考點二 簡諧運動的周期性與對稱性
考點三 簡諧運動的表達(dá)式和圖像的理解和應(yīng)用
考點四 單擺及其周期公式
考點五 受迫振動和共振
1．簡諧運動概念：質(zhì)點的位移與時間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)的規(guī)律，即它的振動圖像(x－t圖像)是一條正弦曲線，這樣的振動是簡諧運動。
2．分析簡諧運動問題緊抓住兩個模型——彈簧振子和單擺，結(jié)合兩種模型的振動情景分析求解．
考點一 簡諧運動物理量的分析
1.簡諧運動的物理量
1）位移：振動質(zhì)點在某一時刻的位移指的是質(zhì)點在該時刻相對平衡位置的位移．
2）回復(fù)力：F=-kx；回復(fù)力是使物體返回到平衡位置的力，回復(fù)力的方向時刻指向平衡位置。
3）振幅：振動質(zhì)點離開平衡位置的最大距離；振幅越大，簡諧運動能量越大。
4）周期：振動物體完成一次全振動所需要的時間。
5）頻率：振動物體完成全振動的次數(shù)與所用時間之比。
6）相位：物理學(xué)中把(ωt＋φ)叫作相位，它代表了做簡諧運動的物體此時正處于一個運動周期中的哪個狀態(tài)。
2.靠近平衡位置時，物體的a、F、x都減小，v增大；遠(yuǎn)離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
1.(2021·高考河北卷)如圖，一彈簧振子沿x軸做簡諧運動，振子零時刻向右經(jīng)過A點，2 s后第一次到達(dá)B點，已知振子經(jīng)過A、B兩點時的速度大小相等，2 s內(nèi)經(jīng)過的路程為0.4 m。該彈簧振子的周期為________s，振幅為________m。
【答案】 4 0.2
【解析】根據(jù)簡諧運動對稱性可知，振子零時刻向右經(jīng)過A點，2 s后第一次到達(dá)B點，已知振子經(jīng)過A、B兩點時的速度大小相等，則A、B兩點關(guān)于平衡位置對稱，而振動經(jīng)過了半個周期的運動，則周期為T＝2t＝4 s，從A到B經(jīng)過了半個周期的振動，路程為s＝0.4 m，而一個完整的周期路程為0.8 m，為4個振幅的路程，有4A＝0.8 m，解得振幅為A＝0.2 m。
2．把一個小球套在光滑細(xì)桿上，球與輕彈簧相連組成彈簧振子，小球沿桿在水平方向做簡諧運動，平衡位置為O，小球在A、B間振動，如圖所示．下列結(jié)論正確的是( )
A．小球在O位置時，動能最大，加速度最小
B．小球在A、B位置時，動能最大，加速度最大
C．小球從A經(jīng)O到B的過程中，回復(fù)力一直做正功
D．小球在O位置時系統(tǒng)的總能量大于小球在B位置時系統(tǒng)的總能量
【答案】A
【解析】小球在平衡位置時動能最大，加速度為零，A正確；小球在A、B位置時，動能最小，加速度最大，B錯誤；小球靠近平衡位置時，回復(fù)力做正功，遠(yuǎn)離平衡位置時，回復(fù)力做負(fù)功，C錯誤；在小球振動過程中系統(tǒng)的總能量不變，D錯誤．
3．(多選)如圖所示，物體A與滑塊B一起在光滑水平面上做簡諧運動，A、B之間無相對滑動，已知水平輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B的質(zhì)量分別為m和M，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g，則下列說法正確的是( )
A．物體A的回復(fù)力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的
B．滑塊B的回復(fù)力是由彈簧的彈力提供的
C．物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復(fù)力大小跟位移大小之比為k
D．若A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ，則A、B間無相對滑動的最大振幅為μ（M+m）gk
【答案】ACD
【解析】物體A做簡諧運動時，回復(fù)力是由滑塊B對物體A的摩擦力提供的，故A正確；滑塊B做簡諧運動的回復(fù)力是由彈簧的彈力和A對B的靜摩擦力的合力提供的，故B錯誤；物體A與滑塊B(整體看成一個振子)的回復(fù)力滿足F＝－kx，則回復(fù)力大小跟位移大小之比為k，故C正確；當(dāng)A、B之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時，其振幅最大，設(shè)為A，以整體為研究對象有：kA＝(M＋m)a，以物體A為研究對象，由牛頓第二定律得：μmg＝ma，聯(lián)立解得A＝μ（M+m）gk，故D正確．
考點二 簡諧運動的周期性與對稱性
1.周期性：做簡諧運動的物體的位移、回復(fù)力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為eq \f(T,2)
2.對稱性：(1)如圖所示，做簡諧運動的物體經(jīng)過關(guān)于平衡位置O對稱的兩點P、P′(OP＝OP′)時，速度的大小、動能、勢能相等，相對于平衡位置的位移大小相等
(2)物體由P到O所用的時間等于由O到P′所用時間，即tPO＝tOP′
(3)物體往復(fù)過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等，即tOP＝tPO
(4)從平衡位置和最大位移之外的任意一點開始計時，經(jīng)過半個周期，質(zhì)點一定運動到關(guān)于平衡位置的對稱點且運動方向相反.
3.對于周期性和對稱性問題可以通過畫運動過程示意圖來輔助分析，也可以利用振動圖象解決．
4．(多選)一振子沿x軸做簡諧運動，平衡位置在坐標(biāo)原點．t＝0時振子的位移為－0.1 m，t＝1 s時位移為0.1 m，則( )
A．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為eq \f(2,3) s
B．若振幅為0.1 m，振子的周期可能為eq \f(4,5) s
C．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為4 s
D．若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s
【答案】AD
【解析】若振幅為0.1 m， 則t＝eq \f(T,2)＋nT(n＝0,1,2，…)．
當(dāng)n＝0時，T＝2 s；n＝1時，T＝eq \f(2,3) s；n＝2時， T＝eq \f(2,5) s. 故選項A正確，選項B錯誤．
若振幅為0.2 m，振動分兩種情況討論：
①振子振動如圖甲所示，則振子由C點振動到D點用時至少為eq \f(T,2)，周期最大為2 s.
②振子振動如圖乙中實線所示．
由x＝Asin(ωt＋φ)知 t＝0時，－eq \f(A,2)＝Asin φ，φ＝－eq \f(π,6)，即振子由C點振動到O點用時至少為eq \f(T,12)，由簡諧運動的對稱性可知，振子由C點振動到D點用時至少為eq \f(T,6)，則T最大為6 s；若由C點振動到O點用時1eq \f(1,12)T，振子由C點振動到D點用時eq \f(7,6)T，則T為eq \f(6,7) s.
若振子振動如圖乙中虛線所示，振子由C點振動到D點用時至少為eq \f(T,2)，周期最大為2 s.
綜上所述，選項C錯誤，D正確．
5．一個質(zhì)點在平衡位置O點附近做簡諧運動，若從O點開始計時，經(jīng)過3 s質(zhì)點第一次經(jīng)過M點，如圖所示，再繼續(xù)運動，又經(jīng)過4 s第二次經(jīng)過M點，則再經(jīng)過多長時間第三次經(jīng)過M點( )
A．7 s B．14 s C．16 s D．103 s
【答案】C
【解析】由題意可知質(zhì)點第一次經(jīng)過M點的運動方向向右，簡諧運動的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，則第三次經(jīng)過M點的時間為t＝(20－4) s＝16 s，故C選項正確．
6．下列說法中正確的是( )
A．若t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，則t2－t1＝T
B．若t1、t2兩時刻振動物體在同一位置，且運動情況相同，則t2－t1＝T
C．若t1、t2兩時刻振動物體的振動反向，則t2－t1＝eq \f(T,2)
D．若t2－t1＝eq \f(T,2)，則在t1、t2時刻振動物體的振動反向
【答案】D
【解析】若t1、t2如圖甲所示，則t2－t1≠T，故A錯誤；
如圖乙所示，與t1時刻在同一位置且運動情況相同的時刻有t2、t2′…….故t2－t1＝nT(n＝1、2、3……)，故B錯誤；同理可判斷C錯誤，D正確．
7．如圖所示，質(zhì)量為m的物體放在彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡諧運動，當(dāng)振幅為A時，物體對彈簧的最大壓力是物重的1.5倍，則物體對彈簧的最小壓力是________．要使物體在振動中不離開彈簧，振幅不能超過________．(重力加速度為g)
【答案】 eq \f(1,2)mg 2A
【解析】解析 由簡諧運動的對稱性知：
物體在最低點時：
F回＝1.5mg－mg＝ma①
在最高點：
F回＝mg－FN＝ma②
由①②兩式聯(lián)立解得FN＝eq \f(1,2)mg.
由以上可以得出振幅為A時最大回復(fù)力為0.5mg，所以有kA＝0.5mg③
欲使物體在振動中不離開彈簧，則最大回復(fù)力可為mg，所以有kA′＝mg④
由③④兩式聯(lián)立解得A′＝2A.
考點三 簡諧運動的表達(dá)式和圖像的理解和應(yīng)用
1．簡諧運動的表達(dá)式
x＝Asin_(ωt＋φ0)，ωt＋φ0為相位，φ0為初相位，ω為圓頻率，ω＝eq \f(2π,T).
2．簡諧運動的振動圖像表示做簡諧運動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律，是一條正弦曲線．
甲：x＝Asin eq \f(2π,T)t
乙：x＝Asin (eq \f(2π,T)t＋eq \f(π,2))．
3.從圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0(如圖所示)．
(2)某時刻振動質(zhì)點離開平衡位置的位移．
(3)某時刻質(zhì)點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負(fù)分別表示各時刻質(zhì)點的速度大小和方向，速度的方向也可根據(jù)下一相鄰時刻質(zhì)點的位移的變化來確定．
(4)某時刻質(zhì)點的回復(fù)力方向：回復(fù)力總是指向平衡位置，回復(fù)力方向和位移方向相反．
(5)某段時間內(nèi)質(zhì)點的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況．
4．路程與振幅的關(guān)系
(1)振動物體在一個周期內(nèi)的路程為四個振幅．
(2)振動物體在半個周期內(nèi)的路程為兩個振幅．
(3)振動物體在eq \f(1,4)個周期內(nèi)的路程不一定等于一個振幅．
8.一質(zhì)點做簡諧運動，其位移x與時間t的關(guān)系圖像如圖所示，由圖可知( )
A．質(zhì)點振動的頻率是4 Hz，振幅是2 cm B．質(zhì)點經(jīng)過1 s通過的路程總是2 cm
C．0～3 s內(nèi)，質(zhì)點通過的路程為6 cm D．t＝3 s時，質(zhì)點的振幅為零
【答案】 C
【解析】由題圖可以直接看出振幅為2 cm，周期為4 s，所以頻率為0.25 Hz，故A錯誤；質(zhì)點在1 s即eq \f(1,4)個周期內(nèi)通過的路程不一定等于一個振幅，故B錯誤；t＝0時質(zhì)點在正向最大位移處，0～3 s為eq \f(3,4)T，則質(zhì)點通過的路程為3A＝6 cm，故C正確；振幅等于質(zhì)點偏離平衡位置的最大距離，與質(zhì)點的位移有本質(zhì)的區(qū)別，t＝3 s時，質(zhì)點的位移為零，但振幅仍為2 cm，故D錯誤．
9.(2022·北京西城區(qū)統(tǒng)測)用小球和輕彈簧組成彈簧振子，使其沿水平方向振動，振動圖像如圖所示，下列描述正確的是( )
A．1～2 s內(nèi)，小球的速度逐漸減小，加速度逐漸增大
B．2～3 s內(nèi)，彈簧的勢能逐漸減小，彈簧彈力逐漸增大
C．t ＝4 s時，小球的動能達(dá)到最大值，彈簧的勢能達(dá)到最小值
D．t ＝5 s時，彈簧彈力為正的最大值，小球的加速度為負(fù)的最大值
【答案】 C
【解析】由題圖可知，1～2 s內(nèi)小球的位移減小，說明彈性勢能轉(zhuǎn)化為動能即速度增大，由a＝－eq \f(kx,m)可知，加速度減小，故A錯誤；由題圖可知，2～3 s內(nèi)小球的位移增大，說明動能轉(zhuǎn)化為彈性勢能即彈性勢能增大，彈簧彈力逐漸增大，故B錯誤；由題圖可知，t＝4 s時，小球位于平衡位置，此時動能最大，由能量守恒定律可知，彈簧的勢能達(dá)到最小值，故C正確；t ＝5 s時，小球的位移正向最大，則彈簧彈力為負(fù)的最大值，小球的加速度為負(fù)的最大值，故D錯誤。
10．(多選)如圖所示，水平彈簧振子沿x軸在M、N間做簡諧運動，坐標(biāo)原點O為振子的平衡位置，其振動方程為x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm。下列說法正確的是( )
A．M、N間距離為5 cm
B．振子的運動周期是0.2 s
C．t＝0時，振子位于N點
D．t＝0.05 s時，振子具有最大加速度
【答案】 BC
【解析】M、N間距離為2A＝10 cm，A錯誤；因ω＝10π rad/s 可知振子的運動周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，B正確；由x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知，t＝0時x＝5 cm，即振子位于N點，C正確；由x＝5sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10πt＋\f(π,2))) cm可知，t＝0.05 s時x＝0，此時振子在O點，振子加速度為零，D錯誤。
11.(2021·高考廣東卷)如圖所示，一個輕質(zhì)彈簧下端掛一小球，小球靜止?，F(xiàn)將小球向下拉動距離A后由靜止釋放，并開始計時，小球在豎直方向做簡諧運動，周期為T。經(jīng)eq \f(T,8)時間，小球從最低點向上運動的距離________(選填“大于”“小于”或“等于”)eq \f(A,2)；在eq \f(T,4)時刻，小球的動能________(選填“最大”或“最小”)。
【答案】 小于 最大
【解析】根據(jù)簡諧振動的位移公式y(tǒng)＝－Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)t))
則t＝eq \f(T,8)時有y＝－Acseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)×\f(T,8)))＝－eq \f(\r(2),2)A，所以小球從最低點向上運動的距離為Δy＝A－eq \f(\r(2),2)A＝eq \f(2－\r(2),2)A

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