張大小、質(zhì)地均相同的卡片上各寫一個數(shù)字，分別為1、6、6，現(xiàn)將三張卡片放入一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意摸出一張，記下數(shù)字后放回，攪勻后再任意摸出一張，記下數(shù)字，則兩次摸到不同數(shù)字的概率是________.
14.在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點為格點，已知的三個頂點均在格點上，且，點為上一點，以點為圓心，的長為半徑作圓與邊相切于點，已知為該圓的一部分.則圖中由線段，及所圍成的陰影部分的面積為________.
15.如圖，中，，，，點，分別為，上一個動點，將沿折疊得到，點的對應(yīng)點是點，若點始終在邊上，當(dāng)與相似時，的長為________.
三、解答題（本大題共8個小題，共75分）
16.（1）（5分）計算：.
（2）（5分）化簡：
17.（9分）為積極創(chuàng)建“全市兒童青少年近視防控示范學(xué)?！?，培養(yǎng)學(xué)生良好的用眼習(xí)慣，某校本學(xué)期開展了正確用眼知識競賽，從中隨機抽取20份學(xué)生答卷，并統(tǒng)計成績（成績得分用表示，單位：分），收集數(shù)據(jù)如下：
86 82 90 99 98 96 90 100 89 83 87 88 81 90 93 100 96 100 92 100
整理數(shù)據(jù)：
分析數(shù)據(jù)：
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）直接寫出上述表格中，，的值；
（2）該校有2700名學(xué)生參加了知識競賽，請估計成績不低于90分的人數(shù)；
（3）請從中位數(shù)、眾數(shù)中選擇一個量，結(jié)合本題解釋它的意義.
18.（9分）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點.
（1）求這兩個函數(shù)的解析式；
（2）點為軸上一個動點，請你利用尺規(guī)作圖，過圖中所標(biāo)的點作垂直于軸的直線，分別交反比例函數(shù)及一次函數(shù)的圖象于，兩點，當(dāng)點位于點右方時，請直接寫出的取值范圍.
19.（9分）日晷儀也稱日晷，是觀測日影計時的儀器.它是根據(jù)日影的位置，指定當(dāng)時的時辰或刻數(shù)，是我國古代較為普遍使用的計時儀器.小東為了探究日晷的奧秘，在不同時刻對日晷進行了觀察.如圖，日晷的平面是以點為圓心的圓，線段是日晷的底座，點為日晷與底座的接觸點（即與相切于點）.點在上，為某一時刻晷針的影長，的延長線與交于點，與交于點，連接，，，，.
（1）求證：；
（2）求的長.
20.（9分）如圖1，2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，于點，底座米，底座與支架所成的角.，點在支架上，籃板底部支架..于點，已知米，米，米.
（1）求籃板底部支架與支架所成的的底數(shù).
（2）求籃板底部點到地面的距離，（精確到0.01米）（參考數(shù)據(jù)：，）
21.（9分）某超市分兩次購進、兩種商品進行銷售，兩次購進同一種商品的進價相同，具體情況如表所示：
（1）求、兩種商品每件的進價分別是多少元？
（2）商場決定商品以每件45元出售，商品以每件75元出售.為滿足市場商求，需購進、兩種商品共1000件，且商品的數(shù)量不少于種商品數(shù)量的4倍，請你求出獲利最大的進貨方案，并計算最大利潤.
22.（10分）2022年北京冬奧會的召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情.如圖是某跳臺滑雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過跳臺終點作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，圖中的拋物線：近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點正上方4米處的點滑出，滑出后沿一段拋物線：運動.
（1）當(dāng)運動員運動到離處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？
（3）當(dāng)運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求的取值范圍.
23.（10分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組用尺規(guī)作圖“作一條線段的三等分點”的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).
圖一 圖二
如圖一，①分別以點，為圓心，大于的長為半徑在兩側(cè)畫弧，分別交于點，點.
②連接，，，作射線.
③以為圓心，的長為半徑畫弧，交射線于點；
④連接，分別交，于點，點，則點為的三等分點（即）.
任務(wù)：
（1）填空：四邊形的形狀是________，你的依據(jù)是________；
（2）在證明點為的三等分點時，同學(xué)們有不同的思路.
小明：我是先證明，再通過證明得到結(jié)論的；
小亮：我是通過證明一次三角形相似得到結(jié)論的：
小穎：我是通過作輔助線……
請你選擇一種自己喜歡的思路給出證明過程；
如圖二，若，，將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點的對應(yīng)點落在直線上時，請直接寫出的長.
數(shù)學(xué)參考答案
一、選擇題（共10小題）
1.B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B
二、填空題（共5小題）
11. 12.1 13.解：
14. 15.或
三、解答題（共8小題）
16.（1）（5分）.（5）（5分）
17.解：（1），，；
（2）估計成績不低于9（0分）的人數(shù)是1755人；
（3）中位數(shù)：在統(tǒng)計的問卷的成績中，最中間的兩個分數(shù)的平均數(shù)是9（1分），眾數(shù)：在統(tǒng)計的問卷的成績中，得100分的人數(shù)最多.
18.解：（1）∵點在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為：.
∵點在圖象上，
∴，.
∵點，在一次函數(shù)的圖象上，
∴，解得，
∴一次函數(shù)解析式為：.
（2）尺規(guī)作圖
或.
19.（9分）（1）證明：連接，
∵與相切于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（）.
20.解：（1）在中，，
∴.
答：籃板底部支架與支架所成的角的度數(shù)為；
（2）延長交的延長線于，過點作于，過點作于，則四邊形和四邊形是矩形，
∴，，
在中，∵，
∴（米），
∴（米），
在中，，
∴（米），
∴（米）.
答：籃板底部點到地面的距離大約是2.75米.
21.解：（1）設(shè)種商品的進價是元/件，種商品的進價是元/件，
根據(jù)題意得：，
解得：.
答：種商品的進價是30元/件，種商品的進價是50元/件；
（2）設(shè)購進件種商品，則購進件種商品，
根據(jù)題意得：，
解得：，
設(shè)購進的兩種商品全部售出后獲得的總利潤為元，則，
即，
∵，
∴隨的增大而減小，
∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為，此時（件）.
答：獲利最大的進貨方案為：購進800件種商品，200件種商品，最大利潤為17000元.
22.解：（1）由題意可知拋物線：過點和，將其代入得：，解得：，
∴拋物線的函數(shù)解析式為：；
（2）設(shè)運動員運動的水平距離為米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得：
，
整理得：，
解得：，（舍去），
故運動員運動的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米；
（3）：，
當(dāng)時，運動員到達坡頂，
即，
解得：.
23.解：（1）由作法可知：，
∴四邊形是菱形.
故答案為：菱形；四邊形相等的四邊形是菱形.
（2）選小明的思路證明如下：
由作圖可知：，
∴四邊形是菱形，
∴，，
∴，.
∴.
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即.
選小穎的思路證明如下：
由作圖可知：，
∴四邊形是菱形，，
∴.
∴，
∴，
∴，即.
（3）當(dāng)點在線段上時，如圖，連接交于點，作于點，
則，
∵四邊形是菱形，，
∴，垂直平分，
∴，
∵，
∴等邊三角形，
∴，
∴，
由（2）中小明的證明思路，可知，
∴垂直平分.
∴，，
∴，
∵，
在，.
∴，
在中，，
∴，，
∴，
在中，，
，
解得：，
∵，，
∴，
∴；
當(dāng)點在射線的延長線上時，如圖，連接交于點，作的延長線于點，
同理可得：，，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∵，
∴.
綜上，.
3
4
8
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
92
購進數(shù)量（件）
購進所需費用（元）
第一次
30
40
2900
第二次
40
30
2700

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