專(zhuān)題23圓的基本性質(zhì)的核心知識(shí)點(diǎn)精講-備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1.理解圓心角及其所對(duì)的弧、弦之間的關(guān)系；
2.理解并運(yùn)用圓周角定理及其推論；
3.探索并證明垂徑定理會(huì)應(yīng)用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問(wèn)題；
4.理解并運(yùn)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).
考點(diǎn)1：圓的定義及性質(zhì)
圓的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形
成的圖形叫圓。這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。
圓的表示方法：以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O。
圓的特點(diǎn)：在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形。
圓的對(duì)稱(chēng)性：1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸；
2）圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形。
考點(diǎn)2：圓的有關(guān)概念
弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(例如：右圖中的AB)。
直徑的概念：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑（例如：右圖中的CD）。
備注：1）直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦。2）直徑長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)度的2倍。
弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作圓弧AB或弧AB。
等弧的概念：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。
半圓的概念：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。
優(yōu)弧的概念：在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。
劣弧的概念：小于半圓的弧叫做劣弧。
考點(diǎn)3：垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；
2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；
3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。
推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。
常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長(zhǎng)度；
2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分
考點(diǎn)4：垂徑定理的應(yīng)用
經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答
考點(diǎn)5：圓心角的概念
圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。
弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。
考點(diǎn)6：圓角角的概念
圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。（即：圓周角= 12 圓心角）
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。
考點(diǎn)7：圓內(nèi)接四邊形
圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。
即：在⊙中， ∵四邊是內(nèi)接四邊形
∴

【題型1：垂徑定理及推論】
【典例1】（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）
A．20mB．28mC．35mD．40m
【答案】B
【解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，
設(shè)主橋拱半徑為R m，
∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，
∵OC是半徑，OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝（m），
在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，
∴（）2+（R﹣7）2＝R2，
解得R＝≈28．
故選：B．
1．（2023?長(zhǎng)沙）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足為E，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，則OE的長(zhǎng)度為 1 ．
【答案】1．
【解答】解：如圖，連接OB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵OD⊥AB，
∴＝，∠OEA＝90°，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝60°，
∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°，
∴OE＝OA＝×2＝1，
故答案為：1．
2．（2023?宜昌）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長(zhǎng)為（）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵AD＝CD＝8，
∴OB⊥AC，
在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，
∴OB＝10，
∴BD＝10﹣6＝4．
故選：B．
3．（2023?衢州）如圖是一個(gè)圓形餐盤(pán)的正面及其固定支架的截面圖，凹槽ABCD是矩形．當(dāng)餐盤(pán)正立且緊靠支架于點(diǎn)A，D時(shí)，恰好與BC邊相切，則此餐盤(pán)的半徑等于 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：由題意得：BC＝16cm，CD＝4cm，
如圖，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，
則∠OEC＝90°，
∵餐盤(pán)與BC邊相切，
∴點(diǎn)E為切點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝16cm，AD∥BC，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四邊形CDFE是矩形，OE⊥AD，
∴CD＝EF＝4cm，∠AFO＝90°，AF＝DF＝AD＝×16＝8（cm），
設(shè)餐盤(pán)的半徑為x cm，
則OA＝OE＝x cm，
∴OF＝OE﹣EF＝（x﹣4）cm，
在Rt△AFO中，由勾股定理得：AF2+OF2＝OA2，
即82+（x﹣4）2＝x2，
解得：x＝10，
∴餐盤(pán)的半徑為10cm，
故答案為：10．
【題型2：圓周角和圓心角】
【典例2】（2023?廣西）如圖，點(diǎn)A，B，C，在⊙O上，∠C＝40°．則∠AOB的度數(shù)是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝∠AOB，∠C＝40°，
∴∠AOB＝80°．
故選：D．
1．（2023?甘孜州）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，則∠ABO的度數(shù)為（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：∵∠C＝30°，
∴∠AOB＝2∠C＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，
故選：C．
2．（2023?河南）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，則∠AOB的度數(shù)為（）
A．95°B．100°C．105°D．110°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝55°，
∴∠AOB＝110°，
故選：D．
【題型3：弧、弦、圓心角】
【典例3】（2023?廣東）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝50°，則∠D＝（）
A．20°B．40°C．50°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵＝，
∴∠D＝∠ABC＝40°，
故選：B．
1．（2023?泰安）如圖，AB是⊙O的直徑，D，C是⊙O上的點(diǎn)，∠ADC＝115°，則∠BAC的度數(shù)是（）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】A
【解答】解：解法一：如圖，連接OC，
∵∠ADC＝115°，
∴優(yōu)弧所對(duì)的圓心角為2×115°＝230°，
∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°，
∴∠BAC＝∠BOC＝25°，
故選：A．
解法二：∵∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
故選：A．
2．（2023?棗莊）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的度數(shù)為（）
A．32°B．42°C．48°D．52°
【答案】A
【解答】解：∵∠A＝48°，∠APD＝80°，
∴∠C＝80°﹣48°＝32°，
∵，
∴∠B＝∠C＝32°．
故選：A．
3．（2023?宜賓）如圖，已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，C為的中點(diǎn)．若∠BAC＝35°，則∠AOB等于（）
A．140°B．120°C．110°D．70°
【答案】A
【解答】解：連接OC，如圖：
∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝70°，
∵C為的中點(diǎn)．
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝70°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝140°，
故選：A．
4．（2023?牡丹江）如圖，A，B，C為⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，∠AOB＝4∠BOC，若∠ACB＝60°，則∠BAC的度數(shù)是（）
A．20°B．18°C．15°D．12°
【答案】C
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，
∵∠AOB＝4∠BOC，
∴∠BOC＝30°，
∴∠BAC＝∠BOC＝15°．
故選：C．
【題型4：圓內(nèi)接四邊形】
【典例4】（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）
A．65°B．115°C．130°D．140°
【答案】C
【解答】解：∵∠DCE＝65°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB＝180°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°，
故選：C．
1．（2023?朝陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝120°，⊙O的半徑為3，則的長(zhǎng)為（）
A．πB．2πC．3πD．6π
【答案】B
【解答】解：∵∠C＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的長(zhǎng)為＝2π，
故選：B．
2.（2023?寧夏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝ 70 °．
【答案】70．
【解答】解：∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠B＝∠AOC＝×140°＝70°，
∴∠CDE＝70°．
故答案為：70．
3．（2023?溫州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝，則∠CAO的度數(shù)與BC的長(zhǎng)分別為（）
A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
【答案】C
【解答】解：連接OB，OC，
∵BC∥AD，
∴∠DBC＝∠ADB，
∴＝，
∴∠AOB＝∠COD，∠CAD＝∠BDA，
∵DB⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠CAD＝∠BDA＝45°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∵∠AOD＝120°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB，
∵OA＝OD，∠AOD＝120°，
∴∠OAD＝∠ODA＝30°，
∴AD＝OA＝，
∴OA＝1，
∴BC＝1，
∴∠CAO＝∠CAD﹣∠OAD＝45°﹣30°＝15°．
故選：C．
一．選擇題（共9小題）
1．如圖，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，若∠C＝38°，則∠AOB的度數(shù)為（）
A．38°B．76°C．80°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB＝2∠C，∠C＝38°，
∴∠AOB＝76°，
故選：B．
2．如圖，△ABC的三點(diǎn)都在⊙O上，AB是直徑，∠BAD＝50°，則∠ACD的度數(shù)是（）
A．40°B．50°C．55°D．60°
【答案】A
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝∠BCD＝50°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
故選：A．
3．把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF＝CD＝4cm，則球的半徑長(zhǎng)是（）
A．2cmB．2.5cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【解答】解：EF的中點(diǎn)M，作MN⊥AD于點(diǎn)M，取MN上的球心O，連接OF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴四邊形CDMN是矩形，
∴MN＝CD＝4，
設(shè)OF＝x，則ON＝OF，
∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2
即：（4﹣x）2+22＝x2
解得：x＝2.5
故選：B．
4．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，連接AC，若∠CAB＝40°，則∠ADC的度數(shù)是（）
A．40°B．50°C．110°D．130°
【答案】D
【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
故選：D．
5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠BAC＝35°，則∠BOC的度數(shù)為（）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝35°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．
故選：C．
6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上．若∠BAC＝30°．則∠ADC的大小是（）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【答案】B
【解答】解：連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
故選：B．
7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，且∠ACD＝22.5°，CD＝4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）
A．2B．2C．4D．10
【答案】B
【解答】解：連接OD，如圖所示：
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，CD＝4，
∴CE＝DE＝CD＝2，
∵∠ACD＝22.5°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，
∴△DOE為等腰直角三角形，
∴OD＝DE＝2，
即⊙O的半徑為2，
故選：B．
8．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝130°，則∠BOD的度數(shù)為（）
A．50°B．100°C．130°D．150°
【答案】B
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°，
∴∠A＝180°﹣∠C＝50°，
∴∠BOD＝2∠A＝100°．
故選：B．
9．如圖，AB，CD是⊙O的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，則所對(duì)的圓心角的度數(shù)是（）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【答案】B
【解答】解：如圖，連接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，
∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°，
故選：B．
二．填空題（共5小題）
10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠BAD＝105°，則∠DCE的度數(shù)是 105 °．
【答案】105．
【解答】解：∵∠BAD＝105°，
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝105°．
故答案為：105．
11．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，若∠ABD＝62°，則∠C的度數(shù)是 28° ．
【答案】28°．
【解答】解：連接AD，
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＝62°，
∴∠D＝90°﹣∠ABD＝28°，
∴∠C＝∠D＝28°，
故答案為：28°．
12．如圖，某同學(xué)準(zhǔn)備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個(gè)引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為 2 cm．
【答案】2．
【解答】解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，
在Rt△ADO中，由勾股定理得，
OD＝＝3（cm），
∴CD＝OC﹣OD
＝5﹣3
＝2（cm）．
故答案為2．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為（2，1）．
【答案】（2，1）．
【解答】解：從圖形可知：A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，3），
連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），
故答案為：（2，1）．
14．如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，則∠ADC＝ 100° ．
【答案】100°．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝50°，
∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACD＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故答案為：100°．
三．解答題（共1小題）
15．“圓材埋壁”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表達(dá)為：“如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)為多少？
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
設(shè)圓O的半徑OA的長(zhǎng)為x，則OC＝OD＝x
∵CE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡(jiǎn)得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
一．選擇題（共10小題）
1．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝128°，則∠AOC的度數(shù)是（）
A．100°B．128°C．104°D．124°
【答案】C
【解答】解：四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，
由圓周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，
故選：C．
2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接BE，OE，AE，若∠BAC＝70°，則∠OEB的度數(shù)為（）
A．70°B．65°C．60°D．55°
【答案】D
【解答】解：連接OB、OC，則∠BOC＝2∠BAC＝140°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝20°，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，
∴∠EBC＝∠EAC＝∠EAB＝∠BAC＝35°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠EBC＝55°，
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE＝55°，
故選：D．
3．如圖，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在AB上，若四邊形ACBO為菱形，則∠APB為（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：連接CO，
∵四邊形ACBO為菱形，
∴OA＝OB＝BC＝AC＝OC，
∴△OBC與△OAC是等邊三角形，
∴∠BOC＝∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
∴∠P＝360°﹣∠PBO﹣∠PAO＝60°，
故選：C．
4．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)D與圓心O不重合，∠BAC＝26°，則∠DCA的度數(shù)為（）
A．38°B．40°C．42°D．44°
【答案】A
【解答】解：連接BC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝26°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣26°＝64°，
根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對(duì)的圓周角為∠B，所對(duì)的圓周角為∠ADC，
∴∠DCA＝∠B﹣∠BAC＝64°﹣26°＝38°，
故選：A．
5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝4，D是弧AC的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)為（）
A．5B．3C．2D．1
【答案】C
【解答】解：連接OD交AC于F，如圖，
∵D是弧AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，
∴AF＝CF，
∵AB是直徑，
∴∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠CBE，
∵E是BD的中點(diǎn)，
∴BE＝DE，
∵∠BEC＝∠DEF，
∴△BCE≌△DFE（ASA），
∴BC＝DF，
∵OF＝BC，
∴OF＝DF，
∴OF＝OD，
設(shè)BC＝x，則OD＝x，
∴AB＝2OD＝3x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（3x）2＝（4）2+x2，
解得x＝2，
BC＝2．
故選：C．
6．如圖，在半圓ACB中，AB＝6，將半圓ACB沿弦BC所在的直線折疊，若弧BC恰好過(guò)圓心O，則BC的長(zhǎng)是（）
A．B．πC．2πD．4 π
【答案】A
【解答】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于E，交半圓O于D點(diǎn)，連接AC，如圖，
∵半圓O沿BC所在的直線折疊，圓弧BC恰好過(guò)圓心O，
∴ED＝EO，
∴OE＝OB，
∵OD⊥BC，
∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AC＝3．
故選：A．
7．如圖，AB為圓O一條弦，OD⊥AB交AB于N，劣弧AB于點(diǎn)D，在圓上取一點(diǎn)C，連接AC交OD于M，連接DC，若∠ACD＝30°，M平分ON，且DN＝2，則AM＝（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵∠ACD＝30°，∠C＝∠AOD，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等邊三角形，
∵AN⊥OD，
∴ON＝DN＝2，
∴OA＝OD＝ON+DN＝4，
∵M(jìn)平分ON，
∴MN＝ON＝1，
∵△AOD是等邊三角形，AN⊥OD，
∴AN＝OA＝2，
∴AM＝＝．
故選：A．
8．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AF為直徑，連接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，則∠CBF的度數(shù)為（）
A．16°B．24°C．12°D．14°
【答案】D
【解答】解：∵AF為圓的直徑，
∴∠ABF＝90°，＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠DAF＝∠BAF＝32°，
∴∠BAD＝64°，
∵∠E＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，
∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．
故選：D．
9．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ACB＝36°，則∠ABO的度數(shù)為（）
A．36°B．45°C．54°D．72°
【答案】C
【解答】解：連接OA，
∵∠ACB＝36°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝54°，
故選：C．
10．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD＝70°，則∠AOC的度數(shù)為（）
A．110°B．120°C．130°D．140°
【答案】D
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝110°，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣110°＝70°，
由圓周角定理得∠AOC＝2∠D＝140°，
故選：D．
二．填空題（共4小題）
11．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，∠B＝35°，∠APD＝77°，則∠A的大小是 42 度．
【答案】42．
【解答】解：∵∠B＝35°，∠APD＝77°，
∴∠A＝∠D＝∠APD﹣∠B＝77°﹣35°＝42°，
故答案為：42．
12．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB，交⊙O于點(diǎn)D，若AB＝6，則BD的長(zhǎng)為 3 ．
【答案】3．
【解答】解：連接AD，如圖：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝BD，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴2BD2＝AB2，即2BD2＝36，
解得BD＝3．
故答案為：3．
13．紹興市是著名的橋鄉(xiāng)，如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，則水面寬AB為 8 m．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：如圖，連接OA，
∵CD＝8m，OA＝OC＝5m，
∴OD＝8﹣5＝3（m），
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝4（m），
∴AB＝2AD＝8（m），
故答案為：8．
14．如圖，點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，∠ABD＝70°，C為劣弧BD上一點(diǎn)，則∠BCD的度數(shù)為 140° ．
【答案】140°．
【解答】解：∵點(diǎn)A是⊙O中優(yōu)弧BAD的中點(diǎn)，
即＝，
∴∠ADB＝∠ABD＝70°，
∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝40°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．
故答案為：140°．
三．解答題（共2小題）
15．如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．
（1）求該圓弧所在圓的半徑；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF，求支撐桿EF的高度．
【答案】0.4米．
【解答】解：（1）設(shè)弧AB所在的圓心為O，D為弧AB的中點(diǎn)，CD⊥AB于C，延長(zhǎng)DC經(jīng)過(guò)O點(diǎn)，
則BC＝AB＝1.6（米），
設(shè)⊙O的半徑為R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即該圓弧所在圓的半徑為2米；
（2）過(guò)O作OH⊥FE于H，
則OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝＝＝1.6（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撐桿EF的高度為0.4米．
16．圖1是某希望小學(xué)放心食堂售飯窗口外遮雨棚的示意圖（尺寸如圖所示），遮雨棚頂部是圓柱側(cè)面的一部分，其展開(kāi)圖是矩形．圖2是遮雨棚頂部截面的示意圖，所在圓的圓心為O．遮雨棚頂部是用一種帆布覆蓋的，求覆蓋遮雨棚頂?shù)姆嫉拿娣e（不考慮接縫等因素，計(jì)算結(jié)果保留π ）．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：連接OB，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，交于F，如圖，
由垂徑定理，可知：E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)，
∴EF是弓形高，
∴AE＝AB＝2，EF＝2，
設(shè)半徑為R米，則OE＝（R﹣2）米，
在Rt△AOE中，由勾股定理，得R2＝（R﹣2）2+（2）2，
解得R＝4，
∵sin∠AOE＝，
∴∠AOE＝60°，
∴∠AOB＝120度．
∴的長(zhǎng)為＝π（m），
∴帆布的面積為π×60＝160π（平方米）．
1．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點(diǎn)C在劣弧AB上．若∠ABC＝19°，則∠BAC＝（）
A．23°B．24°C．25°D．26°
【答案】D
【解答】解：連接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半徑OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故選：D．
2．（2023?淄博）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E．若AD＝2，DE＝3，則⊙O的半徑為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：連接OA，OC，CE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴AC＝OA，
∵∠AEC＝∠ACB＝30°，∠CAD＝∠EAC，
∴△ACD∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AD?AE，
∵AD＝2，DE＝3，
∴AC＝＝＝，
∴OA＝AC＝，
即⊙O的半徑為，
故選：A．
3．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎc(diǎn)O是這段弧所在圓的圓心，B為上一點(diǎn)，OB⊥AC于D．若AC＝300m，BD＝150m，則的長(zhǎng)為（）
A．300πmB．200πmC．150πmD．100πm
【答案】B
【解答】解：∵OB⊥AC，
∴AD＝ AC＝150m，∠AOC＝2∠AOB，
在Rt△AOD中，
∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，
∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，
∴+（OA﹣150）2＝OA2，
解得：OA＝300m，
∴sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的長(zhǎng)＝＝200πm．
故選：B．
4．（2023?廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D在⊙O上，連接CD，OD，AC，若∠BOD＝124°，則∠ACD的度數(shù)是（）
A．56°B．33°C．28°D．23°
【答案】C
【解答】解：∵∠BOD＝124°，
∴∠AOD＝180°﹣124°＝56°，
∴∠ACD＝∠AOD＝28°，
故選：C．
5．（2023?涼山州）如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2，則OC＝（）
A．1B．2C．2D．4
【答案】B
【解答】解：連接OB，設(shè)OA交BC于E，如圖：
∵∠ADB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA⊥BC，BC＝2，
∴BE＝BC＝，
在Rt△BOE中，sin∠AOB＝，
∴sin60°＝，
∴OB＝2，
∴OC＝2；
故選：B．
6．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是 120 °．
【答案】120．
【解答】解：如圖，連接OD，
∵BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△COD為等邊三角形，
∴∠C＝60°，
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠BAD+∠C＝180°，
∴∠BAD＝120°，
故答案為：120．
7．（2023?襄陽(yáng)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上．若∠ADE＝70°，則∠AOC＝ 140 度．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ADE＝70°，
∴∠B＝∠ADE＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°．
故答案為：140．
8．（2023?紹興）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，若∠D＝100°，則∠B的度數(shù)是 80° ．
【答案】80°．
【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠D＝100°，
∴∠B＝80°．
故答案為：80°．
9．（2023?永州）如圖，⊙O是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為 16 cm．
【答案】16．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D，連接OA，
∴，
由題意知，OA＝10cm，CD＝4cm，
∴OC＝6cm，

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