考點(diǎn)一　等腰三角形1.等腰三角形的有關(guān)概念及分類(lèi)有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”);(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱為“三線合一”);(3)等腰三角形是軸對(duì)稱圖形,它有一條對(duì)稱軸.
3.等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”).
考點(diǎn)二　等邊三角形的性質(zhì)與判定1.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等,且都等于60°;(2)等邊三角形的三條邊都相等,等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,它有三條對(duì)稱軸.2.等邊三角形的判定(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形;(2)三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
考點(diǎn)三　線段的垂直平分線1.概念:經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫做中垂線.2.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.3.判定:到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上,線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合.
考點(diǎn)四　角平分線的性質(zhì)及判定1.性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合.3.三角形角平分線的性質(zhì):三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.
1.已知一個(gè)等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和8,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為(　　)A.11B.14C.19D.14或19答案:C
2.如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接BE,則∠CBE等于(　　)A.80°B.70°C.60°D.50°
3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AD=5,AC=4,則點(diǎn)D到AB的距離是　　　　　.?
4.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),連接PB,PC,∠1=∠2,則∠BPC的度數(shù)是　　　　　.?
【例1】 如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證:BF=2AE;(2)若CD= ,求AD的長(zhǎng).
(1)證明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠CBE.又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)解:∵△ADC≌△BDF,
【例2】 已知△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC,AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度數(shù).
分析:解決等邊三角形問(wèn)題時(shí),要充分利用等邊三角形三邊相等、三個(gè)角都等于60°的性質(zhì).全等是解決這類(lèi)問(wèn)題最常見(jiàn)的方法.
(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
變式訓(xùn)練如圖,已知在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D,在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E,使CE=CD.求證:BD=DE.
證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn),∴∠ABD=∠CBD=30°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.
【例3】 一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
(1)如圖①,將紙片沿CE對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)若將紙片沿直線l對(duì)折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)F處(如圖②),l與BF的交點(diǎn)為Q,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(3,2),求l的解析式.若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,2),你能確定l的解析式嗎?若能,求出其解析式;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)由對(duì)稱性可知,CD=CB,根據(jù)勾股定理求出OD,即可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)由垂直平分線的性質(zhì),點(diǎn)Q為BF的中點(diǎn).由垂直平分線的判定,可確定l上的另一點(diǎn).
解:(1)根據(jù)題意,知CD=CB=OA=5.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).(2)過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2)時(shí),如題圖,OM=3,MA=2,QM為△FAB的中位線,∴FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l為BF的中垂線,
∴點(diǎn)A在l上.∴l(xiāng)的解析式為y=-x+5.當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,2)時(shí),OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,∴CF=CB.∵l為BF的中垂線,∴點(diǎn)C在l上.∴l(xiāng)的解析式為y=- x+4.
【例4】 如圖,BE⊥AC于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F,BE,CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD,求證:(1)DF=DE;(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F,易得∠BFD=∠CED,先證△BDF與△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定條件“HL”,證明Rt△ADF與Rt△ADE全等,便可得證AD平分∠BAC.
證明:(1)∵CF⊥AB于點(diǎn)F,BE⊥AC于點(diǎn)E,∴∠BFD=∠CED=90°.又∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.(2)在Rt△ADF和Rt△ADE中,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.

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