圓的確定三角形的外接圓反證法
方法點撥判斷不在同一直線上的任意四點是否共圓的方法：先作出經(jīng)過不在同一直線上的三點的圓，若第四個點到圓心的距離等于半徑，則第四個點在圓上，否則第四個點不在圓上.
2. 確定一個圓的條件(1)已知圓心、半徑，可以確定一個圓.(2)不在同一直線上的三個點確定一個圓.
“確定”是“有且只有”的意思.
[中考·江西] 如圖24.2-38，點A，B，C，D 均在直線l 上，點P 在直線l 外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為( ) A. 3 個 B. 4 個 C. 5 個 D. 6 個
解題秘方：根據(jù)不共線的三點確定一個圓可得，過直線上任意2 個點與點P 可以畫出一個圓．
特別提醒確定一個圓要具備兩個關鍵點：1. 已知三個點，若已知兩個點或一個點，都無法確定圓；2. 三個點不在同一直線上.
解：依題意得分別過A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P 都可以畫出一個圓，所以最多可畫出圓的個數(shù)為6 個.
1. 三角形的外接圓 經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.“接”是指三角形的三個頂點都在圓上.
特別提醒任意一個三角形都有且只有一個外接圓，但一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形.
2. 三角形的外心(1)定義：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，叫做這個三角形的外心.(2)性質(zhì)：三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等，且等于其外接圓的半徑.
特別提醒三角形外心的位置：銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部.
3. 三角形外接圓的作法(1)作三角形任意兩邊的垂直平分線，確定其交點；(2)以該交點為圓心，以交點到三個頂點中任意一頂點的距離為半徑作圓即可.
巧記提醒求三角形的外接圓半徑的方法：求三角形的外接圓半徑時，最常用的方法是作出圓心與三角形頂點的連線( 即半徑)，或延長使這條半徑變?yōu)橹睆?，將求半徑轉(zhuǎn)化為直角三角形中求邊的長.
(1)尺規(guī)作圖：作△ ABC 的外接圓(只需作出圖形，并保留作圖痕跡)；
解：如圖24.2-40，⊙ P 即為所求作的圓.
(2)求△ ABC 的外接圓半徑.
1. 反證法 先假設命題結(jié)論不成立，然后經(jīng)過推理，得出矛盾的結(jié)果，最后斷言結(jié)論一定成立，這樣的證明方法叫做反證法.
2. 反證法證明的步驟(1)反設：假設命題的結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立；(2)推理：從(1)中的“反設”出發(fā)，逐步推理直至出現(xiàn)與已知條件、定義、基本事實、定理等中任一個相矛盾的結(jié)果；(3)結(jié)論：由矛盾的結(jié)果判定(1)中的“反設”不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立.
技巧提醒反證法主要解決不易直接證明或不能直接證明的命題，主要適用于：1. 結(jié)論是否定形式的命題；2. 結(jié)論是無限形式的命題；3. 結(jié)論是“至多”或“至少”形式的命題.
已知：在△ ABC 中，AB=AC.求證：∠ B，∠ C 一定是銳角.
解題秘方：抓住“銳角”的反面有“直角”“鈍角”進行假設.
特別提醒在運用反證法時假設必須合理、全面，要注意命題結(jié)論的“反面”是一種情況還是多種情況. 當原結(jié)論的反面不止一種情況時，需要考慮結(jié)論的反面的所有情況，并一一否定，從而得出原命題成立.
證明：∵ AB=AC，∴∠ B= ∠ C.假設∠ B，∠ C 不是銳角，則∠ B，∠ C 是直角或鈍角.(1)若∠ B，∠ C 是直角，即∠ B= ∠ C=90°，則∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180°.這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，∴∠ B，∠ C 不是直角.
(2)若∠ B，∠ C 是鈍角，即∠ B= ∠ C>90°，則∠ A+ ∠ B+ ∠ C>180°.這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，∴∠ B，∠ C 不是鈍角.綜上所述，∠ B，∠ C 一定是銳角.

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24.2.4 圓的確定

版本： 滬科版

年級： 九年級下冊

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