考點(diǎn)一　等腰三角形1.等腰三角形的有關(guān)概念及分類有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”);(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”);(3)等腰三角形是軸對稱圖形,它有一條對稱軸.
3.等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).
考點(diǎn)二　等邊三角形的性質(zhì)與判定1.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都等于60°;(2)等邊三角形的三條邊都相等,等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸.2.等邊三角形的判定(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形;(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
考點(diǎn)三　線段的垂直平分線1.概念:經(jīng)過線段中點(diǎn),并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.2.性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等.3.判定:與線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上,線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合.
考點(diǎn)四　角平分線的性質(zhì)及判定1.性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.2.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點(diǎn)的集合.3.三角形角平分線的性質(zhì):三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),且這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等.
【例1】 如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點(diǎn)E,AD⊥BC于點(diǎn)D,∠BAD=45°,AD與BE交于點(diǎn)F,連接CF.(1)求證:BF=2AE;(2)若CD= ,求AD的長.
(1)證明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠CBE.又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)解:∵△ADC≌△BDF,
【例2】 已知△ABC為等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC,AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F.(1)求證:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度數(shù).
分析:解決等邊三角形問題時,要充分利用等邊三角形三邊相等、三個角都等于60°的性質(zhì).全等是解決這類問題最常見的方法.
(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
變式訓(xùn)練如圖,已知在等邊三角形ABC的AC邊上取中點(diǎn)D,在BC的延長線上取一點(diǎn)E,使CE=CD.求證:BD=DE.
證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn),∴∠ABD=∠CBD=30°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.
【例3】 一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
分析:(1)由對稱性可知,CD=CB,根據(jù)勾股定理求出OD,即可以求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)由線段的垂直平分線的性質(zhì),點(diǎn)Q為BF的中點(diǎn).由線段的垂直平分線的判定,可確定l上的另一點(diǎn).
(1)如圖①,將紙片沿CE對折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)D處,求點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)如圖②,若將紙片沿直線l對折,點(diǎn)B落在x軸上的點(diǎn)F處,l與BF的交點(diǎn)為Q,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(3,2),求直線l對應(yīng)函數(shù)的解析式.若點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(4,2),你能確定直線l對應(yīng)函數(shù)的解析式嗎?若能,求出其解析式;若不能,請說明理由.
解:(1)根據(jù)題意,知CD=CB=OA=5.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).(2)過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M.當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3,2)時,如題圖,OM=3,MA=2,QM為△FAB的中位線,∴FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l為線段BF的垂直平分線,∴點(diǎn)A在直線l上.∴直線l對應(yīng)函數(shù)的解析式為y=-x+5.
當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4,2)時,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,∴CF=CB.∵直線l為線段BF的垂直平分線,∴點(diǎn)C在直線l上.
【例4】 如圖,BE⊥AC于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F,BE,CF相交于點(diǎn)D,若BD=CD,求證:(1)DF=DE;(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于點(diǎn)E,CF⊥AB于點(diǎn)F,易得∠BFD=∠CED,先證△BDF與△CDE全等得到DF=DE,再由兩直角三角形全等的判定條件“HL”,證明Rt△ADF與Rt△ADE全等,便可得證AD平分∠BAC.
證明:(1)∵CF⊥AB于點(diǎn)F,BE⊥AC于點(diǎn)E,∴∠BFD=∠CED=90°.又∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.(2)在Rt△ADF和Rt△ADE中,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.

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