考點一　等腰三角形1.等腰三角形的有關(guān)概念及分類有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,三邊相等的三角形叫做等邊三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個底角相等(簡稱為“等邊對等角”);(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱為“三線合一”);(3)等腰三角形是軸對稱圖形,它有一條對稱軸.
3.等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡稱為“等角對等邊”).
考點二　等邊三角形的性質(zhì)與判定1.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個內(nèi)角相等,且都等于60°; (2)等邊三角形的三條邊都相等,等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸.2.等邊三角形的判定(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形;(2)三個角相等的三角形是等邊三角形;(3)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.
考點三　線段的垂直平分線1.概念:經(jīng)過線段中點,并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線,也叫做中垂線.2.性質(zhì):線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.3.判定:到一條線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上,線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端點距離相等的點的集合.
考點四　角平分線的性質(zhì)及判定1.性質(zhì):角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.2.判定:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上,角的平分線可以看作是到角兩邊距離相等的點的集合.3.三角形角平分線的性質(zhì):三角形的三條角平分線交于一點,且這一點到三角形三邊的距離相等.
1.已知一個等腰三角形的兩條邊長分別為3和8,則這個等腰三角形的周長為(　　)A.11B.14C.19D.14或19答案:C
2.如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.線段AB的垂直平分線交AB于點D,交AC于點E,連接BE,則∠CBE等于(　　)A.80°B.70°C.60°D.50°
3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AD=5,AC=4,則點D到AB的距離是　　　　　.?
4.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,點P是△ABC內(nèi)一點,連接PB,PC,∠1=∠2,則∠BPC的度數(shù)是　　　　　.?
【例1】 如圖,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于點E,AD⊥BC于點D,∠BAD=45°,AD與BE交于點F,連接CF.(1)求證:BF=2AE;(2)若CD= ,求AD的長.
(1)證明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠CBE.又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.
(2)解:∵△ADC≌△BDF,
【例2】 已知△ABC為等邊三角形,點D,E分別在BC,AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點F.(1)求證:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度數(shù).
分析:解決等邊三角形問題時,要充分利用等邊三角形三邊相等、三個角都等于60°的性質(zhì).全等是解決這類問題最常見的方法.
(1)證明:∵△ABC為等邊三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
變式訓練如圖,已知在等邊三角形ABC的AC邊上取中點D,在BC的延長線上取一點E,使CE=CD.求證:BD=DE.
證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵點D是AC邊上的中點,∴∠ABD=∠CBD=30°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.
【例3】 一張矩形紙片OABC平放在平面直角坐標系內(nèi),O為原點,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=5,OC=4.
(1)如圖①,將紙片沿CE對折,點B落在x軸上的點D處,求點D的坐標;(2)若將紙片沿直線l對折,點B落在x軸上的點F處(如圖②),l與BF的交點為Q,若點Q的坐標是(3,2),求l的解析式.若點Q的坐標是(4,2),你能確定l的解析式嗎?若能,求出其解析式;若不能,請說明理由.
分析:(1)由對稱性可知,CD=CB,根據(jù)勾股定理求出OD,即可以求得點D的坐標;(2)由垂直平分線的性質(zhì),點Q為BF的中點.由垂直平分線的判定,可確定l上的另一點.
解:(1)根據(jù)題意,知CD=CB=OA=5.
∴點D的坐標為(3,0).(2)過點Q作QM⊥x軸于點M.當點Q的坐標為(3,2)時,如題圖,OM=3,MA=2,QM為△FAB的中位線,∴FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l為BF的中垂線,
∴點A在l上.∴l(xiāng)的解析式為y=-x+5.當點Q的坐標為(4,2)時,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,∴CF=CB.∵l為BF的中垂線,∴點C在l上.∴l(xiāng)的解析式為y=- x+4.
【例4】 如圖,BE⊥AC于點E,CF⊥AB于點F,BE,CF相交于點D,若BD=CD,求證:(1)DF=DE;(2)AD平分∠BAC.
分析:由BE⊥AC于點E,CF⊥AB于點F,易得∠BFD=∠CED,先證△BDF與△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定條件“HL”,證明Rt△ADF與Rt△ADE全等,便可得證AD平分∠BAC.
證明:(1)∵CF⊥AB于點F,BE⊥AC于點E,∴∠BFD=∠CED=90°.又∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.(2)在Rt△ADF和Rt△ADE中,
∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.

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