考點一 平拋運動
1.平拋運動的性質(zhì)：平拋運動是加速度為重力加速度g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
2.基本規(guī)律： (1)水平方向做勻速直線運動 (2)豎直方向做自由落體運動
3.速度改變量：由Δv＝g t，做平拋運動的物體在任意相等時間t內(nèi)的速度改變量相同，方向恒為豎直向下，如圖所示．
4.平拋運動有關計算的常用分析方法（如下圖）
(1)畫運動軌跡
(2)把速度分解到水平方向和豎直方向（標注v0，v，g t，α）
把位移分解到水平方向和豎直方向（標注v0t，eq \f(1,2)gt2，s，θ）
(3)根據(jù)分解列式（tanα＝eq \f(gt,v0) ， v＝eq \r(veq \\al(2,0)＋（gt）2)， tan θ＝eq \f(1,2)gt2/v0t ， h＝eq \f(1,2)gt2，x＝v0t，以及幾何關系等）
5.有的情況下可以同時分解初速度和重力加速度。
6.常見的平拋運動
(1)在半圓內(nèi)的平拋運動：h＝eq \f(1,2)gt2R±eq \r(R2－h(huán)2)＝v0t
(2)與斜面有關的平拋運動注意充分利用斜面的傾角
(3)速度沿某一特定方向

1．關于平拋運動，下列說法正確的是（ ）
A．平拋運動是勻速運動
B．平拋運動是加速度不斷變化的運動
C．平拋運動是勻變速曲線運動
D．做平拋運動的物體落地時速度方向一定是豎直向下的
【答案】C
【解析】
平拋運動是一種勻變速曲線運動，在豎直方向上做自由落體運動，速度變化量△v=at=gt．結合這些知識進行分析．
平拋運動的物體只受重力，加速度為g，保持不變，所以平拋運動是勻變速曲線運動，故C正確，AB錯誤．平拋運動在水平方向上是勻速直線運動，物體落地時有水平分速度，所以落地時的速度不可能豎直向下，故D錯誤．故選C．
2.（2022·全國·高三課時練習）對于做平拋運動的物體，下列說法中正確的是（ ）
A．物體落地時的水平位移與初速度無關
B．初速度越大，物體在空中運動的時間越長
C．物體落地時的水平位移與拋出點的高度及初速度有關
D．在相等的時間內(nèi)，物體速度的變化量不相同
【答案】C
【解析】
A B C．根據(jù)平拋運動在豎直方向上做自由落體運動，由位移時間公式得?=12gt2
解得運動時間為t=2?g
做平拋運動的時間是由物體所處的高度決定的，與初速度無關，根據(jù)運動學公式，可得物體落地時的水平位移x=v0t=v02?g
所以落地時的水平位移由初速度和所處高度決定，A、B錯誤，C正確；
D．由于做平拋運動的物體只受重力的作用，加速度為重力加速度g，根據(jù)公式Δv＝gΔt
可知在相等的時間內(nèi)，物體速度的變化量是相同的，故D錯誤。
3.（2022·天津和平·高一期末）微風習習，眼前是如鏡的湖面，有三位游客站在湖前扔小石子。圖為石子拋出的簡化圖，x軸在水平湖面上，y軸沿豎直方向。圖中畫出了沿水平方向拋出的三個小石子a、b、c的運動軌跡，其中b和c是從同一點拋出的，不計空氣阻力，石子均可看成質(zhì)點，則（ ）
A．三個石子中c的空中加速度最大B．三個石子中a的飛行時間最長
C．三個石子中a的初速度最大D．三個石子落至湖面瞬間a的速度偏角最大
【答案】C
【解析】
A．三個石子在空中均做平拋運動，則加速度相同，選項A錯誤；
B．根據(jù)平拋運動規(guī)律?=12gt2
可得t=2?g 可知，三個石子中a的飛行時間最短，選項B錯誤；
C．根據(jù)平拋運動規(guī)律v=xt可知，三個石子中a的初速度最大，選項C正確；
D．根據(jù)平拋運動規(guī)律tanθ=gtv0
三個石子落至湖面瞬間a的速度偏角最小，選項D錯誤。
4.（2022·江蘇·寶應縣曹甸高級中學高三階段練習）一個物體以初速v0水平拋出，經(jīng)時間t，豎直方向速度大小為v0，則t為（ ）
A．v0gB．2v0gC．v02gD．2v0g
【答案】A
【解析】
物體在豎直方向做自由落體運動，所以t=v0g 故選A。
5.（2022·海南·文昌中學高三期中）(多選)如圖所示，B為豎直圓軌道的左端點，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α.一小球在圓軌道左側的A點以速度v0平拋，恰好沿B點的切線方向進入圓軌道．已知重力加速度為g，則A、B間的高度h及水平距離xAB為（ ）
A．h＝v0tanθ22g B．h＝v0tanθ2g C．xAB＝v02tanαg D．xAB＝2v02tanαg
【答案】AC
【解析】
根據(jù)平行四邊形定則知，小球通過B點時豎直方向上的分速度vy=v0tanα
則運動的時間t=vyg=v0tanαg
則小球下落的高度?=v0tanθ22g
則AB間的水平距離x=v0t=v02tanαg故選AC。
6．（2022·貴州貴陽·高一期末）某同學在同一地點，兩次將同一支箭從相同的高度水平射出，箭第一次和第二次落地時插入泥土中的姿勢分別如圖甲、乙所示，若空氣阻力不計，箭第一次與第二次被射出時的速度大小之比是（ ）
A．1：3B．3：1C．3:3D．3:1
【答案】A
【解析】
根據(jù)豎直方向的自由落體運動可得?=12gt2
末速度的方向與水平方向之間的夾角的正切值tanθ=gtv0=2g?v0
h相同，可得箭第一次與第二次被射出時的速度大小之比是v1v2=tan30°tan60°=13 故選A。
7.（2022·海南·一模）如圖所示，某一小球以v0=20m/s的速度水平拋出，在落地之前經(jīng)過空中A、B兩點。在A點小球速度方向與水平方向的夾角為45°，在B點小球速度方向與水平方向的夾角為60°（空氣阻力忽略不計，g取10m/s2）。以下判斷中正確的是（ ）
A．小球經(jīng)過A點時豎直方向的速度為203m/s
B．小球經(jīng)過A、B兩點間的時間為t=2（3?1）s
C．A、B兩點間的高度差?=45m
D．A、B兩點間的水平位移相差403?20m
【答案】B
【解析】
AB．根據(jù)平行四邊形定則知vAy=v0=20m/s vBy=v0tan60°=203m/s
則小球由A到B的時間間隔Δt=vBy?vAyg=203?2010s=2(3?1)s故A錯誤，B正確；
C．A、B的高度差?=vBy2?vAy22g=1200?4002×10m=40m故C錯誤；
D．A、B兩點間的水平位移相差Δx=v0Δt=20×2(3?1)m=40(3?1)m故D錯誤。
8．如圖所示，某同學對著豎直墻壁練習打乒乓球。某次練習中乒乓球與墻壁上的P點碰撞后水平反彈，垂直落在球拍上的Q點，此時球拍與水平方向的夾角為60°，Q點到墻壁的距離為23m。取重力加速度大小g=10m/s2，不計空氣阻力，乒乓球可視為質(zhì)點，則（ ）
A．P、Q兩點的高度差為3m B．P、Q兩點的高度差為1m
C．球剛要接觸球拍時的速度大小為25m/s D．球剛要接觸球拍時的速度大小為215m/s
【答案】B
【解析】
A B．設從P點水平飛出的速度為v0，球剛要接觸球拍時的速度為v，球剛要接觸球拍時的豎直方向分速度vy
由平拋運動規(guī)律可知x=v0t t=vyg
又tan60°=v0vy
解得vy=25m/s v0=215m/s
P、Q兩點的高度差?=vy22g=1mA錯誤；B正確；
C D．球剛要接觸球拍時的速度大小v=vycs60°=45m/sC、D錯誤。
9．（2021·山東省濰坊第四中學高三階段練習）從豎直墻的前方A處，沿AO方向水平發(fā)射三顆彈丸a、b、c，在墻上留下的彈痕如圖所示。已知Oa=ab=bc，則a、b、c三顆彈丸（不計空氣阻力）（ ）
A．初速度之比是3∶2：1
B．初速度之比是1∶2∶3
C．從射出至打到墻上過程速度增量之比是1∶2∶3
D．從射出至打到墻上過程速度增量之比是6∶3∶2
【答案】C
【解析】
AB．水平發(fā)射的彈丸做平拋運動，豎直方向上是自由落體運動，水平方向上是勻速直線運動，又因為豎直方向上Oa＝ab＝bc
即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3
由h＝12gt2
可知ta∶tb∶tc＝1∶2∶3
由水平方向x＝v0t
可知va:vb:vc＝1:12:13=6:3:2 故A B錯誤；
CD．由Δv＝gt
可知，從射出至打到墻上過程速度增量之比是1∶2∶3
故C正確，D錯誤。
10．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，傾角分別為30°和60°的兩斜面下端緊靠在一起，固定在水平面上，將兩個小球a和b從左側斜面上的A點以不同的初速度向右平拋，下落高度相同，a落到左側的斜面上，b恰好垂直擊中右側斜面，忽略空氣阻力，則（ ）
A．a(chǎn)、b平拋的初速度之比為1：3
B．a(chǎn)、b運動的水平位移之比為1：2
C．若增大a球初速度，a球落到左側斜面時速度方向與左側斜面夾角變大
D．若減小a球初速度，a球落到左側斜面時速度方向與左側斜面夾角變大
【答案】B
【解析】
A．兩球做平拋運動，下落相同的高度時運動時間相同，由vy=gt
可知落在斜面上時豎直分速度大小相等，對a球，落在斜面上時，位移方向與水平方向的夾角為30°，
則有tan30°=gt2v0a
可得a的初速度為v0a=32gt
對b球，落在斜面上時，速度方向與豎直方向的夾角為60°，則有tan30°=gtv0b
可得b的初速度為v0b=3gt
所以可得a、b運動的初速度之比為v0av0b=12 故A錯誤；
B．由于兩球做平拋運動的時間相同，根據(jù)x=v0t
可知兩球的水平位移之比與初速度成正比，故兩球的水平位移之比為xaxb=v0av0b=12故B正確；
CD．設a球落在左側斜面上時速度與水平方向的夾角為α，根據(jù)平拋運動規(guī)律有tanα=2tan30°
可知夾角與初速度無關，所以無論增大還是減小初速度，a球落到左側斜面時速度方向不改變，即速度方向與左側斜面夾角不變，故CD錯誤。
11．（2023·全國·高三專題練習）(多選)如圖所示，豎直截面為半圓形的容器，O為圓心，AB為沿水平方向的直徑。一物體在A點以向右的水平初速度vA拋出，與此同時另一物體在B點以向左的水平初速度vB拋出，兩物體都落到容器的同一點P。已知∠BAP=37°，不計空氣阻力，下列說法正確的是（ ）
A．B比A先到達P點
B．兩物體一定同時到達P點
C．拋出時，兩物體的速度大小之比為vA:vB=16:9
D．拋出時，兩物體的速度大小之比為vA:vB=4:1
【答案】BC
【解析】
AB．兩物體同時拋出，都落到P點，由平拋運動規(guī)律可知兩物體下落了相同的豎直高度，由h=gt22
解得t=2?g可知兩物體同時到達P點，A錯誤，B正確；
CD．在水平方向，拋出的水平距離之比等于拋出速度之比，如圖所示，設圓的半徑為r
由幾何關系得xAM=2rcs237°
而xBM=xMPtan37°，xMP=xAPsin37°，xAP=2rcs37°
聯(lián)立得xBM=2rsin237°
則xAM：xBM=16：9C正確，D錯誤。
12．（2022·山東·模擬預測）如圖所示，在水平放置的半徑為R的圓柱體的正上方的P點將一小球以水平速度v0沿垂直于圓柱體的軸線方向拋出，小球飛行一段時間后恰好從圓柱體的Q點沿切線飛過，測得O、Q連線與豎直方向的夾角為θ，那么小球完成這段飛行的時間是（ ）
A．v0gtan?θB． gtan?θv0C．Rsin?θv0D．Rcs?θv0
【答案】C
【解析】
AB．根據(jù)幾何關系可知：水平速度與末速度的夾角為θ，則有tanθ=vyv0
解得vy=v0tanθ
根據(jù)vy=gt
解得t=v0tan?θgAB錯誤；
CD．在水平方向Rsinθ=v0t
解得t=Rsin?θv0D錯誤，C正確。
13．（2023·全國·高三專題練習）排球比賽中球員甲接隊友的一個傳球，在網(wǎng)前L=3.60m處起跳，在離地面高H=3.20m處將球以v0=12m/s的速度沿著與網(wǎng)垂直的方向水平擊出，對方球員乙剛好在進攻路線的網(wǎng)前，她可利用身體的任何部位進行攔網(wǎng)阻擊，如圖所示。假設球員乙的直立攔網(wǎng)和起跳攔網(wǎng)的高度分別為?1=2.50m和?2=2.95m，g取10m/s2。下列情景中，球員乙可能攔網(wǎng)成功的是（ ）
A．球員乙在網(wǎng)前直立不動
B．球員乙在球員甲擊球時同時起跳離地
C．球員乙在球員甲擊球后0.3s起跳離地
D．球員乙在球員甲擊球前0.3s起跳離地
【答案】B
【解析】
A．排球運動到乙位置的過程的時間為t=Lv0=3.612s=0.3s
該段時間排球下降的距離為?=12gt2=0.45m
此時排球離地高度為?3=H??=3.2m?0.45m=2.75m>?1
故乙在網(wǎng)前直立不動攔不到，A錯誤；
B．球員乙起跳攔網(wǎng)高度為?2=2.95m
跳起的高度為Δ?=2.95m?2.50m=0.45m
豎直上拋運動的下降時間與上升時間相等，故有t'=2Δ?g=0.3s
故乙在甲擊球時同時起跳離地，在球到達乙位置時，運動員乙剛好到達最高點，可以攔住，B正確；
C．乙在甲擊球后0.3s起跳離地，球員乙剛好起跳，高度為?1=2.50m13故C錯誤D正確。
17.第24屆冬季奧林匹克運動會，于2022年02月04日～2022年02月20日在我國北京和張家口市聯(lián)合舉行，其中跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，它需要利用山勢特點建造一個特殊跳臺。一運動員穿著專用滑雪板，不帶雪杖，在滑雪道上獲得較高速度后從A點沿水平方向飛出，在空中飛行一段距離后在山坡上B點著陸，如圖所示。已知可視為質(zhì)點的運動員從A點水平飛出的速度山坡可看成傾角為37°的斜面，不考慮空氣阻力，（重力加速度g取10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8）
（1）運動員在空中的飛行時間t1；
（2）運動員何時離斜面最遠？
【答案】（1）3s；（2）1.5s
【解析】
（1）運動員從A點到B點做平拋運動，水平方向的位移 x=v0t1
豎直方向的位移 y=12gt12
又有 tan37°=yx
代入數(shù)據(jù)解得 t1=3s
如圖，運動員距離斜面最遠時，合速度方向與斜面平行tan370=vy'v0 vy′=gt2
解得t2=v0?tan37°g=1.5s
18．（2019·湖南·衡陽市一中高一期末）如圖所示，質(zhì)量為m=1kg的小球從平臺上水平拋出后，落在一傾角θ=53°的光滑斜面頂端，并恰好無碰撞的沿光滑斜面滑下，頂端與平臺的高度差?=0.8m，斜面的高度H=14.4m。取g=10m/s2，sin53°=0.8，求：
(1)小球水平拋出的初速度v0是多大；
(2)小球從平臺水平拋出到斜面底端所用的時間。
【答案】(1)3m/s；(2)2.0s
【解析】
(1)小球到斜面頂端速度的豎直分量為vy=2g?=4m/s
則水平方向的初速度為v0=vytan53°=3m/s
(2)小球平拋運動的時間t1=vyg=0.4s
小球在斜面頂端的速度為v1=v02+vy2=5m/s
小球沿光滑斜面運動的加速度a=mgsin53°m=8m/s2
斜面長度為x=Hsin53°=
設小球從斜面頂端下滑至底端的時間為t2，則有18=5t2+12×8t22
解得t2≈1.6s
故小球從平臺水平拋出到斜面底端所用的時間t=t1+t2=0.4s+1.6s=2.0s
（2022·甲卷）將一小球水平拋出，使用頻閃儀和照相機對運動的小球進行拍攝，頻閃儀每隔發(fā)出一次閃光。某次拍攝時，小球在拋出瞬間頻閃儀恰好閃光，拍攝的照片編輯后如圖所示。圖中的第一個小球為拋出瞬間的影像，每相鄰兩個球之間被刪去了3個影像，所標出的兩個線段的長度和之比為
3：7。重力加速度大小取，忽略空氣阻力。求在拋出瞬間小球速度的大小。
【答案】
【解析】
【詳解】頻閃儀每隔0.05s發(fā)出一次閃光，每相鄰兩個球之間被刪去3個影像，故相鄰兩球的時間間隔為
設拋出瞬間小球的速度為，每相鄰兩球間的水平方向上位移為x，豎直方向上的位移分別為、，根據(jù)平拋運動位移公式有
令，則有
已標注的線段、分別為
則有
整理得
故在拋出瞬間小球的速度大小為
考點二 平拋運動的兩個推論
如圖所示
(1)做平拋運動的物體任一時刻瞬時速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點．
(2)做平拋運動的物體在任意時刻任一位置處，設其速度方向與初速度方向的夾角為α，位移方向與初速度方向的夾角為θ，由于tanα＝eq \f(gt,v0), tan θ＝eq \f(1,2)gt2/v0t則tan α＝2tan θ.
20．如圖所示，從傾角為θ的足夠長的斜面頂端P以速度v0拋出一個小球，落在斜面上某處Q點，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為α，若把初速度變?yōu)?v0，小球仍落在斜面上，則以下說法正確的是( )
A．夾角α將變大
B．夾角α與初速度大小無關
C．小球在空中的運動時間不變
D．PQ間距是原來間距的3倍
【答案】B
【解析】
根據(jù)tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則小球在空中的運動時間變?yōu)樵瓉淼?倍，C錯誤；根據(jù)x＝v0t＝eq \f(2v02tan θ,g)知，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則水平位移變?yōu)樵瓉淼?倍，PQ＝eq \f(x,cs θ)，PQ間距變?yōu)樵瓉黹g距的4倍，D錯誤；末速度與水平方向夾角的正切值tan β＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)＝2tan θ，可知速度方向與水平方向夾角正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，因為位移與水平方向夾角不變，則末速度與水平方向夾角不變，由幾何關系可知α不變，與初速度大小無關，A錯誤，B正確．
21．（2023·全國·高三專題練習）(多選)前段時間“彩虹滑道”在“抖音短視頻”平臺熱推，很多景區(qū)都推出了這一項娛樂設施并進一步增趣升級，游客從如圖所示的弧形滑道滑下，然后在弧形滑道末端以水平速度v0拋出，落向傾角為θ的“彩虹”滑道，不計空氣阻力，則（ ）
A．游客以不同的v0拋出，則落到彩虹斜道時的速度方向不同
B．即使游客以不同的v0拋出，落到彩虹斜道時的速度方向都相同
C．游客在空中經(jīng)歷的時間為2v0tanθg
D．游客落到彩虹斜道時的速度大小為v0csθ
【答案】BC
【解析】
AB．若v0不同，則落到斜道時的位置不同，但位移方向均沿斜道，即位移方向與水平方向夾角均為θ，若速度與水平方向夾角為α，由tanα=2tanθ
可知速度與水平方向夾角均為α，選項A錯誤，B正確；
C．游客落到彩虹斜道時有tanθ=12gt2v0t
解得空中經(jīng)歷的時間為t=2v0tanθg選項C正確；
D．落到斜道時速度大小為v=v0csα≠v0csθ選項D錯誤。
22．(多選)如圖所示，ab為豎直平面內(nèi)的半圓環(huán)acb的水平直徑，c為環(huán)上最低點，環(huán)半徑為R.將一個小球從a點以初速度v0沿ab方向拋出，設重力加速度為g，不計空氣阻力，則( )
A．當小球的初速度v0＝eq \f(\r(2gR),2)時，掉到環(huán)上時的豎直分速度最大
B．當小球的初速度v0

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