阿靜不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是(　　)A．①　　B．②　　C．③　　D．無法確定
[2023·江西]如圖，點A，B，C，D均在直線l上，點P在直線l外，則經過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數為(　　)A．3個 B．4個 C．5個 D．6個
根據經過不在同一直線上的三點確定一個圓，可知從A，B，C，D四個點中任取兩個點，可以與點P確定一個圓，所以最多可畫出圓的個數為6個．故選D.
已知線段AB＝6 cm，則過A，B兩點的最小圓的半徑為________cm，過A，B兩點________(填“有”或“無”)最大圓．
過A，B兩點的最小圓是以線段AB的長為直徑的圓，則過A，B兩點的最小圓的半徑為3 cm；過A，B兩點的圓有無數個，但過A，B兩點無最大圓．
如圖，AC，BE是⊙O的直徑，弦AD與BE交于點F，下列三角形中，外心不是點O的是(　　)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
如圖，在正三角形網格中，△ABC的頂點都在格點上，N為網絡線的交點，點P，Q，M是邊AB與網格線的交點，則△ABC的外心是(　　)A．點P B．點Q C．點M D．點N
由題意可知，∠BCN＝60°，∠ACN＝30°，∴∠ACB＝∠ACN＋∠BCN＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的外心是斜邊AB的中點．由題意知點Q是AB的中點，∴△ABC的外心是點Q.故選B.
下列說法正確的個數是(　　)①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等．A．1 B．2 C．3 D．4
①③正確．任何圓都有無數個內接三角形，所以②錯誤；三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，所以④錯誤．故選B.
[2023·包頭]如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.垂足分別為點D，E，F，連接DE，EF，FD.若DE＋DF＝6.5，△ABC的周長為21，則EF的長為(　　)A．8 B．4 C．3.5 D．3
用反證法證明時，假設結論“點在圓外”不成立，那么點與圓的位置關系只能是(　　)A．點在圓內 B．點在圓上C．點在圓心上 D．點在圓上或圓內
用反證法證明命題“若⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，且d＞r，則點P在⊙O的外部”，應先假設(　　)A．d≤rB．點P在⊙O外C．點P在⊙O上D．點P在⊙O上或點P在⊙O內
由題意可得，存在兩種情況．當△ABC為鈍角三角形時，如圖①.∵點O是等腰三角形ABC的外心，∴OB＝OC.又∵∠BOC＝60°，∴△OBC為等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝2.連接OA，交BC于點D.
當△ABC為銳角三角形時，如圖②.∵點O是等腰三角形ABC的外心，∴OB＝OC.又∵∠BOC＝60°.∴△OBC為等邊三角形．∴OB＝OC＝BC＝2.連接AO，并延長交BC于點D.
已知線段AB和直線l，過A，B兩點作圓，并使圓心在l上．
【分析】按要求逐一畫出圖形，把握住問題的實質：過A，B兩點的圓的圓心應在線段AB的垂直平分線上，因此，線段AB的垂直平分線與l的交點即為圓心，而該點與點A(或B)的距離就是半徑．
通過動手操作實踐，在探索中加深對確定圓的條件的理解，并體驗學數學的樂趣．解答本題的關鍵在于分析線段AB的垂直平分線與直線l的位置關系，從而確定它們的公共點，即符合條件的圓的圓心位置．
(1)當l∥AB時，可作幾個這樣的圓？
【解】如圖①所示，當l∥AB時，可作一個這樣的圓．
(2)當l與AB斜交時，可作幾個這樣的圓？
【解】如圖②所示，當l與AB斜交時，可作一個這樣的圓．
(3)當l垂直于AB且不過AB的中點時，可作幾個這樣的圓？
【解】如圖③所示，當l垂直于AB且不過AB的中點時，不能作圓．
(4)當l是線段AB的垂直平分線時，可作幾個這樣的圓？
【解】如圖④所示，當l是線段AB的垂直平分線時，可作無數個這樣的圓．
證明：在同一個圓中，如果兩條弦不相等，那么它們的弦心距(圓心到弦的距離)也不相等．
【證明】假設結論不成立，即在同一個圓中，如果兩條弦不相等，那么它們的弦心距可能相等．如圖，設圓心為O，AB≠CD，OM⊥AB，ON⊥CD，連接OA，OC.
又∵AB≠CD，∴OM≠ON.與假設矛盾，∴假設不成立．故在同一個圓中，如果兩條弦不相等，那么它們的弦心距(圓心到弦的距離)也不相等．
我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如：線段AB的最小覆蓋圓就是以線段AB為直徑的圓．
(1)分別作出下圖中兩個三角形的最小覆蓋圓．(要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)
【解】兩個三角形的最小覆蓋圓如圖所示．
(2)探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律，請寫出你所得到的結論．(不要求證明)
【解】銳角三角形和直角三角形的最小覆蓋圓是其外接圓，鈍角三角形的最小覆蓋圓是以其最長邊為直徑的圓．
如圖，點O在直線l上，過點O作AO⊥l，AO＝3，P為直線l上一點，連接AP，在直線l右側取點B，使得∠APB＝90°，且PA＝PB，過點B作BC⊥l于點C.
(1)求證：△AOP≌△PCB；
【證明】∵∠APB＝90°，∴∠APC＋∠BPC＝90°.∵AO⊥l，BC⊥l，∴∠AOP＝∠BCP＝90°.∴∠OAP＋∠APC＝90°.∴∠OAP＝∠BPC.
(2)若CO＝2，求BC的長；
【解】∵△AOP≌△PCB，∴AO＝PC＝3，OP＝BC.∴BC＝OP＝CO＋PC＝2＋3＝5.∴BC的長為5.
(3)連接AB，若點C為△ABP的外心，則OP＝________.
若點C為△ABP的外心，則點C位于斜邊中點，又已知BC⊥l，故點C與點O重合，如圖所示．?∵∠APB＝90°，PA＝PB，∴△APB為等腰直角三角形．∴∠A＝∠B＝45°.∵AO⊥l，∴△AOP為等腰直角三角形．∴OP＝AO.∵AO＝3，∴OP＝3.
某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為了更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)請利用直尺和圓規(guī)補全這個輸水管的圓形截面；
【解】在劣弧AB上任取一點M(不與點A，B重合)，連接AM，分別作線段AM與線段AB的垂直平分線交于點O，以點O為圓心，OB為半徑作⊙O，即為所求．圖略．
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝16 cm，最深處水面的高度為4 cm，求這個管道圓形截面的半徑．

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24.2.4 圓的確定

版本： 滬科版

年級： 九年級下冊

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